Ergebnismenge

Erklärung 01

Was zählt als Ergebnis?

1. 1

   Versuch und aufgezeichnetes Merkmal benennen.

2. 2

   Alle möglichen Ergebnisse sammeln.

3. 3

   Doppelungen entfernen und die Menge in geschweifte Klammern schreiben.

$\mathsf{E\subseteq\Omega}$

So geht es am Beispiel

Aus einem Beutel mit den Kugeln 2, 4 und 7 wird eine Kugel gezogen. Notiert wird ihre Zahl. Beschreibe die Ergebnismenge und das Ereignis „gerade Zahl“.

$$\mathsf{\Omega=\{2,4,7\}}$$

Alle drei Zahlen sind möglich und verschieden.

$$\mathsf{E=\{2,4\}}$$

Das Ereignis umfasst genau die beiden geraden Zahlen.

Erklärung 02

Mehrere Schritte systematisch erfassen

1. 1

   Für jeden ersten Zug alle erlaubten zweiten Züge aufschreiben.

2. 2

   Die Zugregel bei jeder Kombination prüfen.

3. 3

   Paare zählen und auf Vollständigkeit kontrollieren.

$\mathsf{(a,b)\textsf{ bedeutet: zuerst }a\textsf{, dann }b}$

So geht es am Beispiel

Die Kugeln 2, 4 und 7 werden zweimal mit Zurücklegen gezogen. Welche Paare sind möglich?

Für jede der 3 ersten Zahlen sind dieselben 3 zweiten Zahlen möglich.

$$\mathsf{|\Omega|=3\cdot3=9}$$

Die neun Paare sind in der Tabelle erfasst. Ohne Zurücklegen entfielen die drei Paare mit gleicher Zahl.

Erklärung 03

Die Beobachtung bestimmt den Raum

1. 1

   Das aufgezeichnete Merkmal ausdrücklich nennen.

2. 2

   Feinere Ergebnisse bei Bedarf zusammenfassen.

3. 3

   Gleichwahrscheinlichkeit gesondert begründen.

$\mathsf{\Omega_{\textsf{Folge}}=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}}$

So geht es am Beispiel

Zwei unabhängige faire Münzwürfe werden nur nach der Anzahl der Köpfe ausgewertet. Bestimme den Ergebnisraum und prüfe Gleichwahrscheinlichkeit.

$$\mathsf{\Omega_{\textsf{Anzahl}}=\{0,1,2\}}$$

0 Köpfe entsteht durch ZZ, 1 Kopf durch KZ oder ZK, 2 Köpfe durch KK.

Die vier Folgen sind gleich wahrscheinlich, aber die Kopfanzahlen fassen verschieden viele Folgen zusammen.

$$\mathsf{P(0)=\frac14,\quad P(1)=\frac12,\quad P(2)=\frac14}$$

Erklärung 04

Das Gegenereignis

1. 1

   Schreibe die vollständige Ergebnismenge auf.

2. 2

   Streiche die Ergebnisse des Ereignisses A.

3. 3

   Die übrigen Ergebnisse bilden das Gegenereignis.

$\mathsf{\overline A=\Omega\setminus A}$

1. 01
   Aufgabe 1Ergebnismenge · EinstiegEin Glücksrad hat fünf Felder mit den Zahlen 1, 1, 3, 5 und 5. Notiert wird nur die Zahl. Gib die Ergebnismenge und ihre Anzahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Ergebnismenge

   Anzahl der Ergebnisse
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Gleiche Zahlen sind bei dieser Aufzeichnung dasselbe Ergebnis.

      $$\mathsf{\Omega=\{1,3,5\}}$$

      $$\mathsf{|\Omega|=3}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Ergebnismenge
      $\mathsf{\Omega=\{1,3,5\}}$
   2. Anzahl der Ergebnisse
      3
2. 02
   Aufgabe 2Ergebnismenge · EinstiegEin gewöhnlicher Würfel wird einmal geworfen. Notiert wird die Augenzahl. Gib die Ergebnismenge und das Ereignis „größer als 4“ an. Ist 5 ein Ergebnis oder eine Ergebnismenge?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Ergebnismenge

   Ereignis

   Einordnung der 5
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung
      $$\mathsf{\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}}$$

      $$\mathsf{E=\{5,6\}}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      5 ist ein einzelnes Ergebnis; die Menge {5} wäre ein Ereignis mit einem Element.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Ergebnismenge
      $\mathsf{\{1,2,3,4,5,6\}}$
   2. Ereignis
      $\mathsf{\{5,6\}}$
   3. Einordnung der 5
      5 ist ein Ergebnis.
3. 03
   Aufgabe 3Ergebnismenge · SichernAus einem Beutel mit je einer Karte L, M und N wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Notiert wird die Reihenfolge. Fülle in der Vorlage alle geordneten Paare ein und gib ihre Anzahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   

