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Sinus, Cosinus und Tangens · Erklären & üben

Trigonometrische Funktionen

Sinus, Cosinus und Tangens verbinden Winkel mit Zahlenwerten. Dieses Thema vergleicht ihre Graphen und vertieft Cosinus sowie Tangens; die ausführliche Sinusmodellierung folgt im eigenen Thema Sinusfunktion.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vom Dreieck zu allen Winkeln

Im rechtwinkligen Dreieck beziehen sich Gegenkathete und Ankathete auf den gewählten spitzen Winkel. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Cosinus Ankathete durch Hypotenuse und Tangens Gegenkathete durch Ankathete. Am Einheitskreis werden Sinus und Cosinus auf alle Winkel erweitert: Cosinus ist die x-, Sinus die y-Koordinate. Es gilt 180° = π im Bogenmaß. Stelle den Taschenrechner passend zu Gradmaß oder Bogenmaß ein.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

sin⁡α=GH,cos⁡α=AH,tan⁡α=GA\mathsf{\sin\alpha=\frac GH,\quad\cos\alpha=\frac AH,\quad\tan\alpha=\frac GA}

So geht es am Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt zum gewählten Winkel Gegenkathete 6, Ankathete 8 und Hypotenuse 10.

sin⁡α=6/10=0,6\mathsf{\sin\alpha=6/10=0{,}6}
cos⁡α=8/10=0,8\mathsf{\cos\alpha=8/10=0{,}8}
tan⁡α=6/8=0,75\mathsf{\tan\alpha=6/8=0{,}75}

Ergebnis

Die drei Verhältnisse sind einheitenfrei.

Erklärung 02

Grundfunktionen vergleichen

Ab hier wird x im Bogenmaß verwendet. Sinus und Cosinus sind auf allen reellen Zahlen definiert, haben Wertebereich [−1,1], Amplitude 1 und Periode 2π. Sinus ist ungerade und punktsymmetrisch zum Ursprung, Cosinus gerade und achsensymmetrisch zur y-Achse. Sinusnullstellen liegen bei kπ, Cosinusnullstellen bei π/2 + kπ. Sinusmaxima liegen bei π/2 + 2kπ, Minima bei 3π/2 + 2kπ; Cosinusmaxima bei 2kπ und Minima bei π + 2kπ. k ist jeweils eine ganze Zahl. Grundwerte: Bei 0 sind Sinus/Cosinus 0/1, bei π/2 sind sie 1/0 und bei π sind sie 0/−1. Verschobene und gestreckte Sinuskurven behandelt das eigene Thema Sinusfunktion.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\mathsf{\sin(-x)=-\sin x,\qquad\cos(-x)=\cos x}

Erklärung 03

Cosinusparameter aus dem Graphen lesen

In der Form a cos(b(x−c)) + d mit a und b ungleich 0 ist die Amplitude |a|, die Periode 2π/|b|, die Mittellinie y = d und die horizontale Verschiebung c. Der Wertebereich reicht von d−|a| bis d+|a|. Negative a spiegeln an der Mittellinie. Die Grundsymmetrie verschiebt sich: x = c ist eine Symmetrieachse. Ein Graph bestimmt die Parameterdarstellung nicht immer eindeutig; gesucht ist eine passende Vorschrift.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

f(x)=acos⁡(b(x−c))+d\mathsf{f(x)=a\cos(b(x-c))+d}

Cosinusgraph mit erkennbarer Amplitude, Mittellinie und Periode.

So geht es am Beispiel

Der dargestellte Graph hat Maximum 3 bei x = 0, Minimum −1 bei x = π und das nächste Maximum bei 2π. Bestimme eine Vorschrift.

a=(3−(−1))/2=2,d=(3+(−1))/2=1\mathsf{a=(3-(-1))/2=2,\quad d=(3+(-1))/2=1}
T=2π⇒b=1,c=0\mathsf{T=2\pi\Rightarrow b=1,\quad c=0}

Ergebnis

Eine passende Vorschrift ist f(x) = 2 cos(x) + 1.

Erklärung 04

Definitionslücken statt Amplitude

Tangens ist Sinus geteilt durch Cosinus und nur definiert, wenn der Cosinus nicht 0 ist. Er hat Wertebereich ℝ, Periode π, Nullstellen kπ und Polstellen π/2 + kπ. Der Grundgraph ist ungerade und innerhalb jedes Astes streng steigend; eine endliche Amplitude gibt es nicht. Bei a tan(b(x−c)) + d mit a,b ungleich 0 wird die Periode π/|b|; die Polstellen sind c + (π/2 + kπ)/b. Cotangens ist cos(x)/sin(x) und daher an kπ nicht definiert; der Quotient wird nicht an ausgeschlossenen Stellen benutzt.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x,x≠π2+kπ\mathsf{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad x\ne\frac\pi2+k\pi}

Tangensgraph mit echten Unterbrechungen an den Polstellen.

So geht es am Beispiel

Charakterisiere den Grundtangens zwischen −π und π.

