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Abstandsrechnung · Erklären & üben

Euklidische Distanz

Die euklidische Distanz misst die Länge der direkten Verbindung zweier Punkte. In rechtwinkligen Koordinatensystemen entsteht sie aus den Koordinatendifferenzen mithilfe des Satzes von Pythagoras.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Länge statt gerichteter Änderung

Ein Abstand ist nie negativ. Auf der Zahlengeraden ist er der Betrag der Differenz; das Vorzeichen einer gerichteten Änderung wird dadurch entfernt. Alle Koordinaten müssen auf vergleichbaren Längenskalen vorliegen. Zentimeter und Meter werden vor dem Einsetzen einheitlich umgerechnet.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

d(a,b)=∣b−a∣\mathsf{d(a,b)=|b-a|}

Zahlengerade mit Abstand über den Ursprung hinweg.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Abstand der Zahlen −3 und 4.

d=∣4−(−3)∣=7\mathsf{d=|4-(-3)|=7}

Ergebnis

Der Abstand beträgt 7 Einheiten.

Erklärung 02

Zwei, drei und mehr Koordinaten

In der Ebene sind die beiden Koordinatendifferenzen Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Im Raum kommt die dritte Richtung hinzu. Allgemein werden im rechtwinkligen n-dimensionalen Koordinatensystem die Quadrate aller Differenzen addiert und anschließend die Wurzel gezogen. Die allgemeine Formel ist eine Schreibweise; eine Theorie abstrakter Räume ist hier nicht nötig.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

d(A,B)=∑i=1n(bi−ai)2\mathsf{d(A,B)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2}}

Maßstäbliches Differenzdreieck zum eigenen Beispiel.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind A(1|1) und B(4|5).

d=(4−1)2+(5−1)2=9+16=5\mathsf{d=\sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=5}

Ergebnis

Die direkte Strecke ist 5 LE lang.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Abstand vom Ursprung zu P(2|3|6).

d=22+32+62=49=7\mathsf{d=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7}

Ergebnis

Der Raumabstand beträgt 7 LE.

Erklärung 03

Was einen Abstand kennzeichnet

Der Abstand ist symmetrisch und genau dann 0, wenn beide Punkte gleich sind. Der direkte Weg ist nicht länger als ein Umweg über einen dritten Punkt; dies ist die Dreiecksungleichung. Diese Eigenschaften ordnen die euklidische Distanz als Metrik ein, ohne einen allgemeinen Metrikbeweis zu verlangen. Ein Schrägbild verzerrt Raumlängen: Rechne mit den Koordinaten. Das Einzeichnen erläutert Dreidimensionales Koordinatensystem.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

d(A,B)=d(B,A),d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)\mathsf{d(A,B)=d(B,A),\qquad d(A,C)\le d(A,B)+d(B,C)}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Euklidische Distanz · EinstiegBerechne den Abstand zwischen −2 und 5 auf der Zahlengeraden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∣5−(−2)∣=7\mathsf{|5-(-2)|=7}

    Ergebnis

    1. Abstand7\mathsf{7}
  2. Aufgabe 2Euklidische Distanz · EinstiegBerechne den Abstand zwischen A(1|1) und B(4|5).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=32+42=5\mathsf{d=\sqrt{3^2+4^2}=5}

    Ergebnis

    1. Abstand in LE5\mathsf{5}
  3. Aufgabe 3Euklidische Distanz · StandardBerechne den Abstand vom Ursprung zu P(2|3|6).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=4+9+36=7\mathsf{d=\sqrt{4+9+36}=7}

    Ergebnis

    1. Abstand in LE7\mathsf{7}
  4. Aufgabe 4Euklidische Distanz · StandardFür zwei Punkte gilt d(A,B) = 5. Bestimme d(B,A) und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ein Tausch ändert nur die Vorzeichen der Differenzen; ihre Quadrate bleiben gleich.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Umgekehrter Abstand5\mathsf{5}
    2. BegründungSymmetrie des Abstands.
  5. Aufgabe 5Euklidische Distanz · TransferErgänze in der Vorlage die direkte Verbindung A–B und das rechtwinklige Hilfsdreieck über (4|1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Hilfsdreieck

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Katheten haben Längen 3 und 4. Die direkte Verbindung ist die Hypotenuse mit Länge 5.

    Ergebnis

    1. HilfsdreieckStrecken A–(4|1), (4|1)–B und A–B.
  6. Aufgabe 6Euklidische Distanz · TransferEine waagerechte Differenz beträgt 30 cm, eine senkrechte 0,4 m. Berechne die direkte Entfernung in Metern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      30 cm=0,3 m\mathsf{30\,\mathsf{cm}=0{,}3\,\mathsf m}
      d=0,32+0,42=0,5 m\mathsf{d=\sqrt{0{,}3^2+0{,}4^2}=0{,}5\,\mathsf m}

    Ergebnis

    1. Entfernung in Metern0,5\mathsf{0{,}5}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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