Matrizen · Erklären & üben

Matrizen verstehen und rechnen

Eine Matrix ordnet Zahlen in Zeilen und Spalten. Vor jeder Rechnung klärst du ihre Abmessungen. Besonders beim Multiplizieren entscheidet die Reihenfolge darüber, ob die Rechnung möglich ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zeilen, Spalten und Einträge

Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten hat die Dimension $\mathsf{m\times n}$ . Beim Eintrag $\mathsf{a_{ij}}$ steht i für die Zeile und j für die Spalte. Zähle jeweils ab 1.

In $\mathsf{A=\begin{pmatrix}2&-1&4\\0&3&5\end{pmatrix}}$ ist $\mathsf{a_{23}=5}$ : zweite Zeile, dritte Spalte. Die Dimension ist $\mathsf{2\times3}$ .

Eine 2-mal-3-Matrix mit hervorgehobener zweiter Zeile und dritter Spalte; der Eintrag a23 ist 5.

Erklärung 02

Elementare Matrixtypen

Eine quadratische Matrix hat gleich viele Zeilen und Spalten. Bei einer Diagonalmatrix sind alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonalen 0.

Eine Nullmatrix enthält nur Nullen und kann auch rechteckig sein. Eine Einheitsmatrix ist quadratisch: auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, sonst Nullen. Ihre Rechenwirkung folgt im eigenen Thema Einheitsmatrix.

Erklärung 03

Addieren, subtrahieren und skalieren

Addition und Subtraktion sind nur für Matrizen gleicher Dimension definiert. Verrechne jeweils Einträge an derselben Position.

Bei $\mathsf{kA}$ wird jeder Eintrag von A mit der Zahl k multipliziert. Die Dimension bleibt gleich.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\begin{pmatrix}1&-2\\3&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix}}$ .

\mathsf{\begin{pmatrix}1+4&-2+1\\3-1&0+2\end{pmatrix}}

\mathsf{\begin{pmatrix}5&-1\\2&2\end{pmatrix}}

Erklärung 04

Matrixprodukte: innen gleich, außen Ergebnis

Für $\mathsf{A\in\mathbb R^{m\times n}}$ und $\mathsf{B\in\mathbb R^{n\times p}}$ ist $\mathsf{AB\in\mathbb R^{m\times p}}$ . Die inneren Dimensionen müssen übereinstimmen.

Ein Eintrag entsteht nach „Zeile mal Spalte“: entsprechende Zahlen multiplizieren und die Produkte addieren. Das ist keine eintragsweise Multiplikation.

Ein Spaltenvektor mit n Einträgen ist eine $\mathsf{n\times1}$ -Matrix. Die Rechnung Matrix mal Vektor ist daher ein Sonderfall dieser Regel.

Beim Produkt einer 2-mal-3-Matrix mit einer 3-mal-4-Matrix stimmen die inneren Größen überein; das Ergebnis ist 2-mal-4.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}}$ mal $\mathsf{B=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}}$ .

Die inneren Dimensionen sind beide 2; das Ergebnis hat zwei Zeilen und zwei Spalten.

\mathsf{c_{11}=(1)\cdot(3)+(2)\cdot(2)=7}

\mathsf{c_{12}=(1)\cdot(1)+(2)\cdot(4)=9}

\mathsf{c_{21}=(0)\cdot(3)+(-1)\cdot(2)=-2}

\mathsf{c_{22}=(0)\cdot(1)+(-1)\cdot(4)=-4}

\mathsf{AB=\begin{pmatrix}7&9\\-2&-4\end{pmatrix}}

Erklärung 05

Reihenfolge und kurze Spurbox

Im Allgemeinen gilt nicht $\mathsf{AB=BA}$ . Manchmal ist nur eines der beiden Produkte definiert. Selbst wenn beide existieren, können verschiedene Ergebnisse entstehen.

Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Hauptdiagonale: $\mathsf{\operatorname{\textsf{tr}}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}}$ . Einträge neben der Diagonale zählen nicht mit.

