Erwartungswert · Erklären & üben

Erwartungswert

Der Erwartungswert beschreibt einen langfristigen Mittelwert. Du berechnest ihn aus möglichen Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten und prüfst, was das Ergebnis im jeweiligen Modell bedeutet.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Mittelwert mit Gewichten

Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu. Ihr Erwartungswert gewichtet jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit. Bei vielen unabhängigen Wiederholungen desselben Modells nähert sich der beobachtete Durchschnitt typischerweise diesem Wert. Der Erwartungswert muss selbst kein mögliches Einzelergebnis sein.

Liste die möglichen Werte auf.
Ordne jeder Zahl ihre Wahrscheinlichkeit zu.
Prüfe, ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen eins ergeben.

$\mathsf{E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i\,P(X=x_i)}$

Balken der Auszahlung0,2,5Euro mit Wahrscheinlichkeiten0,5;0,3;0,2.

So geht es am Beispiel

Eine Auszahlung X beträgt 0 Euro mit Wahrscheinlichkeit 0,5, 2 Euro mit 0,3 und 5 Euro mit 0,2. Welcher langfristige Mittelwert ergibt sich?

\mathsf{E(X)=0\cdot0{,}5+2\cdot0{,}3+5\cdot0{,}2=1{,}6}

Bei vielen Wiederholungen liegt die mittlere Auszahlung typischerweise nahe 1,60 Euro. Eine einzelne Auszahlung von 1,60 Euro ist hier unmöglich.

Erklärung 02

Werte, Gewichte und Beiträge

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt alle Werte und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Ein großer Wert mit kleiner Wahrscheinlichkeit kann denselben Beitrag leisten wie ein kleinerer häufiger Wert. Rechne die Produkte aus und addiere sie; ein ungewichteter Durchschnitt ist nur bei gleich wahrscheinlichen Werten passend.

Multipliziere jeden Wert mit seinem Gewicht.
Addiere die Produkte und notiere die Einheit.

Wert × Wahrscheinlichkeit; danach alle Beiträge addieren

Beschriftete gewichtete Beiträge0;0,6;1 zum Erwartungswert1,6.

So geht es am Beispiel

Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. X ist seine Augenzahl. Berechne $\mathsf{E(X)}$ .

\mathsf{E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5}

Alle sechs Augenzahlen sind gleich wahrscheinlich. Die 3,5 ist kein Würfelergebnis.

Erklärung 03

Einsatz und lineare Rechenregeln

Wird jeder Wert mit a multipliziert und danach b addiert, verändert sich der Erwartungswert genauso. Für Summen gilt $\mathsf{E(X+Y)=E(X)+E(Y)}$ , auch ohne Unabhängigkeit. Bei Produkten darfst du $\mathsf{E(XY)=E(X)E(Y)}$ im Allgemeinen nur mit einer passenden Voraussetzung wie Unabhängigkeit verwenden. Bei einem Spiel ist Nettogewinn gleich Auszahlung minus Einsatz.

Formuliere zuerst die neue Zufallsvariable.
Übertrage die lineare Veränderung auf den Erwartungswert.

$\mathsf{E(aX+b)=aE(X)+b}$

So geht es am Beispiel

Für eine Auszahlung X gilt $\mathsf{E(X)=1{,}60}$ Euro. Jeder Einsatz kostet 2 Euro. Wie groß ist der erwartete Nettogewinn $\mathsf{G=X-2}$ ?

\mathsf{E(G)=E(X)-2=1{,}60-2=-0{,}40}

Langfristig verliert die spielende Person im Mittel 40 Cent je Spiel. Eine einzelne Runde kann Gewinn bringen.

Erklärung 04

Vertiefung: stetige Zufallsvariablen

Bei einer stetigen Zufallsvariable beschreibt eine Dichte f die Verteilung. Der Erwartungswert entsteht dann durch Integration von $\mathsf{x\cdot f(x)}$ , sofern das gewichtete Integral existiert. Voraussetzung für diesen Abschnitt sind Integralrechnung und Dichtefunktionen. Für das symmetrische gleichverteilte Intervall liegt der Mittelwert in der Mitte. Allgemeine Dichteverfahren werden in den Themen Stetige Zufallsvariablen und Dichtefunktion vertieft.

Prüfe, auf welchem Intervall die Dichte ungleich null ist.
Integriere x mal Dichte über dieses Intervall.

$\mathsf{E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\,dx}$

So geht es am Beispiel

X ist gleichverteilt auf [2; 6]. Dort gilt $\mathsf{f(x)=\frac14}$ , außerhalb ist die Dichte null. Bestimme den Erwartungswert.

