Dreiecke · Erklären & üben

Dreieck

Eine Konstruktion verbindet Angaben mit überprüfbaren Schritten. Hier lernst du, Dreiecke und besondere Linien mit Zirkel und Lineal aufzubauen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Drei Seiten konstruieren

Drei positive Seitenlängen bestimmen ein Dreieck bis auf Lage und Spiegelung, wenn die längste Seite kleiner als die Summe der anderen beiden ist. Zeichne AB mit Länge c. Der Kreis um A hat Radius b, der um B Radius a. Ein Schnittpunkt ist C.

Prüfe die Dreiecksungleichung.
Zeichne die Basis und beide Kreise.
Verbinde einen Schnittpunkt mit A und B.

Bei Gleichheit entsteht kein Dreieck.

SSS-Dreieck mit Seiten4,5,6; maßhaltige Seiten, Kreisbögen um A und B.

So geht es am Beispiel

Konstruiere a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm.

Die längste Seite 6 ist kleiner als 4 + 5.

Zeichne AB mit 6 cm. Kreise um A mit 5 cm und um B mit 4 cm schneiden sich in C.

Die beiden möglichen Schnittpunkte ergeben spiegelbildliche, kongruente Dreiecke.

Erklärung 02

Spezielle Dreiecke aufbauen

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei Katheten zeichne eine Kathete und errichte an ihrem Endpunkt eine Senkrechte. Trage darauf die andere Kathete ab. Für ein gleichseitiges Dreieck haben beide Kreise den Radius der Basis.

Beginne mit einer bekannten Seite.
Nutze den rechten Winkel oder gleiche Radien als zusätzliche Bedingung.

Konstruktionen müssen die angegebenen Bedingungen erfüllen.

Erklärung 03

Drei verschiedene Linien

Eine Höhe geht durch einen Eckpunkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seitengeraden. Eine Seitenhalbierende verbindet einen Eckpunkt mit der Mitte der Gegenseite. Eine Mittelsenkrechte steht senkrecht auf einer Seite und geht durch deren Mitte; sie muss nicht durch einen Eckpunkt gehen.

Für die Mittelsenkrechte zeichne um beide Seitenendpunkte Kreise mit gleichem Radius, größer als die halbe Seite. Verbinde ihre zwei Schnittpunkte. Ihr Schnitt mit der Seite ist die Mitte. Für die Seitenhalbierende verbinde diese Mitte mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt.

Für die Höhe wähle einen Kreis um den Eckpunkt, der die gegenüberliegende Seitengerade in zwei Punkten P und Q schneidet. Konstruiere die Mittelsenkrechte von PQ. Sie geht durch den Eckpunkt und ist die gesuchte Höhengerade.

Entscheide, ob Eckpunkt, Seitenmitte oder Senkrechte verlangt ist.
Verlängere bei Bedarf eine Seite.

Höhe und Seitenhalbierende fallen nur in besonderen Dreiecken zusammen.

Drei unterschiedliche Linien: Höhe durchC, MedianCM, Mittelsenkrechte durchM.

Erklärung 04

Einen Winkel halbieren

Die innere Winkelhalbierende teilt einen Innenwinkel in zwei gleich große Winkel. Ein Kreisbogen um den Scheitel schneidet beide Schenkel in P und Q. Zeichne gleich große Kreisbögen um P und Q mit einem gemeinsamen Punkt S im Winkelinneren. Der Strahl vom Scheitel durch S halbiert den Winkel.

Markiere P und Q mit demselben Radius.
Wähle gleiche Bogenradien, die sich innen schneiden.
Verbinde Scheitel und inneren Schnittpunkt.

$\mathsf{\alpha_1=\alpha_2=\frac{\alpha}{2}}$

Winkel60Grad und Halbierende30Grad; Illustration des Halbierens.

So geht es am Beispiel

Ein Innenwinkel beträgt 80 Grad. Wie groß sind seine beiden Teilwinkel?

\mathsf{80^\circ:2=40^\circ}

Erklärung 05

Schnittpunkte und Kreise

Die drei Seitenhalbierenden treffen sich im Schwerpunkt S. Die drei Höhengeraden treffen sich im Höhenschnittpunkt H. Die inneren Winkelhalbierenden treffen sich im Inkreismittelpunkt I, die Mittelsenkrechten im Umkreismittelpunkt U.

I und S liegen immer innen; H und U können auch auf dem Rand oder außerhalb liegen. Der Inkreis berührt alle Seiten, der Umkreis geht durch alle Eckpunkte. Das Thema Inkreis und Umkreis Dreieck behandelt die Radien und die vollständige Kreiskonstruktion.

Ordne jedem Schnittpunkt die richtigen Linien zu.
Unterscheide Abstand zu Seiten und Abstand zu Eckpunkten.

Der Inkreisradius ist der senkrechte Abstand von I zu einer Seite.

Erklärung 06

Kongruent oder ähnlich?

Kongruente Dreiecke haben dieselbe Form und Größe. Drei übereinstimmende Seitenlängen reichen dafür aus. Ähnliche Dreiecke haben dieselbe Form; ihre entsprechenden Seiten stehen im gleichen Verhältnis.

Ordne entsprechende Seiten einander zu.
Prüfe alle drei Verhältnisse.

Der Maßstabsfaktor 1 ist der kongruente Sonderfall.

