Matrizen · Erklären & üben

Einheitsmatrix als neutrales Element

Die Einheitsmatrix übernimmt bei Matrixprodukten die Rolle der Zahl 1. Ihre Größe muss allerdings zur Seite passen, auf der du sie multiplizierst.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine Einheitsmatrix aufbauen

Die Einheitsmatrix $\mathsf{I_n}$ ist quadratisch und hat n Zeilen sowie n Spalten. Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, alle übrigen Einträge sind 0.

Zum Beispiel: $\mathsf{I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ . Die Nullmatrix und eine Matrix voller Einsen sind keine Einheitsmatrizen.

Die Einheitsmatrix I3 mit markierter Hauptdiagonale und den Eigenschaften Quadrat, Transponierte und Spur.

Erklärung 02

Links und rechts die richtige Größe wählen

Für eine $\mathsf{m\times n}$ -Matrix A gilt $\mathsf{I_mA=A=AI_n}$ . Links braucht die Einheitsmatrix die Zeilenzahl, rechts die Spaltenzahl von A.

Bei einer rechteckigen Matrix sind die beiden Einheitsmatrizen verschieden groß. Für eine $\mathsf{2\times3}$ -Matrix gilt beispielsweise $\mathsf{I_2A=A=AI_3}$ .

Für eine rechteckige 2-mal-3-Matrix steht links I2 und rechts I3.

So geht es am Beispiel

Wähle die Einheitsmatrizen zu $\mathsf{A=\begin{pmatrix}2&-1&4\\0&3&5\end{pmatrix}}$ .

Links: $\mathsf{(2\times2)(2\times3)}$ ergibt $\mathsf{2\times3}$ .

\mathsf{I_2A=\begin{pmatrix}2&-1&4\\0&3&5\end{pmatrix}}

Rechts: $\mathsf{(2\times3)(3\times3)}$ ergibt $\mathsf{2\times3}$ .

\mathsf{AI_3=\begin{pmatrix}2&-1&4\\0&3&5\end{pmatrix}}

Erklärung 03

Warum bleibt die Matrix gleich?

Beim Produkt $\mathsf{I_mA}$ wählt die 1 in Zeile i der Einheitsmatrix genau die Zeile i von A aus. Die anderen Faktoren sind 0. Beim Produkt $\mathsf{AI_n}$ wird entsprechend jede Spalte an ihrer Position erhalten.

Für eine feste quadratische Größe ist das neutrale Element eindeutig. Würde E jede passende Matrix unverändert lassen, dann wäre insbesondere $\mathsf{EI_n=I_n}$ . Andererseits gilt $\mathsf{EI_n=E}$ . Also muss $\mathsf{E=I_n}$ sein.

So geht es am Beispiel

Rechne $\mathsf{I_2\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}}$ eintragsweise nach.

\mathsf{c_{11}=1\cdot2+0\cdot3=2}

\mathsf{c_{12}=1\cdot(-1)+0\cdot4=-1}

\mathsf{c_{21}=0\cdot2+1\cdot3=3}

\mathsf{c_{22}=0\cdot(-1)+1\cdot4=4}

Erklärung 04

Quadrat, Transponierte und Inverse

Weil die Einheitsmatrix neutral wirkt, gilt $\mathsf{I_n^2=I_n}$ . Beim Transponieren werden Zeilen und Spalten vertauscht; das Diagonalmuster bleibt erhalten: $\mathsf{I_n^T=I_n}$ .

Die Inverse einer Matrix macht ihre Multiplikation rückgängig. Weil $\mathsf{I_nI_n=I_n}$ , ist die Einheitsmatrix zu sich selbst invers: $\mathsf{I_n^{-1}=I_n}$ .

Eine Matrix A ist nicht automatisch ihre eigene Inverse. Diese Aussage gilt hier speziell für die Einheitsmatrix.

Erklärung 05

Spur und kleine Folgerungen

Die Spur addiert die Hauptdiagonale. In $\mathsf{I_n}$ stehen dort n Einsen, daher gilt $\mathsf{\operatorname{\textsf{tr}}(I_n)=n}$ .

Eine beliebige Matrix mit Spur n muss aber keine Einheitsmatrix sein. Zum Beispiel hat $\mathsf{\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}}$ die Spur 2 und ist nicht $\mathsf{I_2}$ .

