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Ebenen · Erklären & üben

Hessesche Normalform

Die Hessesche Normalform ist eine Normalenform mit einer Normale der Länge eins. Die Normierung trennt die Richtung von der willkürlichen Länge des Normalenvektors.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Durch die Vektorlänge teilen

Die Länge einer Nichtnullnormalen ist die Wurzel aus der Summe ihrer Komponentenquadrate. Teile jede Komponente durch diese Länge. So entsteht der Einheitsnormalenvektor; der Nullvektor kann nicht normiert werden.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

n⃗0=n⃗∥n⃗∥\mathsf{\vec n_0=\frac{\vec n}{\|\vec n\|}}

Ebene z = 2

So geht es am Beispiel

Normiere n⃗=(3,4,0)\mathsf{\vec n=(3,4,0)}.

∥n⃗∥=9+16=5\mathsf{\|\vec n\|=\sqrt{9+16}=5}
n⃗0=(3/5,4/5,0)\mathsf{\vec n_0=(3/5,4/5,0)}

Ergebnis

n⃗0=(3/5,4/5,0)\mathsf{\vec n_0=(3/5,4/5,0)}

Erklärung 02

Die ganze Gleichung normieren

Bei ax+by+cz=d\mathsf{ax+by+cz=d} teilst du beide Seiten durch a2+b2+c2\mathsf{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. In zwei Dimensionen entfällt die dritte Komponente. Die Punktform lautet n⃗0⋅(x⃗−p⃗)=0\mathsf{\vec n_0\cdot(\vec x-\vec p)=0}. Manche Konventionen wählen die rechte Seite nichtnegativ; falls nötig, multiplizierst du die gesamte normierte Gleichung mit minus eins.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

ax+by+cz−da2+b2+c2=0\mathsf{\frac{ax+by+cz-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0}

Gerade 2x + y = 6 in der xy-Ebene

So geht es am Beispiel

Normiere 3x+4y=10\mathsf{3x+4y=10} als Gerade in der xy-Ebene.

32+42=5\mathsf{\sqrt{3^2+4^2}=5}
35x+45y=2\mathsf{\frac35x+\frac45y=2}

Ergebnis

35x+45y−2=0\mathsf{\frac35x+\frac45y-2=0}

Erklärung 03

Vorzeichen und direkte Abstandsanwendung

Das Einsetzen eines Punktes in die normierte linke Seite ergibt einen orientierten Wert. Sein Betrag ist der senkrechte Abstand. Ein Vorzeichenwechsel der Normalen ändert nur die Orientierung, nicht den Abstand. Dies ist die direkte Anwendung der Normierung; weitergehende Abstandsverfahren gehören zum eigenen Abstandsblock.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

d(P,E)=∣axP+byP+czP−d∣a2+b2+c2\mathsf{d(P,E)=\frac{|ax_P+by_P+cz_P-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}

So geht es am Beispiel

Bestimme den Abstand des Ursprungs von E:3x+4y=10\mathsf{E:3x+4y=10} im Raum.

d(O,E)=∣0−10∣/5=2\mathsf{d(O,E)=|0-10|/5=2}

Ergebnis

2\mathsf{2} Längeneinheiten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Hessesche Normalform · standardBerechne die Länge von n⃗=(2,−1,2)\mathsf{\vec n=(2,-1,2)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∥n⃗∥=4+1+4=3\mathsf{\|\vec n\|=\sqrt{4+1+4}=3}

    Ergebnis

    1. Länge3\mathsf{3}
  2. Aufgabe 2Hessesche Normalform · standardNormiere n⃗=(2,−1,2)\mathsf{\vec n=(2,-1,2)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      n⃗0=n⃗/3\mathsf{\vec n_0=\vec n/3}

    Ergebnis

    1. Einheitsnormalen⃗0=(2/3,−1/3,2/3)\mathsf{\vec n_0=(2/3,-1/3,2/3)}
  3. Aufgabe 3Hessesche Normalform · standardBringe 2x−y+2z=6\mathsf{2x-y+2z=6} in Hessesche Normalform.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∥n⃗∥=3\mathsf{\|\vec n\|=3}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Teile alle Terme durch3.

    Ergebnis

    1. HNF23x−13y+23z−2=0\mathsf{\frac23x-\frac13y+\frac23z-2=0}
  4. Aufgabe 4Hessesche Normalform · standardIn der Vorlage liegt E:z=2\mathsf{E:z=2} mit A(0∣0∣2)\mathsf{A(0|0|2)} und N(0∣0∣3)\mathsf{N(0|0|3)}. Zeichne den Einheitsnormalenpfeil A→N und den Ebenenausschnitt ABC. Beschrifte die Normale mit n⃗0\mathsf{\vec n_0}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Einheitsnormale

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung
      AN→=(0,0,1),∥AN→∥=1\mathsf{\overrightarrow{AN}=(0,0,1),\quad\|\overrightarrow{AN}\|=1}

    Ergebnis

    1. EinheitsnormalePfeil A→N mit n⃗0=(0,0,1)\mathsf{\vec n_0=(0,0,1)} und Dreieck ABC.
  5. Aufgabe 5Hessesche Normalform · standardWarum liefert das Negieren der gesamten Hesseschen Normalform dieselben Abstände?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der eingesetzte orientierte Wert wechselt sein Vorzeichen.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Betrag bleibt unverändert.

    Ergebnis

    1. BegründungDie Orientierung kehrt sich um, der Betrag und damit der Abstand bleiben gleich.
  6. Aufgabe 6Hessesche Normalform · standardBestimme in der xy-Ebene den Abstand des Ursprungs von 3x+4y=20\mathsf{3x+4y=20}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=∣−20∣/9+16=20/5=4\mathsf{d=|-20|/\sqrt{9+16}=20/5=4}

    Ergebnis

    1. Abstand4\mathsf{4} Längeneinheiten.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Punkt, Richtungsvektor und Normalenvektor.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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