Erwartungswert Übungsaufgabe: Urnenmodell

Erklärung 01

Zwei Ziehungen ohne Zurücklegen

1. 1

   Notiere den Bestand vor dem ersten Zug.

2. 2

   Passe den Bestand nach jeder möglichen ersten Farbe an.

3. 3

   Beschrifte die Äste mit bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Ohne Zurücklegen: Bestand und Wahrscheinlichkeiten ändern sich

Erklärung 02

Farbfolgen zur Anzahl zusammenfassen

1. 1

   Berechne die vier Pfadwahrscheinlichkeiten.

2. 2

   Fasse Pfade mit gleicher roter Anzahl zusammen.

3. 3

   Prüfe die Summe der drei Verteilungswerte.

$\mathsf{P(X=1)=P(RB)+P(BR)}$

Erklärung 03

Aus der Verteilung zum Erwartungswert

1. 1

   Berechne zuerst die gewichtete Summe.

2. 2

   Kontrolliere sie mit Anzahl der Züge mal ursprünglichem roten Anteil.

$\mathsf{E(X)=n\frac KN}$

1. 01
   Aufgabe 1Erwartungswert Übungsaufgabe: Urnenmodell · EinstiegEine Urne enthält zwei rote und zwei blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für zuerst Rot und dann Rot.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Wahrscheinlichkeit RR
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{P(RR)=\frac24\cdot\frac13=\frac16}$$

   Ergebnis

   1. Wahrscheinlichkeit RR
      $\mathsf{P(RR)=\frac16}$
2. 02
   Aufgabe 2Erwartungswert Übungsaufgabe: Urnenmodell · EinstiegErgänze für zwei Ziehungen ohne Zurücklegen aus zwei roten und zwei blauen Kugeln alle sechs Astwahrscheinlichkeiten im Baum. Die erste Verzweigung gibt die Farbe des ersten Zuges an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Dein vollständiger Wahrscheinlichkeitsbaum

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Dein vollständiger Wahrscheinlichkeitsbaum
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Zuerst sind beide Farben gleich wahrscheinlich. Nach Rot bleibt eine rote und zwei blaue Kugeln; nach Blau bleiben zwei rote und eine blaue Kugel.

   Ergebnis

   1. Dein vollständiger Wahrscheinlichkeitsbaum
      Die geschützte Musterzeichnung zeigt alle sechs passenden Astwahrscheinlichkeiten.
3. 03
   Aufgabe 3Erwartungswert Übungsaufgabe: Urnenmodell · StandardX zählt die roten Kugeln bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen aus zwei roten und zwei blauen Kugeln. Bestimme $\mathsf{P(X=0)}$, $\mathsf{P(X=1)}$ und $\mathsf{P(X=2)}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Wahrscheinlichkeit für null rote Kugeln

   Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel

   Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{P(X=0)=\frac24\cdot\frac13=\frac16}$$

      $$\mathsf{P(X=1)=\frac24\cdot\frac23+\frac24\cdot\frac23=\frac23}$$

      $$\mathsf{P(X=2)=\frac16}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Wahrscheinlichkeit für null rote Kugeln
      $\mathsf{P(X=0)=\frac16}$
   2. Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel
      $\mathsf{P(X=1)=\frac23}$
   3. Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln
      $\mathsf{P(X=2)=\frac16}$
4. 04
   Aufgabe 4Erwartungswert Übungsaufgabe: Urnenmodell · StandardFür die Verteilung aus Aufgabe 3 gilt $\mathsf{P(X=0)=\frac{1}{6}}$, $\mathsf{P(X=1)=\frac{2}{3}}$, $\mathsf{P(X=2)=\frac{1}{6}}$. Berechne $\mathsf{E(X)}$ und deute das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erwartete Anzahl roter Kugeln

   Deutung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{E(X)=0\cdot\frac16+1\cdot\frac23+2\cdot\frac16=1}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Über viele Zweierzüge nach gleichem Modell erhält man im Durchschnitt eine rote Kugel je Zweierzug.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erwartete Anzahl roter Kugeln
      $\mathsf{E(X)=1}$
   2. Deutung
      Im langfristigen Durchschnitt wird je Zweierzug eine rote Kugel gezogen; einzelne Zweierzüge können null, eine oder zwei rote Kugeln enthalten.
5. 05
   Aufgabe 5Erwartungswert Übungsaufgabe: Urnenmodell · TransferNun werden aus der Urne mit zwei roten und zwei blauen Kugeln zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau eine rote Kugel und den Erwartungswert. Vergleiche mit ohne Zurücklegen: dort $\mathsf{P(X=1)=\frac{2}{3}}$ und $\mathsf{E(X)=1}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Wahrscheinlichkeit für genau eine rote Kugel

   Erwartungswert

   Vergleich
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{P(X=1)=2\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac12}$$

      $$\mathsf{E(X)=2\cdot\frac12=1}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Verteilungen unterscheiden sich; ihr Erwartungswert ist gleich.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Wahrscheinlichkeit für genau eine rote Kugel
      $\mathsf{P(X=1)=\frac12}$
   2. Erwartungswert
      $\mathsf{E(X)=1}$
   3. Vergleich
      Genau eine rote Kugel ist mit Zurücklegen seltener. Der Erwartungswert bleibt eins.
6. 06
   Aufgabe 6Erwartungswert Übungsaufgabe: Urnenmodell · TransferEine Urne enthält vier rote und sechs blaue Kugeln. Drei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. X zählt die roten Kugeln. Berechne $\mathsf{E(X)}$ ohne eine vollständige Verteilungstabelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erwartete Anzahl roter Kugeln
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Es sind $\mathsf{n=3}$ Ziehungen, $\mathsf{K=4}$ rote Kugeln und $\mathsf{N=10}$ Kugeln insgesamt.

      $$\mathsf{E(X)=3\cdot\frac4{10}=1{,}2}$$

   Ergebnis

   1. Erwartete Anzahl roter Kugeln
      $\mathsf{E(X)=1{,}2}$