So geht es am Beispiel

Vergleiche die Seiten 3, 4, 5 mit 6, 8, 10.

\mathsf{\frac63=\frac84=\frac{10}5=2}

Erklärung 07

Vom Zeichnen zum Rechnen

Im Thema Dreiecke berechnest du Umfang, Fläche aus Grundseite und senkrechter Höhe sowie fehlende Winkel mit der Winkelsumme. Rechtwinkliges Dreieck ergänzt den Satz des Pythagoras für Seitenberechnungen. Dreiecksarten ordnet deine Konstruktion nach Seiten und Winkeln ein.

Prüfe die Eigenschaften deiner fertigen Zeichnung.

Eine maßhaltige Zeichnung ersetzt keine Begründung.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Dreieck · AnwendenBeschreibe die SSS-Konstruktion mit a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm. Begründe zuerst die Existenz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Existenz
Konstruktionsschritte
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4+5>6}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zeichne AB = 6 cm. Kreis um A: 5 cm; Kreis um B: 4 cm. Wähle einen Schnittpunkt C und verbinde ihn mit A und B.
Ergebnisse & Teilantworten
1. ExistenzDie Dreiecksungleichung ist erfüllt.
2. KonstruktionsschritteAB = 6 cm; Kreise um A mit 5 cm und um B mit 4 cm; Schnittpunkt C verbinden.
02
Aufgabe 2Dreieck · AnwendenKannst du aus Seiten 2, 3 und 5 cm ein Dreieck konstruieren?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründetes Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2+3=5}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Kreise berühren sich auf der Basis. Die Punkte liegen auf einer Geraden.
Ergebnis
1. Begründetes UrteilNein; die Summe muss echt größer als die längste Seite sein.
03
Aufgabe 3Dreieck · AnwendenKonstruiere über der vorgegebenen Strecke AB ein gleichseitiges Dreieck. Lass die benötigten Kreisbögen sichtbar.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gleichseitiges Dreieck mit Bögen
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Gleichseitiges Dreieck mit Bögen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Stelle den Zirkel auf AB ein.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeichne gleich große Kreisbögen um A und B.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Verbinde ihren oberen Schnittpunkt C mit A und B.
Ergebnis
1. Gleichseitiges Dreieck mit BögenAlle drei Seiten sind so lang wie AB; C liegt im oberen Schnittpunkt.
04
Aufgabe 4Dreieck · AnwendenBeschreibe die Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten 3 und 4 cm. Berechne anschließend seine Hypotenuse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstruktion
Hypotenuse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Zeichne AB = 4 cm. Errichte bei A eine Senkrechte und trage AC = 3 cm darauf ab. Verbinde C mit B.
  $\mathsf{BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Konstruktion4-cm-Basis; Senkrechte am Endpunkt; darauf 3 cm; Endpunkte verbinden.
2. Hypotenuse $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$
05
Aufgabe 5Dreieck · AnwendenBenenne die drei Linien: (a) durch C senkrecht zu AB; (b) von C zur Mitte von AB; (c) senkrecht zu AB durch dessen Mitte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linie a
Linie b
Linie c
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Höhe braucht den Eckpunkt und eine Senkrechte.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Seitenhalbierende braucht Eckpunkt und Seitenmitte.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Mittelsenkrechte braucht Seitenmitte und Senkrechte.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linie aHöhe bzw. Höhengerade.
2. Linie bSeitenhalbierende.
3. Linie cMittelsenkrechte.
06
Aufgabe 6Dreieck · AnwendenBeschreibe die Konstruktion einer inneren Winkelhalbierenden. Ein Winkel beträgt 76 Grad: Berechne einen Teilwinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstruktionsschritte
Teilwinkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gleicher Abstand vom Scheitel liefert P und Q auf den Schenkeln. Gleich große Bögen um P und Q liefern S im Inneren. Verbinde Scheitel und S.
  $\mathsf{76^\circ:2=38^\circ}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. KonstruktionsschritteBogen um Scheitel; gleiche Bögen um P und Q; Scheitel mit innerem Schnittpunkt verbinden.
2. Teilwinkel $\mathsf{38^\circ}$
07
Aufgabe 7Dreieck · AnwendenWelche Linien schneiden sich jeweils in I, U, H und S?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Inkreismittelpunkt I
Umkreismittelpunkt U
Höhenschnittpunkt H
Schwerpunkt S
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Kreismittelpunkte folgen aus gleichen Abständen; die anderen beiden Schnittpunkte sind durch ihre Linien definiert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Inkreismittelpunkt IInnere Winkelhalbierende.
2. Umkreismittelpunkt UMittelsenkrechte.
3. Höhenschnittpunkt HHöhengeraden.
4. Schwerpunkt SSeitenhalbierende.
08
Aufgabe 8Dreieck · AnwendenEin Dreieck hat Seiten 3, 4, 5 cm; ein anderes 6, 8, 10 cm. Prüfe Ähnlichkeit und Kongruenz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Maßstabsfaktor
Ähnlichkeit
Kongruenz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{6/3=8/4=10/5=2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Alle entsprechenden Seiten haben Faktor 2. Die Größen sind verschieden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Maßstabsfaktor $\mathsf{2}$
2. ÄhnlichkeitJa, alle entsprechenden Seiten sind proportional.
3. KongruenzNein, die Seitenlängen stimmen nicht überein.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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