Exponentialfunktion · Erklären & üben

Eulersche Zahl

Die Eulersche Zahl e ist eine feste mathematische Konstante. Sie erscheint bei immer feineren Wachstumsintervallen und ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Exakte Konstante und Näherungswert

Es gilt $\mathsf{e\approx2{,}718281828\ldots}$ . Die Dezimalentwicklung endet nicht und ist nicht periodisch; e ist irrational. Eine endliche Dezimalzahl wie 2,718 ist deshalb ein gerundeter Näherungswert und nicht exakt e. Insbesondere ist e größer als 2 und kleiner als 3.

Unterscheide die Konstante vom Dezimalwert.
Nenne die Rundungsgenauigkeit.
Schreibe bei Rundung das Näherungszeichen.

$\mathsf{2<e<3}$ , aber $\mathsf{e\ne2{,}718}$ .

e ist exakt; Dezimalwerte sind Näherungen. 2 < e < 3. e ≈ 2,718281828…. Auf zwei Nachkommastellen: e ≈ 2,72. Auf drei Nachkommastellen: e ≈ 2,718. Eine endliche Dezimalzahl ist nicht exakt e.

So geht es am Beispiel

Runde e auf zwei und auf drei Nachkommastellen.

Für zwei Nachkommastellen entscheidet die dritte Stelle 8: aufrunden zu 2,72.

Für drei Nachkommastellen entscheidet die vierte Stelle 2: 2,718 bleibt.

Erklärung 02

Eine Folge nähert sich e

Für positive ganze n betrachte $\mathsf{a_n=(1+1/n)^n}$ . Diese Folge steigt und nähert sich dem Grenzwert e. Kein endlicher Folgenterm wird dadurch mit e gleichgesetzt. Die Zahlenwerte geben eine Anschauung; der vollständige Konvergenzbeweis wird hier nicht ausgeführt.

Wähle eine positive ganze Schrittzahl.
Berechne den Faktor.
Erhebe ihn in die n-te Potenz.

$\mathsf{e=\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n}$ .

Folge aₙ = (1 + 1/n)ⁿ: einzelne Folgenglieder. Punkte: endliche Werte; gestrichelt: Grenzwert e.

So geht es am Beispiel

Berechne a eins und a zwei exakt.

Bei eins: $\mathsf{(1+1)^1=2}$ .

Bei zwei ist der Faktor $\mathsf{1+1/2=3/2}$ .

Quadriere: $\mathsf{(3/2)^2=9/4}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne a vier exakt und als Dezimalzahl.

Der Faktor ist $\mathsf{1+1/4=5/4}$ .

Die vierte Potenz ist $\mathsf{625/256}$ .

Als Dezimalzahl ergibt das 2,44140625.

Erklärung 03

Immer feinere Wachstumsintervalle

Ein idealisiertes Wachstumsmodell startet bei 1 und verteilt eine nominelle Änderungsgröße von 100 Prozent auf n gleiche Teilintervalle. In jedem Teilintervall wird der aktuelle Wert mit $\mathsf{1+1/n}$ multipliziert. Der Gesamtfaktor ist a n. Im Grenzübergang entsteht e. Die nominale Größe 100 Prozent ist dabei nicht der effektive Gesamtzuwachs; dieser nähert sich e minus eins. Dies ist ein mathematisches Modell, kein reales Zinsangebot.

Unterscheide nominelle Änderungsgröße und Endfaktor.
Verwende in jedem Teilintervall den aktuellen Wert.
Trenne Grenzmodell und endliche Rechnung.

Endfaktor im Grenzmodell e; relativer Gesamtzuwachs e minus eins.

Anfangswert 1: unterschiedliche Unterteilungen. Ein Intervall: Faktor 1 + 1 = 2. Endwert 2. Zwei Intervalle: je Faktor 1 + 1/2. Endwert 1,5 · 1,5 = 2,25. Vier Intervalle: je Faktor 1 + 1/4. Endwert (5/4)⁴ = 625/256 = 2,44140625. Die Teiländerung wirkt jeweils auf den aktuellen Wert.

So geht es am Beispiel

Vergleiche ein ganzes Intervall mit zwei halben Intervallen dieses Modells.

Bei einem Intervall ist der Faktor 2.

Bei zwei Intervallen ist der Faktor $\mathsf{1{,}5^2=2{,}25}$ .

Die zweite Teiländerung bezieht sich bereits auf den veränderten Wert.

So geht es am Beispiel

Ein Anfangswert 10 wird im Grenzmodell mit e multipliziert. Gib Endwert und Zuwachs exakt an.

Der Endwert ist 10e.

Subtrahiere den Anfangswert zehn.

