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Streuung · Erklären & üben

Empirische Varianz

Eine Stichprobe lässt sich beschreiben oder zur Schätzung einer Population verwenden. Beide Ziele nutzen dieselbe Abweichungsquadratsumme, aber unterschiedliche Nenner.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die beobachtete Liste beschreiben

Der Begriff empirische Varianz wird nicht überall einheitlich verwendet. Hier bezeichnet v_n die deskriptive Varianz mit Nenner n. Sie beschreibt die tatsächlich beobachteten Werte. Der Mittelwert wird aus genau diesen Werten berechnet.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

xˉ=1n∑ixi,vn=1n∑i(xi−xˉ)2\mathsf{\bar x=\frac1n\sum_i x_i,\qquad v_n=\frac1n\sum_i(x_i-\bar x)^2}

Stichprobenwerte4,6,8cm und ihre Abstände vom Mittelwert.

So geht es am Beispiel

Die beobachteten Längen sind 4,6,8 cm. Berechne Mittelwert und deskriptive Varianz.

xˉ=6 cm\mathsf{\bar x=6\,\mathsf{cm}}
Q=4+0+4=8 cm2\mathsf{Q=4+0+4=8\,\mathsf{cm}^2}
vn=83 cm2\mathsf{v_n=\frac83\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Die Liste hat deskriptive Varianz 8/3 Quadratzentimeter.

Erklärung 02

Eine Populationsvarianz schätzen

Für unabhängige, identisch verteilte Beobachtungen einer Population mit endlicher Varianz ist die mit n−1 gebildete Stichprobenvarianz ein erwartungstreuer Schätzer der Populationsvarianz. Dafür braucht es mindestens zwei Beobachtungen. Der verlorene Freiheitsgrad hängt damit zusammen, dass der Mittelwert bereits aus derselben Stichprobe geschätzt wurde. Die Korrektur beseitigt weder Auswahlverzerrung noch Abhängigkeiten.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

s2=Qn−1=nn−1vn(n≥2)\mathsf{s^2=\frac{Q}{n-1}=\frac{n}{n-1}v_n\quad(n\ge2)}

Gleiche Quadratsumme, unterschiedliche Nenner für Beschreibung und Schätzung.

So geht es am Beispiel

Schätze mit den Längen 4,6,8 cm die Populationsvarianz unter den genannten Annahmen.

s2=83−1=4 cm2\mathsf{s^2=\frac8{3-1}=4\,\mathsf{cm}^2}
s=2 cm\mathsf{s=2\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Die korrigierte Varianz beträgt 4 Quadratzentimeter, ihre Wurzel 2 cm.

Erklärung 03

Eine Konvention offen nennen

Eine größere korrigierte Zahl bedeutet nicht, dass sich die Daten geändert haben. Nur der Schätzzweck und der Nenner unterscheiden sich. Bei n=1 ist die korrigierte Variante nicht definiert; die deskriptive Einpunktliste hat dagegen Varianz null. Ein Variationskoeffizient kann die Standardabweichung bei geeigneter Skala relativ zur Mitte ausdrücken; seine Voraussetzungen stehen im eigenen Thema.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

s2≥vn(n≥2)\mathsf{s^2\ge v_n\quad(n\ge2)}

So geht es am Beispiel

Es liegt nur der Wert 5 cm vor. Was ist berechenbar?

v1=0\mathsf{v_1=0}

Die Formel für die korrigierte Varianz würde durch n−1=0 teilen und ist daher nicht definiert.

Ergebnis

Deskriptive Varianz 0; korrigierte Schätzung nicht definiert.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Empirische Varianz · EinstiegBerechne den Mittelwert der Stichprobe 3,5,7,9 cm.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      xˉ=3+5+7+94=6 cm\mathsf{\bar x=\frac{3+5+7+9}{4}=6\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Mittelwert6 cm\mathsf{6\,\mathsf{cm}}
  2. Aufgabe 2Empirische Varianz · EinstiegBestimme die Abweichungsquadratsumme der Werte 3,5,7,9 cm von ihrem Mittelwert 6 cm.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Q=9+1+1+9=20 cm2\mathsf{Q=9+1+1+9=20\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Quadratsumme20 cm2\mathsf{20\,\mathsf{cm}^2}
  3. Aufgabe 3Empirische Varianz · StandardBeschreibe dieselbe Liste mit der Varianz durch n.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      vn=204=5 cm2\mathsf{v_n=\frac{20}{4}=5\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Deskriptive Varianz5 cm2\mathsf{5\,\mathsf{cm}^2}
  4. Aufgabe 4Empirische Varianz · StandardBerechne für dieselben vier Werte die korrigierte Stichprobenvarianz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      s2=204−1=203 cm2\mathsf{s^2=\frac{20}{4-1}=\frac{20}{3}\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Korrigierte Varianz exakt203 cm2\mathsf{\frac{20}{3}\,\mathsf{cm}^2}
  5. Aufgabe 5Empirische Varianz · TransferVervollständige die Tabelle zu 3,5,7,9 bei Mittelwert 6: Abweichungen und Abweichungsquadrate.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Rechentabelle

    Vorbereitete Darstellung mit vorgegebenen Achsen oder Tabellenwerten.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Abweichungen sind−3,−1,1,3 und ihre Quadrate 9,1,1,9. Die Quadratsumme 20 wird anschließend je nach Zweck durch 4 oder 3 geteilt.

    Ergebnis

    1. RechentabelleAbweichungen−3,−1,1,3; Quadrate 9,1,1,9.
  6. Aufgabe 6Empirische Varianz · TransferWarum liefert die n−1-Korrektur bei nur einer Beobachtung keine Varianzschätzung? Macht sie eine gezielt verzerrte Auswahl automatisch repräsentativ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Bei n=1 wäre der Nenner null. Außerdem korrigiert der Faktor nur den genannten Schätzbias unter Modellannahmen, keine systematisch verzerrte Auswahl.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. EinzelbeobachtungNennern−1 ist null; nicht definiert.
    2. AuswahlverzerrungNein; die Auswahl bleibt verzerrt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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