AT Academy
Zum Mathematik-Inhalt

Sinus, Cosinus und Tangens · Erklären & üben

Einheitskreis

Der Einheitskreis hat Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1. Er macht Sinus und Cosinus als Koordinaten eines Kreispunkts sichtbar und verbindet Winkel mit Funktionswerten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Winkel und Koordinaten zuordnen

Winkel beginnen auf der positiven x-Achse. Gegen den Uhrzeigersinn zählen wir positiv, im Uhrzeigersinn negativ. Der Kreispunkt zum Winkel α hat x-Koordinate cos α und y-Koordinate sin α. Eine volle Drehung verändert den Punkt nicht. In Quadrant I sind beide Werte positiv, in II ist Cosinus negativ und Sinus positiv, in III beide negativ und in IV Cosinus positiv und Sinus negativ. Auf den Achsen kann ein Wert 0 sein.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

P=(cos⁡α∣sin⁡α),cos⁡2α+sin⁡2α=1\mathsf{P=(\cos\alpha|\sin\alpha),\quad\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1}

Einheitskreis mit Koordinatenprojektion und orientiertem Winkel.

Erklärung 02

Wichtige Winkel exakt lesen

Die Tabelle enthält exakte Grundwerte. Durch Spiegelung und Vorzeichen lassen sie sich auf andere Quadranten übertragen. Bei 180° liegt P bei (−1|0), bei 270° bei (0|−1). Die Kreisgleichung folgt aus Pythagoras mit Radius 1; aus ihr allein ergibt sich noch nicht das Vorzeichen einer Koordinate.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

x2+y2=1\mathsf{x^2+y^2=1}

Kleine Tabelle exakter Werte einschließlich Tangens-Definitionslücke.

So geht es am Beispiel

Bestimme P zum Winkel 60° und zum gespiegelten Winkel 120°.

P60=(1/2∣3/2)\mathsf{P_{60}=(1/2|\sqrt3/2)}
P120=(−1/2∣3/2)\mathsf{P_{120}=(-1/2|\sqrt3/2)}

Ergebnis

Beim Spiegeln an der y-Achse wechselt nur der Cosinus sein Vorzeichen.

Erklärung 03

Gradmaß und Bogenmaß umrechnen

Das Bogenmaß ist Bogenlänge geteilt durch Radius. Am Einheitskreis entspricht es der orientierten Bogenlänge. Eine volle Drehung hat 360° beziehungsweise 2π; eine halbe 180° beziehungsweise π. Die Kreisskizze ist in Längeneinheiten, die Winkelangabe ausdrücklich in Grad oder Bogenmaß beschriftet.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

x=απ180,α=x180π\mathsf{x=\alpha\frac\pi{180},\qquad\alpha=x\frac{180}\pi}

So geht es am Beispiel

Wandle 150° in Bogenmaß um.

x=150π/180=5π/6\mathsf{x=150\pi/180=5\pi/6}

Ergebnis

150° entsprechen 5π/6.

So geht es am Beispiel

Wandle 5π/4 in Gradmaß um.

α=(5π/4)⋅180/π=225∘\mathsf{\alpha=(5\pi/4)\cdot180/\pi=225^\circ}

Ergebnis

5π/4 entsprechen 225°.

Erklärung 04

Tangens als Koordinatenverhältnis

Wenn die x-Koordinate nicht 0 ist, ist Tangens das Verhältnis y/x des Kreispunkts. Bei 90° und 270° ist der Nenner 0. Tangens ist daher nicht für jeden Winkel definiert. Die Grundfunktionen und ihre Kurven behandelt Trigonometrische Funktionen.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α(cos⁡α≠0)\mathsf{\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad(\cos\alpha\ne0)}

So geht es am Beispiel

Bestimme tan(60°) aus dem Kreispunkt.

tan⁡60∘=3/21/2=3\mathsf{\tan60^\circ=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3}

Ergebnis

Der Tangenswert ist √3.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Einheitskreis · EinstiegEin Kreis um den Ursprung ist ein Einheitskreis. Wie groß ist sein Radius?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Radius 1 gehört zur Definition.

    Ergebnis

    1. Radius1\mathsf{1}
  2. Aufgabe 2Einheitskreis · EinstiegGib die Koordinaten des Kreispunkts zu 60° an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P=(cos⁡60∘∣sin⁡60∘)=(1/2∣3/2)\mathsf{P=(\cos60^\circ|\sin60^\circ)=(1/2|\sqrt3/2)}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. x-Koordinate12\mathsf{\frac12}
    2. y-Koordinate32\mathsf{\frac{\sqrt3}2}
  3. Aufgabe 3Einheitskreis · StandardWelche Vorzeichen haben Sinus und Cosinus bei 120°?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      120° liegt im zweiten Quadranten: x negativ, y positiv.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. SinusPositiv.
    2. CosinusNegativ.
  4. Aufgabe 4Einheitskreis · StandardWandle 150° in Bogenmaß um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      150π/180=5π/6\mathsf{150\pi/180=5\pi/6}

    Ergebnis

    1. Bogenmaß5π6\mathsf{\frac{5\pi}6}
  5. Aufgabe 5Einheitskreis · TransferWandle 5π/4 in Gradmaß um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (5π/4)⋅180/π=225∘\mathsf{(5\pi/4)\cdot180/\pi=225^\circ}

    Ergebnis

    1. Gradmaß225∘\mathsf{225^\circ}
  6. Aufgabe 6Einheitskreis · TransferZeichne den Kreispunkt zu 120°, seinen Radius und die senkrechte Projektion auf die x-Achse in die Vorlage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Kreispunkt und Projektion

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der Punkt liegt bei (−1/2|√3/2) im zweiten Quadranten. Die Projektion trifft die x-Achse bei −1/2.

    Ergebnis

    1. Kreispunkt und ProjektionP120 mit Radius und Projektion bei x = −1/2.
  7. Aufgabe 7Einheitskreis · TransferBerechne tan(60°) mithilfe der Koordinaten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (3/2)/(1/2)=3\mathsf{(\sqrt3/2)/(1/2)=\sqrt3}

    Ergebnis

    1. Tangenswert3\mathsf{\sqrt3}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

AT Academy · Version 2026-10-21

Einheitskreis | AT Academy