Erwartungswert Übungsaufgabe: faires Spiel

Erklärung 01

Auszahlung und Einsatz auseinanderhalten

1. 1

   Fasse Augenzahlen mit gleicher Auszahlung zusammen.

2. 2

   Ermittle die Wahrscheinlichkeiten und prüfe ihre Summe.

3. 3

   Ziehe den Einsatz genau einmal von der Auszahlung ab.

$\mathsf{G=X-e}$

Erklärung 02

Ein fairer Einsatz

1. 1

   Setze den erwarteten Nettogewinn gleich null.

2. 2

   Löse nach dem Einsatz oder der unbekannten Auszahlung auf.

$\mathsf{E(G)=0\quad\Longleftrightarrow\quad e=E(X)}$

Erklärung 03

Fair heißt langfristig ausgeglichen

1. 1

   Unterscheide Gewinnwahrscheinlichkeit und erwarteten Gewinn.

2. 2

   Formuliere das Ergebnis pro Runde und als langfristige Modellgröße.

Ein Erwartungswert beschreibt keine garantierte Bilanz

1. 01
   Aufgabe 1Erwartungswert Übungsaufgabe: faires Spiel · EinstiegEin Glücksrad hat vier gleich große Felder mit gesamten Auszahlungen 0, 0, 2 und 6 Euro. Berechne die erwartete Auszahlung und den fairen Einsatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erwartete Auszahlung

   Fairer Einsatz
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{E(X)=\frac{0+0+2+6}{4}=2\,\mathsf{Euro}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Ein fairer Einsatz entspricht der erwarteten gesamten Auszahlung.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erwartete Auszahlung
      $\mathsf{E(X)=2\,\mathsf{Euro}}$
   2. Fairer Einsatz
      $\mathsf{e=2\,\mathsf{Euro}}$
2. 02
   Aufgabe 2Erwartungswert Übungsaufgabe: faires Spiel · EinstiegBei einem Würfelspiel werden bei 1, 2, 3 null Euro, bei 4, 5 ein Euro und bei 6 vier Euro ausgezahlt. Der Einsatz ist ein Euro. Berechne den erwarteten Nettogewinn.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erwarteter Nettogewinn
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{E(X)=0\cdot\frac12+1\cdot\frac13+4\cdot\frac16=1\,\mathsf{Euro}}$$

      $$\mathsf{E(G)=1-1=0\,\mathsf{Euro}}$$

   Ergebnis

   1. Erwarteter Nettogewinn
      $\mathsf{E(G)=0\,\mathsf{Euro}}$
3. 03
   Aufgabe 3Erwartungswert Übungsaufgabe: faires Spiel · StandardZeichne für das Spiel aus Aufgabe 2 die Verteilung des Nettogewinns: −1 Euro mit Wahrscheinlichkeit 1/2, 0 Euro mit 1/3 und 3 Euro mit 1/6. Beschrifte die drei Balken.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Deine Gewinnverteilung

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Deine Gewinnverteilung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Der Einsatz ist bereits in den Nettogewinnen abgezogen. Die Balkenhöhen sind 1/2, 1/3 und 1/6; ihre Summe ist eins.

   Ergebnis

   1. Deine Gewinnverteilung
      Die geschützte Musterzeichnung zeigt die drei Balken. Bei 1/3 und 1/6 sind angemessene Näherungen auf der Dezimalachse zulässig.
4. 04
   Aufgabe 4Erwartungswert Übungsaufgabe: faires Spiel · StandardEin Spiel kostet 2 Euro. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 werden a Euro insgesamt ausgezahlt, sonst 0 Euro. Bestimme a, damit das Spiel fair ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Faire Auszahlung im Gewinnfall
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{E(G)=\frac a4-2}$$

      $$\mathsf{0=\frac a4-2\quad\Rightarrow\quad a=8\,\mathsf{Euro}}$$

   Ergebnis

   1. Faire Auszahlung im Gewinnfall
      $\mathsf{a=8\,\mathsf{Euro}}$
5. 05
   Aufgabe 5Erwartungswert Übungsaufgabe: faires Spiel · TransferBei einem Spiel ist die erwartete Auszahlung 1,80 Euro; der Einsatz beträgt 2 Euro. Berechne den erwarteten Nettogewinn je Runde und über 50 Runden. Erkläre, ob die tatsächliche Bilanz zwingend so ausfällt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erwarteter Nettogewinn je Runde

   Erwartete Gesamtbilanz

   Deutung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{E(G)=1{,}80-2=-0{,}20\,\mathsf{Euro}}$$

      $$\mathsf{E(G_1+\dots+G_{50})=50\cdot(-0{,}20)=-10\,\mathsf{Euro}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Eine reale Folge von Runden kann eine andere Bilanz ergeben.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erwarteter Nettogewinn je Runde
      $\mathsf{-0{,}20\,\mathsf{Euro}}$
   2. Erwartete Gesamtbilanz
      $\mathsf{-10\,\mathsf{Euro}}$
   3. Deutung
      Die tatsächliche Bilanz ist zufällig; −10 Euro ist ihr Erwartungswert.
6. 06
   Aufgabe 6Erwartungswert Übungsaufgabe: faires Spiel · TransferEin Spiel kostet 1 Euro. Bei einem von zehn gleich wahrscheinlichen Ergebnissen werden insgesamt 10 Euro ausgezahlt, sonst nichts. Ist es fair? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Nettogewinns?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Fairness mit Begründung

   Wahrscheinlichkeit positiven Nettogewinns
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{E(X)=10\cdot\frac1{10}=1\,\mathsf{Euro}}$$

      $$\mathsf{E(G)=1-1=0}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Nur das Ergebnis mit zehn Euro Auszahlung liefert einen positiven Nettogewinn.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Fairness mit Begründung
      Das Spiel ist im Erwartungswert fair, weil $\mathsf{E(G)=0}$ gilt.
   2. Wahrscheinlichkeit positiven Nettogewinns
      $\mathsf{P(G>0)=\frac1{10}=10\,\%}$