Die Determinante der Einheitsmatrix ist 1. Am kleinen Beispiel gilt $\mathsf{\operatorname{\textsf{det}}(I_2)=1\cdot1-0\cdot0=1}$ . Allgemeine Determinantenverfahren folgen im eigenen Thema.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Einheitsmatrix als neutrales Element · EinstiegSchreibe I₃ vollständig auf. Wie viele Einträge hat sie insgesamt, wie viele davon sind 1?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
I₃
Anzahlen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Drei Einsen auf die Hauptdiagonale setzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die übrigen sechs Einträge sind 0.
Ergebnisse & Teilantworten
1. I₃ $\mathsf{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
2. Anzahlen9 Einträge insgesamt, davon 3 Einsen.
02
Aufgabe 2Einheitsmatrix als neutrales Element · EinstiegWelche Matrix ist I₂? Begründe für jede andere Matrix, warum sie es nicht ist: $\mathsf{A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{C=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wahl mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  A besitzt das verlangte Diagonalmuster.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  B hat außerhalb der Diagonale Einsen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  C hat auf der Diagonale Zweien.
Ergebnis
1. Wahl mit BegründungNur A ist I₂. Bei B sind die Nebeneinträge nicht 0; bei C sind die Diagonaleinträge nicht 1.
03
Aufgabe 3Einheitsmatrix als neutrales Element · StandardA hat Dimension 3 × 2. Ergänze die Größen: I₍?₎ A = A und A I₍?₎ = A. Sind die jeweils vertauschten Größen ebenfalls zulässig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Links
Rechts
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Links müssen die inneren Dimensionen 3 und 3 übereinstimmen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Rechts müssen die inneren Dimensionen 2 und 2 übereinstimmen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Links $\mathsf{I_3A=A}$ . $\mathsf{I_2A}$ ist nicht definiert.
2. Rechts $\mathsf{AI_2=A}$ . $\mathsf{AI_3}$ ist nicht definiert.
04
Aufgabe 4Einheitsmatrix als neutrales Element · StandardBerechne $\mathsf{I_2\begin{pmatrix}4&1\\-2&3\end{pmatrix}}$ mit allen vier Eintragsrechnungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c_{11}=(1)\cdot(4)+(0)\cdot(-2)=4}$
  $\mathsf{c_{12}=(1)\cdot(1)+(0)\cdot(3)=1}$
  $\mathsf{c_{21}=(0)\cdot(4)+(1)\cdot(-2)=-2}$
  $\mathsf{c_{22}=(0)\cdot(1)+(1)\cdot(3)=3}$
  $\mathsf{I_2A=\begin{pmatrix}4&1\\-2&3\end{pmatrix}}$
Ergebnis
1. Produkt mit Rechenweg $\mathsf{\begin{pmatrix}4&1\\-2&3\end{pmatrix}}$
05
Aufgabe 5Einheitsmatrix als neutrales Element · StandardBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}2&-1&4\\0&3&5\end{pmatrix}I_3}$ . Zeige die Rechnung für den Eintrag in der zweiten Zeile und dritten Spalte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gesamte Matrix
Eintrag c₂₃ mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c_{23}=0\cdot0+3\cdot0+5\cdot1=5}$
  $\mathsf{AI_3=\begin{pmatrix}2&-1&4\\0&3&5\end{pmatrix}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gesamte Matrix $\mathsf{\begin{pmatrix}2&-1&4\\0&3&5\end{pmatrix}}$
2. Eintrag c₂₃ mit Rechnung $\mathsf{c_{23}=0+0+5=5}$ .
06
Aufgabe 6Einheitsmatrix als neutrales Element · StandardBestimme I₃², I₃ᵀ und I₃⁻¹. Begründe kurz, statt drei lange Produkte auszurechnen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quadrat
Transponierte
Inverse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Multiplikation mit I₃ lässt I₃ unverändert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beim Transponieren bleibt das Diagonalmuster erhalten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  I₃ mal I₃ ergibt die Einheitsmatrix, also ist I₃ die eigene Inverse.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quadrat $\mathsf{I_3^2=I_3}$ .
2. Transponierte $\mathsf{I_3^T=I_3}$ .
3. Inverse $\mathsf{I_3^{-1}=I_3}$ .
07
Aufgabe 7Einheitsmatrix als neutrales Element · StandardA ist eine 2 × 3-Matrix. Ist die Gleichung I₃ A = A richtig? Verbessere sie und nenne auch die richtige Gleichung für die rechte Seite.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrektur links
Rechte Seite
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Das Produkt I₃ A hat unpassende innere Dimensionen 3 und 2.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Korrektur links $\mathsf{I_2A=A}$ .
2. Rechte Seite $\mathsf{AI_3=A}$ .
08
Aufgabe 8Einheitsmatrix als neutrales Element · VertiefungEine quadratische Matrix besitzt die Spur 4. Muss sie I₄ sein? Gib ein konkretes Gegenbeispiel als 2 × 2-Matrix und erkläre, warum die Spur allein nicht genügt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegenbeispiel
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{B=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{tr}}(B)=4+0=4}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Spur verrät weder die Dimension noch alle einzelnen Einträge.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gegenbeispiel $\mathsf{\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}}$
2. BegründungNein. Die Summe der Diagonaleinträge bestimmt nicht die gesamte Matrix.
09
Aufgabe 9Einheitsmatrix als neutrales Element · VertiefungFür $\mathsf{A=\begin{pmatrix}2&1\\0&-3\end{pmatrix}}$ gilt B = A + I₂. Bestimme B und vergleiche mit C = A I₂.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
B
C und Unterschied
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{B=\begin{pmatrix}2+1&1+0\\0+0&-3+1\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{B=\begin{pmatrix}3&1\\0&-2\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{C=\begin{pmatrix}2&1\\0&-3\end{pmatrix}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. B $\mathsf{\begin{pmatrix}3&1\\0&-2\end{pmatrix}}$
2. C und Unterschied $\mathsf{\begin{pmatrix}2&1\\0&-3\end{pmatrix}}$ ; Addition erhöht die Diagonale, Multiplikation lässt A unverändert.
10
Aufgabe 10Einheitsmatrix als neutrales Element · VertiefungEine 4 × 4-Matrix E soll jede 4 × 4-Matrix bei Multiplikation unverändert lassen. Erkläre mithilfe von I₄, warum E = I₄ gelten muss.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Aus der behaupteten Wirkung folgt $\mathsf{EI_4=I_4}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Aus der Neutralität von $\mathsf{I_4}$ folgt $\mathsf{EI_4=E}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Damit gilt $\mathsf{E=I_4}$ .
Ergebnis
1. BegründungBeide Gleichungen beschreiben dasselbe Produkt. Also $\mathsf{E=I_4}$ .

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe vor jeder Rechnung die Dimensionen.
Beim Matrixprodukt rechne ich Zeile mal Spalte.
Ich beachte die Reihenfolge und wähle passende Einheitsmatrizen.

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