Fakultät

Erklärung 01

Das Ausrufezeichen als Rechenzeichen

1. 1

   Alle Faktoren von der Zahl bis 1 notieren.

2. 2

   Schrittweise multiplizieren.

3. 3

   Eine Taschenrechnerfunktion heißt häufig x! oder n!; die Position hängt vom Gerät ab. Prüfe das Ergebnis zunächst an einer kleinen Zahl.

$\mathsf{n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1,\quad 0!=1}$

So geht es am Beispiel

Berechne die Fakultät von 4.

$$\mathsf{4!=4\cdot3\cdot2\cdot1}$$

$$\mathsf{4\cdot3=12}$$

$$\mathsf{12\cdot2=24}$$

$$\mathsf{24\cdot1=24}$$

Erklärung 02

Jeder Platz zählt

1. 1

   Den ersten Platz frei wählen.

2. 2

   Für den nächsten Platz die bereits verwendeten Objekte ausschließen.

3. 3

   Die Anzahlen der Wahlmöglichkeiten multiplizieren.

$\mathsf{\textsf{Anzahl}=n!}$

So geht es am Beispiel

Die Karten A, B und C werden in eine Reihe gelegt. Bestimme alle Reihenfolgen.

Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, danach 2, zuletzt 1.

$$\mathsf{3\cdot2\cdot1=6}$$

Die vollständige Liste lautet ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Erklärung 03

Gemeinsame Faktoren kürzen

1. 1

   Die größere Fakultät bis zur kleineren entfalten.

2. 2

   Gleiche Faktoren im Zähler und Nenner kürzen.

3. 3

   Die übrigen Faktoren multiplizieren.

$\mathsf{n!=n\cdot(n-1)!\quad(n\ge1)}$

1. 01
   Aufgabe 1Fakultät · EinstiegSchreibe 5 Fakultät als vollständiges Produkt und berechne es.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Vollständiges Produkt

   Ergebnis
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung
      $$\mathsf{5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$$

      $$\mathsf{5\cdot4=20}$$

      $$\mathsf{20\cdot3=60}$$

      $$\mathsf{60\cdot2\cdot1=120}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Vollständiges Produkt
      $\mathsf{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$
   2. Ergebnis
      120
2. 02
   Aufgabe 2Fakultät · EinstiegBestimme 0 Fakultät und 1 Fakultät. Erkläre, warum die beiden Ergebnisse gleich sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   0 Fakultät

   1 Fakultät

   Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung
      $$\mathsf{0!=1}$$

      $$\mathsf{1!=1}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Die leere Menge hat eine leere Anordnung; ein einzelnes Objekt hat ebenfalls genau eine Anordnung.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. 0 Fakultät
      1
   2. 1 Fakultät
      1
   3. Begründung
      In beiden Fällen gibt es genau eine Anordnung, bei 0 Objekten die leere.
3. 03
   Aufgabe 3Fakultät · SichernVervollständige den Entscheidungsbaum für die drei verschiedenen Karten P, Q und R. Trage die zweite und dritte Karte sowie die ganze Reihenfolge an jedem Ende ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   

   Vollständiger Baum

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Vollständiger Baum
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Nach P bleiben Q und R; nach Q bleiben P und R; nach R bleiben P und Q.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Am dritten Platz steht jeweils die noch nicht verwendete Karte.

   3. Schritt 3 · Erklärung

      Die sechs Blätter sind PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP.

   Ergebnis

   1. Vollständiger Baum
      PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP; siehe Musterbaum.
4. 04
   Aufgabe 4Fakultät · AnwendenFünf verschiedene Bücher stehen in einer Reihe. Wie viele Anordnungen sind möglich? Wie viele bleiben, wenn ein bestimmtes Buch fest ganz links stehen muss?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Ohne Einschränkung

   Bestimmtes Buch links
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Ohne Einschränkung sind alle fünf Plätze zu besetzen.

      $$\mathsf{5!=120}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Mit festem linken Buch können nur noch die vier übrigen Bücher frei angeordnet werden.

      $$\mathsf{4!=24}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Ohne Einschränkung
      120 Anordnungen
   2. Bestimmtes Buch links
      24 Anordnungen
5. 05
   Aufgabe 5Fakultät · AnwendenBerechne $\mathsf{\frac{7!}{5!}}$ und $\mathsf{\frac{9!}{8!}}$ durch Kürzen. Zeige die jeweils verbleibenden Faktoren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erster Quotient

   Zweiter Quotient
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung
      $$\mathsf{\frac{7!}{5!}=\frac{7\cdot6\cdot5!}{5!}=7\cdot6=42}$$

      $$\mathsf{\frac{9!}{8!}=\frac{9\cdot8!}{8!}=9}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erster Quotient
      $\mathsf{7\cdot6=42}$
   2. Zweiter Quotient
      9
6. 06
   Aufgabe 6Fakultät · VertiefenPrüfe die Behauptung $\mathsf{4!+3!=7!}$. Berechne beide Seiten und erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Linke Seite

   Rechte Seite

   Urteil und Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung
      $$\mathsf{4!+3!=24+6=30}$$

      $$\mathsf{7!=5040}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Die Fakultät einer Summe ist nicht die Summe der Fakultäten. Die linke Seite enthält zwei getrennte Produkte.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Linke Seite
      30
   2. Rechte Seite
      5040
   3. Urteil und Begründung
      Die Behauptung ist falsch. Die Fakultät einer Summe ist nicht die Summe der Fakultäten.
7. 07
   Aufgabe 7Fakultät · TransferDrei Karten tragen A, A und B. Die beiden A-Karten sollen nicht unterschieden werden. Liste alle sichtbaren Reihenfolgen auf. Erkläre, warum 3 Fakultät zu viel zählt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Alle sichtbaren Reihenfolgen

   Warum nicht 3 Fakultät?
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Position von B bestimmt die sichtbare Reihenfolge.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Möglich sind AAB, ABA und BAA.

   3. Schritt 3 · Erklärung

      Wären die A-Karten unterscheidbar, würde jedes sichtbare Ergebnis zweimal vorkommen.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Alle sichtbaren Reihenfolgen
      AAB, ABA, BAA: 3 Reihenfolgen.
   2. Warum nicht 3 Fakultät?
      3 Fakultät zählt die beiden A-Karten als verschieden und zählt daher jede sichtbare Reihenfolge doppelt.