   Ausgefüllte Paartabelle

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Ausgefüllte Paartabelle

   Anzahl
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Jede erste Karte kann mit jeder der drei zweiten Karten kombiniert werden.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Die Paare sind LL, LM, LN, ML, MM, MN, NL, NM, NN.

      $$\mathsf{|\Omega|=3\cdot3=9}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Ausgefüllte Paartabelle
      LL, LM, LN; ML, MM, MN; NL, NM, NN; siehe Muster.
   2. Anzahl
      9 Ergebnisse
4. 04
   Aufgabe 4Ergebnismenge · AnwendenWiederhole das Experiment aus Aufgabe 3 ohne Zurücklegen. Welche Paare entfallen? Gib die neue Ergebnismenge und ihre Anzahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Entfallende Paare

   Neue Ergebnismenge

   Anzahl der Ergebnisse
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      LL, MM und NN entfallen, weil jede Karte nur einmal vorhanden ist.

      $$\mathsf{\Omega=\{LM,LN,ML,MN,NL,NM\}}$$

      $$\mathsf{|\Omega|=3\cdot2=6}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Entfallende Paare
      LL, MM, NN
   2. Neue Ergebnismenge
      $\mathsf{\Omega=\{LM,LN,ML,MN,NL,NM\}}$
   3. Anzahl der Ergebnisse
      6
5. 05
   Aufgabe 5Ergebnismenge · AnwendenDie Karten L, M und N werden zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Diesmal wird nur das gezogene Kartenpaar notiert, die Reihenfolge ist egal. Gib alle Ergebnisse an und erkläre den Unterschied zu Aufgabe 4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Ungeordnete Ergebnisse

   Unterschied
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      LM und ML beschreiben jetzt dieselbe Auswahl; ebenso LN/NL und MN/NM.

      $$\mathsf{\Omega=\{\{L,M\},\{L,N\},\{M,N\}\}}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Je zwei geordnete Ergebnisse werden zu einer ungeordneten Auswahl zusammengefasst.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Ungeordnete Ergebnisse
      $\mathsf{\{L,M\},\ \{L,N\},\ \{M,N\}}$
   2. Unterschied
      Es gibt 3 statt 6 Ergebnisse, weil die Zugreihenfolge nicht mehr unterschieden wird.
6. 06
   Aufgabe 6Ergebnismenge · VertiefenZwei unabhängige faire Münzwürfe werden nach der Anzahl der Köpfe ausgewertet. Jemand behauptet: „Es gibt drei mögliche Anzahlen, also hat jede die Wahrscheinlichkeit ein Drittel.“ Begründe, ob das stimmt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Urteil mit Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Es gibt die vier gleich wahrscheinlichen Folgen KK, KZ, ZK und ZZ.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Die Anzahl 1 entsteht durch zwei Folgen, die Anzahlen 0 und 2 jeweils durch eine.

      $$\mathsf{P(0)=\frac14,\quad P(1)=\frac12,\quad P(2)=\frac14}$$

   Ergebnis

   1. Urteil mit Begründung
      Falsch. Die drei Anzahlen sind nicht gleich wahrscheinlich; 1 Kopf tritt in zwei von vier gleich wahrscheinlichen Folgen auf.
7. 07
   Aufgabe 7Ergebnismenge · TransferEine faire Münze wird geworfen und danach ein gewöhnlicher Würfel. Notiert wird erst K oder Z, dann die Augenzahl. Gib die Anzahl aller Ergebnisse an und liste das Ereignis „Kopf und eine ungerade Augenzahl“ vollständig auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Anzahl aller Ergebnisse

   Gesuchtes Ereignis
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Zu jeder der zwei Münzseiten gehören sechs Würfelzahlen.

      $$\mathsf{|\Omega|=2\cdot6=12}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Ungerade Augenzahlen sind 1, 3 und 5.

      $$\mathsf{E=\{(K,1),(K,3),(K,5)\}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Anzahl aller Ergebnisse
      12
   2. Gesuchtes Ereignis
      $\mathsf{E=\{(K,1),(K,3),(K,5)\}}$
8. 08
   Aufgabe 8Ergebnismenge · TransferEin Glücksrad zeigt die Zahlen 2, 3, 4, 6 und 9. Notiert wird die Zahl. A bedeutet „gerade Zahl“. Gib A und sein Gegenereignis als Mengen an. Beschreibe das Gegenereignis in Worten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Ereignis A

   Gegenereignis

   Beschreibung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{\Omega=\{2,3,4,6,9\}}$$

      $$\mathsf{A=\{2,4,6\}}$$

      $$\mathsf{\overline A=\Omega\setminus A=\{3,9\}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die verbleibenden Zahlen sind ungerade.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Ereignis A
      $\mathsf{\{2,4,6\}}$
   2. Gegenereignis
      $\mathsf{\{3,9\}}$
   3. Beschreibung
      Die notierte Zahl ist ungerade.