\mathsf{E(X)=\int_2^6\frac{x}{4}\,dx=\left[\frac{x^2}{8}\right]_2^6=\frac{36-4}{8}=4}

Das Ergebnis liegt in der Mitte des Intervalls. Die Dichte ist normiert, denn die Fläche ist $\mathsf{4\cdot\frac14=1}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Erwartungswert · EinstiegX nimmt die Werte 1, 3 und 6 mit Wahrscheinlichkeiten 0,5, 0,3 und 0,2 an. Berechne $\mathsf{E(X)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartungswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{E(X)=1\cdot0{,}5+3\cdot0{,}3+6\cdot0{,}2=2{,}6}$
Ergebnis
1. Erwartungswert $\mathsf{E(X)=2{,}6}$
02
Aufgabe 2Erwartungswert · EinstiegEine faire Münze wird zweimal geworfen. X zählt die Köpfe. Es gilt $\mathsf{P(X=0)=\frac{1}{4}}$ , $\mathsf{P(X=1)=\frac{1}{2}}$ , $\mathsf{P(X=2)=\frac{1}{4}}$ . Berechne $\mathsf{E(X)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartungswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{E(X)=0\cdot\frac14+1\cdot\frac12+2\cdot\frac14=1}$
Ergebnis
1. Erwartungswert $\mathsf{E(X)=1}$
03
Aufgabe 3Erwartungswert · StandardZeichne auf der Vorlage die Verteilung der Kopfanzahl beim zweifachen fairen Münzwurf: Werte 0, 1, 2 mit Wahrscheinlichkeiten 0,25; 0,5; 0,25. Beschrifte die Balken.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dein Balkendiagramm
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Dein Balkendiagramm
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Balkenhöhen sind 0,25, 0,5 und 0,25. Die Achse zeigt Wahrscheinlichkeiten von null bis eins.
Ergebnis
1. Dein BalkendiagrammDie Musterzeichnung zeigt die drei beschrifteten Balken.
04
Aufgabe 4Erwartungswert · StandardEs gilt $\mathsf{E(X)=4}$ . Bestimme $\mathsf{E(Y)}$ für $\mathsf{Y=3X-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartungswert von Y
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{E(Y)=3E(X)-2=12-2=10}$
Ergebnis
1. Erwartungswert von Y $\mathsf{E(Y)=10}$
05
Aufgabe 5Erwartungswert · TransferEin Spiel zahlt mit Wahrscheinlichkeit 1/5 insgesamt 6 Euro aus, sonst 0 Euro. Der Einsatz beträgt 1,50 Euro. Berechne erwartete Auszahlung und erwarteten Nettogewinn. Für weitere Spielaufgaben nutze Erwartungswert – faires Spiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartete Auszahlung
Erwarteter Nettogewinn
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{E(X)=6\cdot\frac15=1{,}20\,\mathsf{Euro}}$
  $\mathsf{E(G)=1{,}20-1{,}50=-0{,}30\,\mathsf{Euro}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erwartete Auszahlung $\mathsf{E(X)=1{,}20\,\mathsf{Euro}}$
2. Erwarteter Nettogewinn $\mathsf{E(G)=-0{,}30\,\mathsf{Euro}}$
06
Aufgabe 6Erwartungswert · TransferEine Urne enthält 3 rote und 2 blaue Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Für Rot werden 2 Punkte vergeben, für Blau 5 Punkte. Berechne die erwartete Punktzahl. Zwei Ziehungen ohne Zurücklegen behandelt die Anschlussseite Erwartungswert – Urnenmodell.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartete Punktzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{E(X)=2\cdot\frac35+5\cdot\frac25=\frac{16}{5}=3{,}2}$
Ergebnis
1. Erwartete Punktzahl $\mathsf{E(X)=3{,}2\,\mathsf{Punkte}}$
07
Aufgabe 7Erwartungswert · TransferMia sagt: Bei einem fairen Würfel muss im nächsten Wurf 3,5 fallen, weil $\mathsf{E(X)=3{,}5}$ ist. Korrigiere ihre Deutung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrigierte Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Erwartungswert ist ein langfristiger Mittelwert. Ein einzelner Wurf liefert eine der ganzen Augenzahlen eins bis sechs.
Ergebnis
1. Korrigierte Deutung3,5 beschreibt den langfristigen Durchschnitt vieler Würfe; als einzelnes Würfelergebnis kommt 3,5 nicht vor.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich ordne jedem Wert seine Wahrscheinlichkeit zu.
Ich unterscheide einen langfristigen Mittelwert von einem einzelnen Ergebnis.
Ich begründe Modellannahmen und beschrifte meine Darstellung.

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