Beispiel: Für $\mathsf{A=\begin{pmatrix}3&2&0\\1&-4&5\\0&2&6\end{pmatrix}}$ ist $\mathsf{\operatorname{\textsf{tr}}(A)=3-4+6=5}$ . Bei einer $\mathsf{4\times4}$ -Matrix addierst du entsprechend vier Diagonaleinträge.

Allgemeine Spureigenschaften, Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren werden hier nicht hergeleitet. Die Eigenwertthemen folgen im späteren Block zum Matrix-Vektor-Produkt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Matrizen verstehen und rechnen · EinstiegGegeben ist $\mathsf{A=\begin{pmatrix}2&-1&4\\0&3&5\end{pmatrix}}$ . Nenne die Dimension, den Eintrag a₂₃ und die erste Spalte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dimension
Eintrag a₂₃
Erste Spalte
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Zeilen und Spalten zählen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Den Schnittpunkt von zweiter Zeile und dritter Spalte ablesen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dimension $\mathsf{2\times3}$
2. Eintrag a₂₃5
3. Erste Spalte $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$
02
Aufgabe 2Matrizen verstehen und rechnen · EinstiegBerechne A + B und A − B für $\mathsf{A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{B=\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe
Differenz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A+B=\begin{pmatrix}1+4&-2+1\\3-1&0+2\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{A+B=\begin{pmatrix}5&-1\\2&2\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{A-B=\begin{pmatrix}1-4&-2-1\\3-(-1)&0-2\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{A-B=\begin{pmatrix}-3&-3\\4&-2\end{pmatrix}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Summe $\mathsf{\begin{pmatrix}5&-1\\2&2\end{pmatrix}}$
2. Differenz $\mathsf{\begin{pmatrix}-3&-3\\4&-2\end{pmatrix}}$
03
Aufgabe 3Matrizen verstehen und rechnen · StandardBerechne $\mathsf{-2\begin{pmatrix}1&-3&0\\2&4&-1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Skalierte Matrix
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}-2&6&0\\-4&-8&2\end{pmatrix}}$
Ergebnis
1. Skalierte Matrix $\mathsf{\begin{pmatrix}-2&6&0\\-4&-8&2\end{pmatrix}}$
04
Aufgabe 4Matrizen verstehen und rechnen · StandardA hat Dimension 2 × 3, B hat Dimension 3 × 4 und C hat Dimension 2 × 2. Welche Produkte sind definiert? Nenne gegebenenfalls die Ergebnisdimension: AB, BA, CA, AC.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
AB
BA
CA
AC
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  AB: 3 = 3; Ergebnis 2 × 4.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  BA: 4 ≠ 2; nicht definiert.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  CA: 2 = 2; Ergebnis 2 × 3.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  AC: 3 ≠ 2; nicht definiert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. ABDefiniert, 2 × 4.
2. BANicht definiert.
3. CADefiniert, 2 × 3.
4. ACNicht definiert.
05
Aufgabe 5Matrizen verstehen und rechnen · StandardBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnisvektor mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c_1=1\cdot2+2\cdot(-1)=0}$
  $\mathsf{c_2=(-1)\cdot2+3\cdot(-1)=-5}$
  $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\-5\end{pmatrix}}$
Ergebnis
1. Ergebnisvektor mit Rechenweg $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\-5\end{pmatrix}}$
06
Aufgabe 6Matrizen verstehen und rechnen · StandardBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\4&2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c_{11}=(2)\cdot(1)+(0)\cdot(4)=2}$
