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Dreiecke · Erklären & üben

Dreiecksarten

Ein Dreieck lässt sich nach Seitenlängen und nach Winkeln einordnen. Beide Beschreibungen gelten gleichzeitig.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was zählt als Dreieck?

Drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte bilden ein Dreieck. Die drei Seiten sind positiv; die Summe zweier Seiten muss jeweils größer als die dritte Seite sein.

  1. Prüfe zunächst, ob ein Dreieck möglich ist.

  2. Unterscheide anschließend Seiten- und Winkelart.

a+b>c,a+c>b,b+c>a\mathsf{a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a}

Erklärung 02

Nach den Seiten ordnen

Gleichseitig bedeutet drei gleich lange Seiten. Gleichschenklig bedeutet mindestens zwei gleich lange Seiten; ein gleichseitiges Dreieck gehört daher dazu. Ungleichseitig bedeutet drei verschiedene Seitenlängen.

  1. Vergleiche die drei Längen.

  2. Nenne die genaueste Art und gegebenenfalls ihre Obergruppe.

Gleichseitige Dreiecke sind besondere gleichschenklige Dreiecke.

Drei maßhaltige Dreiecke mit drei gleichen, genau zwei gleichen und drei verschiedenen Seiten.

So geht es am Beispiel

Ein Dreieck hat Seiten 7 cm, 7 cm und 10 cm. Ordne es ein.

Zwei Seiten sind gleich, die dritte ist verschieden.

Ergebnis

Es ist gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.

Erklärung 03

Nach dem größten Winkel ordnen

Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei Winkel unter 90 Grad. Ein rechtwinkliges hat einen Winkel von 90 Grad. Ein stumpfwinkliges hat einen Winkel über 90 Grad. Wegen der Winkelsumme kann höchstens ein Winkel mindestens 90 Grad groß sein.

  1. Bestimme den größten Winkel.

  2. Prüfe ihn gegen 90 Grad.

α+β+γ=180∘\mathsf{\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}

Spitzwinkliges gleichseitiges, rechtwinkliges und stumpfwinkliges Dreieck; der stumpfe Winkel liegt oben.

So geht es am Beispiel

Zwei Winkel betragen 28 Grad und 37 Grad. Welche Winkelart liegt vor?

γ=180∘−28∘−37∘=115∘\mathsf{\gamma=180^\circ-28^\circ-37^\circ=115^\circ}

115 Grad sind größer als 90 Grad.

Ergebnis

Das Dreieck ist stumpfwinklig.

Erklärung 04

Beide Eigenschaften verbinden

Ein gleichschenkliges Dreieck kann spitz-, recht- oder stumpfwinklig sein. Ein gleichseitiges Dreieck hat dagegen immer drei Winkel von 60 Grad und ist spitzwinklig. Eine Skizze allein ersetzt keine gegebenen Maße.

  1. Nutze Seitenangaben für die Seitenart.

  2. Nutze Winkelangaben für die Winkelart.

Gleich lange Seiten liegen gleich großen Winkeln gegenüber.

Erklärung 05

Von Dreiecken zu Vierecken

Das Thema Haus der Vierecke ordnet Vierecke durch gemeinsame Eigenschaften. Die Idee der Obergruppe ist dieselbe wie hier: Gleichseitige Dreiecke gehören zur Gruppe der gleichschenkligen Dreiecke.

  1. Vergleiche Definitionen statt nur Bilder.

Einordnung folgt der gewählten Definition.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Dreiecksarten · AnwendenOrdne die Seiten 5 cm, 5 cm und 8 cm nach ihrer Seitenart ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Zwei Seiten sind gleich lang.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die dritte Seite ist verschieden.

    Ergebnis

    1. SeitenartGleichschenklig, nicht gleichseitig.
  2. Aufgabe 2Dreiecksarten · AnwendenEin Dreieck hat Winkel von 42, 48 und 90 Grad. Nenne die Winkelart.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der größte Winkel beträgt genau 90 Grad.

    Ergebnis

    1. WinkelartRechtwinklig.
  3. Aufgabe 3Dreiecksarten · AnwendenZwei Winkel betragen 35 und 65 Grad. Bestimme den dritten Winkel sowie Seiten- und Winkelart.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      γ=180∘−35∘−65∘=80∘\mathsf{\gamma=180^\circ-35^\circ-65^\circ=80^\circ}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Alle Winkel sind verschieden und kleiner als 90 Grad. Daher sind auch alle Seiten verschieden.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Dritter Winkel80∘\mathsf{80^\circ}
    2. SeitenartUngleichseitig.
    3. WinkelartSpitzwinklig.
  4. Aufgabe 4Dreiecksarten · AnwendenKann ein gleichseitiges Dreieck stumpfwinklig sein? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Gleiche Seiten erzwingen drei gleiche Winkel.

      180∘:3=60∘\mathsf{180^\circ:3=60^\circ}

    Ergebnis

    1. Begründetes UrteilNein. Alle Winkel betragen 60 Grad.
  5. Aufgabe 5Dreiecksarten · AnwendenZeichne A(0|0), B(6|0) und C(3|4), verbinde die Punkte und benenne die Seitenart.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Dreieck

    Leere Koordinatenvorlage mit Einheiten und Zahlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      C liegt über der Mitte von AB. Die Abstände zu A und B sind gleich.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Verbinde die drei Punkte.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. DreieckDreieck mit Spitze C(3|4).
    2. SeitenartGleichschenklig, nicht gleichseitig.
  6. Aufgabe 6Dreiecksarten · AnwendenKönnen 2 cm, 3 cm und 6 cm die Seiten eines Dreiecks sein?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      2+3=5<6\mathsf{2+3=5<6}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die beiden kürzeren Seiten reichen zusammen nicht bis zum Ende der längsten Seite.

    Ergebnis

    1. Begründetes UrteilNein; die Dreiecksungleichung ist verletzt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

AT Academy · Version 2026-10-21

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