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Streuung · Erklären & üben

Varianz berechnen

Du berechnest Varianzen systematisch und nutzt bei Bedarf den Verschiebungssatz als zweiten Rechenweg. Der verwendete Nenner und die Gewichte stehen immer ausdrücklich fest.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Mitte, Abstände, Quadrate, Mittel

Bei einer vollständigen Datenliste bestimmst du zuerst den Mittelwert. Bilde alle Abweichungen, quadriere sie, addiere und teile durch n. Bei einer Modellverteilung tritt an die Stelle gleicher Listenanteile das jeweilige Wahrscheinlichkeitsgewicht. Die Wurzel der Varianz ist die Standardabweichung; dafür gibt es ein eigenes Anschlussthema.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

vn=1n∑i(xi−xˉ)2\mathsf{v_n=\frac1n\sum_i(x_i-\bar x)^2}

Punktdaten2,3,7cm mit Mittelwert4 und Abständen.

So geht es am Beispiel

Berechne die deskriptive Varianz von 2,3,7 cm.

xˉ=4 cm\mathsf{\bar x=4\,\mathsf{cm}}
Q=(−2)2+(−1)2+32=14 cm2\mathsf{Q=(-2)^2+(-1)^2+3^2=14\,\mathsf{cm}^2}
vn=143 cm2\mathsf{v_n=\frac{14}{3}\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Die Varianz ist 14/3 Quadratzentimeter.

Erklärung 02

Gleich wahrscheinliche Modellwerte

Ein fairer gewöhnlicher Würfel liefert die Werte 1 bis 6 mit jeweils Wahrscheinlichkeit 1/6. Diese Annahme gehört zum Modell und folgt nicht aus einer kurzen beobachteten Versuchsreihe.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

Var⁡(X)=∑xp(x)(x−μ)2\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\sum_x p(x)(x-\mu)^2}

Tabelle der Würfelwerte, Quadrate und Modellwahrscheinlichkeiten.

So geht es am Beispiel

Bestimme Erwartungswert und Varianz der Augenzahl eines fairen Würfels.

μ=1+2+3+4+5+66=72\mathsf{\mu=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac72}
Var⁡(X)=16(254+94+14+14+94+254)=3512\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac16\left(\frac{25}4+\frac94+\frac14+\frac14+\frac94+\frac{25}4\right)=\frac{35}{12}}

Ergebnis

Die Varianz beträgt 35/12; eine Augenzahl hat hier keine physikalische Einheit.

Erklärung 03

Über das zweite Moment rechnen

Der Verschiebungssatz ersetzt die Abweichungsquadrate durch das Mittel der Quadrate minus Quadrat des Mittels. Er gilt bei existierendem zweitem Moment. Bei gerundeten großen Zahlen kann diese Differenz numerisch ungenau werden; rechne möglichst exakt. Addieren einer Konstante lässt die Varianz gleich, Multiplizieren mit einem Faktor multipliziert sie mit dessen Quadrat.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2,Var⁡(aX+b)=a2Var⁡(X)\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2,\qquad\operatorname{\textsf{Var}}(aX+b)=a^2\operatorname{\textsf{Var}}(X)}

So geht es am Beispiel

X nimmt 1 mit Wahrscheinlichkeit 2/3 und 4 mit 1/3 an. Nutze den Verschiebungssatz.

E(X)=2\mathsf{E(X)=2}
E(X2)=1⋅23+16⋅13=6\mathsf{E(X^2)=1\cdot\frac23+16\cdot\frac13=6}
Var⁡(X)=6−22=2\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=6-2^2=2}

Ergebnis

Die Varianz beträgt 2.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Varianz berechnen · EinstiegBerechne den Mittelwert der vollständigen Liste 1,4,7.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      xˉ=1+4+73=4\mathsf{\bar x=\frac{1+4+7}{3}=4}

    Ergebnis

    1. Mittelwert4\mathsf{4}
  2. Aufgabe 2Varianz berechnen · EinstiegBestimme für 1,4,7 die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert 4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Q=(−3)2+02+32=18\mathsf{Q=(-3)^2+0^2+3^2=18}

    Ergebnis

    1. Quadratsumme18\mathsf{18}
  3. Aufgabe 3Varianz berechnen · StandardBerechne aus Quadratsumme 18 und n=3 die deskriptive Varianz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      vn=18:3=6\mathsf{v_n=18:3=6}

    Ergebnis

    1. Varianz6\mathsf{6}
  4. Aufgabe 4Varianz berechnen · StandardNutze für 1,4,7 den Verschiebungssatz: Berechne zuerst das Mittel der Quadrate und dann die Varianz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x2‾=1+16+493=22\mathsf{\overline{x^2}=\frac{1+16+49}{3}=22}
      vn=22−42=6\mathsf{v_n=22-4^2=6}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Mittel der Quadrate22\mathsf{22}
    2. Varianz6\mathsf{6}
  5. Aufgabe 5Varianz berechnen · TransferVervollständige die vorbereitete Rechentabelle für 1,4,7 mit Mittelwert 4. Trage Abweichungen und deren Quadrate ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Rechentabelle

    Vorbereitete Darstellung mit vorgegebenen Achsen oder Tabellenwerten.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Abweichungen−3,0,3; Quadrate 9,0,9. Erst das Quadrieren verhindert die Aufhebung der Vorzeichen.

    Ergebnis

    1. RechentabelleAbweichungen−3,0,3 und Quadrate 9,0,9.
  6. Aufgabe 6Varianz berechnen · TransferEine Zufallsgröße hat Varianz 6. Bestimme die Varianzen von X+10 und 3 X.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Var⁡(X+10)=6\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X+10)=6}
      Var⁡(3X)=32⋅6=54\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(3X)=3^2\cdot6=54}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Varianz vonX+106\mathsf{6}
    2. Varianz von3X54\mathsf{54}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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