Kreise berechnen · Erklären & üben

Durchmesser berechnen

Der Durchmesser verläuft durch den Mittelpunkt von einem Kreisrand zum gegenüberliegenden Rand. Er ist doppelt so groß wie der Radius und lässt sich auch aus Umfang oder Fläche bestimmen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Nicht jede Sehne ist ein Durchmesser

Ein Durchmesser ist eine Sehne durch M und die längste Sehne im Kreis. Eine Strecke vom Mittelpunkt zum Rand ist dagegen nur ein Radius.

Prüfe die Endpunkte und ob M auf der Strecke liegt.

$\mathsf{d=2r}$

Durchmesser durch den Mittelpunkt und ein dazu senkrecht eingezeichneter Radius.

Erklärung 02

Aus dem Radius

Verdopple den gegebenen Radius. Die Einheit bleibt dieselbe.

Eine Skizze verhindert das Verwechseln von r und d.

$\mathsf{d=2r}$

So geht es am Beispiel

r = 6,5 cm. Bestimme d.

\mathsf{d=13\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Aus dem Umfang

Teile den Umfang durch π. Hier steht keine 2 im Nenner; die Division durch 2π würde den Radius liefern.

Stelle U = πd nach d um.

$\mathsf{d=\frac U\pi}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{U=7\pi\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme d.

\mathsf{d=7\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Aus dem Flächeninhalt

Ziehe nach dem Teilen durch π die Quadratwurzel. Damit erhältst du r. Verdopple erst danach, um d zu erhalten.

Flächeneinheit unter der Wurzel wird zur Längeneinheit.

$\mathsf{d=2\sqrt{\frac A\pi}}$

Gefüllte Kreisfläche mit zunächst unbekanntem Radius.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{A=81\pi\,\mathsf{cm}^2}$ . Bestimme d.

\mathsf{r=\sqrt{81}=9\,\mathsf{cm}}

\mathsf{d=18\,\mathsf{cm}}

Erklärung 05

Einheiten und Rückprobe

Rechne alle gegebenen Längen zunächst in die gewünschte Einheit um. Zur Rückprobe setzt du d in U = πd oder A = π(d/2)² ein.

Vergleiche mit der ursprünglich gegebenen Größe.

Ein Durchmesser muss größer als der zugehörige Radius sein.

Erklärung 06

Weiter zum Flächeninhalt

Bei bekanntem Durchmesser wird für die Fläche zuerst halbiert. Den Durchmesser direkt in πr² einzusetzen, macht die Fläche viermal zu groß.

Weiterlernen: Flächeninhalt Kreis für Radius-, Durchmesser- und Umfangsaufgaben.

$\mathsf{A=\frac{\pi d^2}{4}}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Durchmesser berechnen · Anwendenr = 4,2 cm. Berechne d.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Durchmesser
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d=8{,}4\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Durchmesser8,4 cm
02
Aufgabe 2Durchmesser berechnen · Anwenden $\mathsf{U=15\pi\,\mathsf{cm}}$ . Berechne d.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Durchmesser
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d=15\pi/\pi=15\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Durchmesser15 cm
03
Aufgabe 3Durchmesser berechnen · Anwenden $\mathsf{A=36\pi\,\mathsf{cm}^2}$ . Berechne d.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Durchmesser
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=6\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{d=12\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Durchmesser12 cm
04
Aufgabe 4Durchmesser berechnen · Anwendenr = 45 mm. Berechne d in cm.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Durchmesser
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=4{,}5\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{d=9\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Durchmesser9 cm
05
Aufgabe 5Durchmesser berechnen · AnwendenNutze die dargestellte Strecke MP als Radius. Zeichne den Kreis um M durch P. Verlängere PM durch M bis zum Kreis und nenne den neuen Endpunkt Q. Die Vorlage ist skaliert; übernimm die gezeichnete Strecke mit dem Zirkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstruktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Konstruktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze die Zirkelspitze in M und öffne den Zirkel bis P.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeichne den vollständigen Kreis bei unveränderter Öffnung.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Verlängere PM durch M zum gegenüberliegenden Kreisrand Q.
Ergebnis
1. KonstruktionKreis mit Mittelpunkt M durch P; QP geht durch M und hat die doppelte Länge von MP.
06
Aufgabe 6Durchmesser berechnen · AnwendenFür $\mathsf{U=10\pi\,\mathsf{cm}}$ wird $\mathsf{d=U/(2\pi)=5\,\mathsf{cm}}$ behauptet. Korrigiere den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrektur
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{U/(2\pi)}$ liefert r, nicht d.
  $\mathsf{d=U/\pi=10\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Korrekturd = 10 cm; die berechneten 5 cm sind der Radius.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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