Nullstellen im abgeschlossenen Zeichenbereich sind −π, 0 und π; Lücken liegen bei −π/2 und π/2. Die Äste werden dort nicht verbunden.

tan⁡(π/4)=1,tan⁡(−π/4)=−1\mathsf{\tan(\pi/4)=1,\qquad\tan(-\pi/4)=-1}

Ergebnis

Drei getrennte Graphenteile liegen im Zeichenfenster.

Erklärung 05

Ableitungen gelten im Bogenmaß

Die folgenden einfachen Ableitungsregeln setzen das Bogenmaß voraus. Bei zusammengesetzten Argumenten kommt die innere Ableitung als Faktor hinzu. Tangens darf nur auf seinem Definitionsbereich abgeleitet werden.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x,(tan⁡x)′=1cos⁡2x\mathsf{(\sin x)^{\prime}=\cos x,\quad(\cos x)^{\prime}=-\sin x,\quad(\tan x)^{\prime}=\frac1{\cos^2x}}

So geht es am Beispiel

Leite f(x)=3cos⁡(2x)\mathsf{f(x)=3\cos(2x)} ab.

Äußere Cosinusableitung und innere Ableitung 2 werden multipliziert.

f′(x)=−6sin⁡(2x)\mathsf{f^{\prime}(x)=-6\sin(2x)}

Ergebnis

Die Ableitung ist −6 sin(2x).

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Trigonometrische Funktionen · EinstiegEin rechtwinkliges Dreieck hat zum Winkel α die Gegenkathete 6, Ankathete 8 und Hypotenuse 10. Bestimme Sinus und Cosinus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      sin⁡α=6/10=0,6\mathsf{\sin\alpha=6/10=0{,}6}
      cos⁡α=8/10=0,8\mathsf{\cos\alpha=8/10=0{,}8}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Sinus0,6\mathsf{0{,}6}
    2. Cosinus0,8\mathsf{0{,}8}
  2. Aufgabe 2Trigonometrische Funktionen · EinstiegWandle 120° in Bogenmaß um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      120⋅π/180=2π/3\mathsf{120\cdot\pi/180=2\pi/3}

    Ergebnis

    1. Bogenmaß2π3\mathsf{\frac{2\pi}3}
  3. Aufgabe 3Trigonometrische Funktionen · StandardEin Cosinusgraph hat Maximum 3 bei 0, Minimum −1 bei π und nächstes Maximum bei 2π. Gib Amplitude, Mittellinie und eine Vorschrift an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=2,d=1,T=2π\mathsf{A=2,\quad d=1,\quad T=2\pi}
      f(x)=2cos⁡x+1\mathsf{f(x)=2\cos x+1}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Amplitude2\mathsf{2}
    2. Mittelliniey=1\mathsf{y=1}
    3. Vorschriftf(x)=2cos⁡x+1\mathsf{f(x)=2\cos x+1}
  4. Aufgabe 4Trigonometrische Funktionen · StandardBestimme die Nullstellen von cos(x) im Intervall [0,2π).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Cosinus ist bei den beiden vertikalen Kreispunkten 0.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erste Nullstelleπ/2\mathsf{\pi/2}
    2. Zweite Nullstelle3π/2\mathsf{3\pi/2}
  5. Aufgabe 5Trigonometrische Funktionen · TransferBestimme tan(π/4). Ist tan(π/2) definiert?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      tan⁡(π/4)=1\mathsf{\tan(\pi/4)=1}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Bei π/2 ist Cosinus 0; der Quotient ist dort nicht definiert.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Tangenswert1\mathsf{1}
    2. Bei π/2Nicht definiert.
  6. Aufgabe 6Trigonometrische Funktionen · TransferZeichne den Grundtangens im vorbereiteten Bereich von −π bis π. Asymptoten sind bereits gestrichelt; verbinde die Äste nicht über diese Linien.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Tangensgraph

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Nutze die Nullstellen −π, 0, π sowie die Werte −1 und 1 bei −π/4 und π/4 im mittleren Ast. Wiederhole den Verlauf mit Periode π.

    Ergebnis

    1. TangensgraphDrei getrennte steigende Graphenteile, Lücken an ±π/2.
  7. Aufgabe 7Trigonometrische Funktionen · TransferLeite f(x)=3cos⁡(2x)\mathsf{f(x)=3\cos(2x)} im Bogenmaß ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=3⋅(−sin⁡(2x))⋅2=−6sin⁡(2x)\mathsf{f^{\prime}(x)=3\cdot(-\sin(2x))\cdot2=-6\sin(2x)}

    Ergebnis

    1. Ableitung−6sin⁡(2x)\mathsf{-6\sin(2x)}
  8. Aufgabe 8Trigonometrische Funktionen · TransferWarum ist cot(0) als cos(0)/sin(0) nicht definiert?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      cos⁡0=1,sin⁡0=0\mathsf{\cos0=1,\quad\sin0=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Quotient würde durch 0 teilen.

    Ergebnis

    1. BegründungDer Nenner sin(0) ist 0.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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