  $\mathsf{c_{12}=(2)\cdot(3)+(0)\cdot(2)=6}$
  $\mathsf{c_{21}=(1)\cdot(1)+(-1)\cdot(4)=-3}$
  $\mathsf{c_{22}=(1)\cdot(3)+(-1)\cdot(2)=1}$
  $\mathsf{AB=\begin{pmatrix}2&6\\-3&1\end{pmatrix}}$
Ergebnis
1. Produkt mit Rechenweg $\mathsf{\begin{pmatrix}2&6\\-3&1\end{pmatrix}}$
07
Aufgabe 7Matrizen verstehen und rechnen · StandardBerechne das rechteckige Produkt $\mathsf{\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\0&3\\1&-1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c_{11}=(1)\cdot(2)+(0)\cdot(0)+(-1)\cdot(1)=1}$
  $\mathsf{c_{12}=(1)\cdot(1)+(0)\cdot(3)+(-1)\cdot(-1)=2}$
  $\mathsf{c_{21}=(2)\cdot(2)+(1)\cdot(0)+(0)\cdot(1)=4}$
  $\mathsf{c_{22}=(2)\cdot(1)+(1)\cdot(3)+(0)\cdot(-1)=5}$
  $\mathsf{AB=\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}$
Ergebnis
1. Produkt mit Rechenweg $\mathsf{\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}$
08
Aufgabe 8Matrizen verstehen und rechnen · VertiefungZeige mit $\mathsf{A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$ , dass die Reihenfolge wichtig ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
AB
BA und Vergleich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c_{11}=(1)\cdot(1)+(1)\cdot(1)=2}$
  $\mathsf{c_{12}=(1)\cdot(0)+(1)\cdot(1)=1}$
  $\mathsf{c_{21}=(0)\cdot(1)+(1)\cdot(1)=1}$
  $\mathsf{c_{22}=(0)\cdot(0)+(1)\cdot(1)=1}$
  $\mathsf{AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{c_{11}=(1)\cdot(1)+(0)\cdot(0)=1}$
  $\mathsf{c_{12}=(1)\cdot(1)+(0)\cdot(1)=1}$
  $\mathsf{c_{21}=(1)\cdot(1)+(1)\cdot(0)=1}$
  $\mathsf{c_{22}=(1)\cdot(1)+(1)\cdot(1)=2}$
  $\mathsf{BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. AB $\mathsf{\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$
2. BA und Vergleich $\mathsf{\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}$ ; $\mathsf{AB\ne BA}$ .
09
Aufgabe 9Matrizen verstehen und rechnen · VertiefungBestimme die Spur von $\mathsf{\begin{pmatrix}3&2&0\\1&-4&5\\0&2&6\end{pmatrix}}$ . Eine zweite 4 × 4-Matrix hat die Diagonaleinträge 2, −1, 0 und 4. Bestimme auch ihre Spur.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Spur der 3 × 3-Matrix
Spur der 4 × 4-Matrix
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{tr}}(A)=3-4+6=5}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{tr}}(B)=2-1+0+4=5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Spur der 3 × 3-Matrix5
2. Spur der 4 × 4-Matrix5
10
Aufgabe 10Matrizen verstehen und rechnen · VertiefungEin Lager packt zwei Bestellungen. Die Zeilen von $\mathsf{Q=\begin{pmatrix}3&1&2\\1&2&1\end{pmatrix}}$ geben die Stückzahlen von drei Artikeln an. Die Stückpreise sind $\mathsf{p=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}}$ Euro. Welche Rechnung liefert beide Gesamtpreise? Berechne sie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Dimension
Gesamtpreise
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{Qp}$ ist definiert: $\mathsf{(2\times3)(3\times1)}$ ergibt $\mathsf{2\times1}$ .
  $\mathsf{c_1=3\cdot2+1\cdot3+2\cdot4=17}$
  $\mathsf{c_2=1\cdot2+2\cdot3+1\cdot4=12}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rechnung und Dimension $\mathsf{Qp}$ ; Ergebnis $\mathsf{2\times1}$ .
2. GesamtpreiseErste Bestellung 17 Euro, zweite Bestellung 12 Euro.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe vor jeder Rechnung die Dimensionen.
Beim Matrixprodukt rechne ich Zeile mal Spalte.
Ich beachte die Reihenfolge und wähle passende Einheitsmatrizen.

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