Ebenen · Erklären & üben

Ebenengleichung

Eine Ebenengleichung beschreibt dieselbe Ebene auf unterschiedliche Weise: mit zwei Spannrichtungen, mit einer Normalen oder mit einer linearen Koordinatengleichung. Die passende Form hängt von den Daten und der Fragestellung ab.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Drei Darstellungen derselben Ebene

Die Parameterform benötigt zwei unabhängige Spannvektoren. Die Normalenform benötigt eine Nichtnullnormale und einen Ebenenpunkt. In der Koordinatenform erscheinen die Normalenkomponenten als Koeffizienten. Keine dieser Darstellungen ist auf einen endlichen Ausschnitt beschränkt.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{\vec x=\vec p+s\vec u+t\vec v}$

So geht es am Beispiel

Gib drei Darstellungen der Ebene $\mathsf{z=2}$ an.

\mathsf{\vec x=(0,0,2)+s(1,0,0)+t(0,1,0)}

\mathsf{(0,0,1)\cdot(\vec x-(0,0,2))=0}

Erklärung 02

Welche Ausgangsdaten reichen?

Drei nicht kollineare Punkte reichen aus. Ebenso bestimmen eine Gerade und ein Punkt außerhalb, zwei verschiedene parallele Geraden oder zwei sich schneidende Geraden eine Ebene. Bei Gerade plus Punkt nutzt du Geradenrichtung und Verbindung zum äußeren Punkt. Bei parallelen Geraden nutzt du eine Richtung und die Verbindung ihrer Stützpunkte. Bei schneidenden Geraden nimmst du beide Richtungen und den Schnittpunkt.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{\vec u=\vec b-\vec a,\qquad\vec v=\vec c-\vec a}$

So geht es am Beispiel

Stelle die Ebene durch $\mathsf{A(0|0|1)}$ , $\mathsf{B(1|0|1)}$ und $\mathsf{C(0|1|1)}$ auf.

\mathsf{\vec u=(1,0,0),\quad\vec v=(0,1,0)}

Erklärung 03

Zwischen den Formen wechseln

Von Parametern zur Normalenform bestimmst du eine Normale orthogonal zu beiden Spannrichtungen. Ausmultiplizieren liefert die Koordinatenform. Umgekehrt liefern deren Koeffizienten eine Normale; ein passender Punkt ergibt die Normalenform. Für Parameter wählst du zwei Koordinaten frei oder drei nicht kollineare Ebenenpunkte.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{d=\vec n\cdot\vec p}$

So geht es am Beispiel

Forme $\mathsf{(0,0,1)\cdot(\vec x-(0,0,1))=0}$ in Koordinaten- und Parameterform um.

\mathsf{z-1=0}

\mathsf{x=s,\quad y=t,\quad z=1}

Erklärung 04

Identisch, parallel oder schneidend

Nicht parallele Normalen bedeuten eine Schnittgerade. Bei parallelen Normalen entscheidet eine Punktprobe zwischen identisch und echt parallel. In Parameterform kannst du gleichsetzen oder zuerst Normalen bilden. Bei gemischten Formen setzt du die Parameterkoordinaten in die Koordinatengleichung ein: eine Identität bedeutet enthalten und damit identisch, ein Widerspruch echt parallel, eine nichttriviale lineare Beziehung der zwei Parameter eine Schnittgerade.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{\vec n_1\not\parallel\vec n_2\ \Rightarrow\ \textsf{Schnittgerade}}$

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{E:z=1}$ mit $\mathsf{F:z=2}$ sowie mit $\mathsf{H:x=1}$ .

E und F haben parallele Normalen, aber keinen gemeinsamen Punkt.

E und H besitzen die gemeinsamen Punkte (1|t|1).

Erklärung 05

Punktprobe in jeder Form

In Koordinatenform setzt du die Punktkoordinaten ein; in Normalenform prüfst du das Skalarprodukt. In Parameterform suchst du ein gemeinsames Parameterpaar, das alle drei Komponenten erfüllt. Die Formen müssen bei der Punktprobe dieselbe Entscheidung liefern.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{P\in E\quad\Longleftrightarrow\quad\textsf{die Gleichung ist erfüllt}}$

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{P(2|3|1)}$ für die Ebene $\mathsf{z=1}$ in allen drei Formen.

Koordinatenform: $\mathsf{z_P=1}$ .

Normalenform: $\mathsf{(0,0,1)\cdot((2,3,1)-(0,0,1))=0}$ .

Parameterform: $\mathsf{s=2,t=3}$ erfüllt alle Komponenten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Ebenengleichung · standardWelche Form bietet sich an, wenn ein Punkt und eine Nichtnullnormale gegeben sind?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Form
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Normalenform verwendet genau diese beiden Angaben.
Ergebnis
1. FormNormalenform.
02
Aufgabe 2Ebenengleichung · standardStelle eine Parameterform durch $\mathsf{A(0|0|1)}$ , $\mathsf{B(2|0|1)}$ , $\mathsf{C(0|3|1)}$ auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameterform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec u=(2,0,0),\quad\vec v=(0,3,0)}$
Ergebnis
1. Parameterform $\mathsf{\vec x=(0,0,1)+s(2,0,0)+t(0,3,0)}$
03
Aufgabe 3Ebenengleichung · standardGegeben sind $\mathsf{g:\vec x=(0,0,1)+s(1,0,0)}$ und $\mathsf{P(0|2|1)}$ . Stelle die gemeinsame Ebene auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ebene
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  P liegt nicht auf g, weil seine y-Koordinate2 ist.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Verbindungsvektor zum Punkt ist $\mathsf{(0,2,0)}$ .
Ergebnis
1. Ebene $\mathsf{\vec x=(0,0,1)+s(1,0,0)+t(0,2,0)}$
04
Aufgabe 4Ebenengleichung · standardZeichne in der Vorlage die Spannpfeile A→B und A→C. Beschrifte sie mit $\mathsf{\vec u,\vec v}$ und das Dreieck mit E.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Spannzeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Spannzeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Punkte besitzen z=2 und zwei unabhängige Verbindungsrichtungen.
Ergebnis
1. SpannzeichnungDreieck ABC mit beiden Spannpfeilen von A aus.
05
Aufgabe 5Ebenengleichung · standardVergleiche $\mathsf{E:z=1}$ mit $\mathsf{F:2z=2}$ und $\mathsf{H:z=3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
E und F
E und H
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2z=2\Longleftrightarrow z=1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  H hat dieselbe Normalenrichtung, aber andere z-Koordinate.
Ergebnisse & Teilantworten
1. E und FIdentisch.
2. E und HEcht parallel.
06
Aufgabe 6Ebenengleichung · standardVergleiche $\mathsf{E:z=1}$ und $\mathsf{F:\vec x=(0,0,0)+s(1,0,0)+t(0,0,1)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lage
Schnittgerade
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  In F gilt x=s,y=0,z=t.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Einsetzen in E ergibt t=1; s bleibt frei.
Ergebnisse & Teilantworten
1. LageSchneidend.
2. Schnittgerade $\mathsf{\vec x=(0,0,1)+s(1,0,0)}$
07
Aufgabe 7Ebenengleichung · standardBestimmen $\mathsf{A(0|0|0)}$ , $\mathsf{B(1|1|1)}$ und $\mathsf{C(2|2|2)}$ eindeutig eine Ebene?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Punkte liegen auf einer Geraden; durch diese gehen unendlich viele Ebenen.
Ergebnis
1. EntscheidungNein; die drei Punkte sind kollinear.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Punkt, Richtungsvektor und Normalenvektor.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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