Erklärung 04

Die e-Funktion und der Logarithmus

Die Funktion $\mathsf{f(x)=e^x}$ besitzt den Wert eins bei null und den Wert e bei eins. Ihre Ableitung ist wieder $\mathsf{e^x}$ . Der natürliche Logarithmus ist ihre Umkehrfunktion, daher gilt $\mathsf{\ln(e)=1}$ . Die Eulersche Formel mit komplexen Zahlen ist ein weiterführendes Thema. Sie wird hier nur benannt; diese Einführung bleibt bei reellen Zahlen und behandelt weder komplexe Exponenten noch einen Beweiskurs.

Trenne feste Basis und variable Eingabe.
Verwende ln als Umkehrung.
Halte den reellen Themenumfang ein.

$\mathsf{e^0=1}$ , $\mathsf{\ln(e)=1}$ , $\mathsf{(e^x)^{\prime}=e^x}$ .

e als Funktionswert bei x = 1. Markierte Punkte: (0 | 1) und (1 | e).

So geht es am Beispiel

Berechne e hoch null und den natürlichen Logarithmus von e.

Die nullte Potenz einer positiven Basis ist eins.

Der Logarithmus fragt nach dem Exponenten, der zur Basis e den Wert e ergibt.

So geht es am Beispiel

Ist e eine Variable in der Funktion e hoch x?

e bezeichnet dieselbe feste Zahl für jedes x.

x ist die veränderliche Eingabe.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Eulersche Zahl · 1Runde e auf eine und auf vier Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eine Nachkommastelle
Vier Nachkommastellen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die zweite Nachkommastelle ist 1: eine Stelle ergibt 2,7.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die fünfte Nachkommastelle ist 8: vier Stellen ergeben 2,7183.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eine Nachkommastelle $\mathsf{e\approx2{,}7}$
2. Vier Nachkommastellen $\mathsf{e\approx2{,}7183}$
02
Aufgabe 2Eulersche Zahl · 1Ist e exakt gleich 2,71828? Entscheide und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Exakt gleich?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  e hat keine endliche Dezimaldarstellung.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die angegebene Dezimalzahl ist nur eine Rundung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Exakt gleich?Nein
2. Begründunge ist irrational. Die endliche Dezimalzahl ist ein Näherungswert.
03
Aufgabe 3Eulersche Zahl · 1Berechne $\mathsf{a_1=(1+1/1)^1}$ und $\mathsf{a_2=(1+1/2)^2}$ exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a eins
a zwei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für n gleich eins ergibt sich 2.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für n gleich zwei ergibt sich $\mathsf{(3/2)^2=9/4}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. a eins2
2. a zwei $\mathsf{9/4}$
04
Aufgabe 4Eulersche Zahl · 2Berechne $\mathsf{a_3=(1+1/3)^3}$ als exakten Bruch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Exakter Folgenterm
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Faktor ist 4/3.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zählerpotenz: $\mathsf{4^3=64}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Nennerpotenz: $\mathsf{3^3=27}$ .
Ergebnis
1. Exakter Folgenterm $\mathsf{64/27}$
05
Aufgabe 5Eulersche Zahl · 2Gegeben sind a eins gleich 2, a zwei gleich 2,25 und a vier gleich 2,44140625. Welcher dieser Werte ist am größten? Ist er bereits e? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Größter gegebener Wert
Bereits gleich e?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  2,44140625 ist die größte der drei Zahlen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  e liegt bei etwa 2,71828 und damit darüber.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Größter gegebener Werta vier = 2,44140625
2. Bereits gleich e?Nein
3. BegründungDer endliche Folgenterm liegt noch unter dem Grenzwert e.
06
Aufgabe 6Eulersche Zahl · 2Im idealisierten Modell werden zwei Teilintervalle mit je Faktor 1,5 durchlaufen. Anfangswert ist 8. Gib den Wert nach dem ersten und nach dem zweiten Intervall an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nach dem ersten Intervall
Nach dem zweiten Intervall
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Wert: $\mathsf{8\cdot1{,}5=12}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweiter Wert: $\mathsf{12\cdot1{,}5=18}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Nach dem ersten Intervall12
2. Nach dem zweiten Intervall18
07
Aufgabe 7Eulersche Zahl · 2Ein Anfangswert 5 wird im Grenzmodell mit e multipliziert. Gib Endwert und absoluten Zuwachs exakt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Endwert
Absoluter Zuwachs
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Endwert: 5e.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zuwachs: Endwert minus fünf.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Endwert $\mathsf{5e}$
2. Absoluter Zuwachs $\mathsf{5(e-1)}$
08
Aufgabe 8Eulersche Zahl · 2Berechne $\mathsf{e^0}$ , $\mathsf{\ln(e)}$ und die Ableitung von $\mathsf{e^x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
e hoch null
ln von e
Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die nullte Potenz ergibt eins.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der natürliche Logarithmus von e ist eins.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die e-Funktion bleibt beim Ableiten unverändert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. e hoch null1
2. ln von e1
3. Ableitung $\mathsf{e^x}$
09
Aufgabe 9Eulersche Zahl · 3Im Grenzmodell ist der Endfaktor e. Ist der relative Gesamtzuwachs dann e oder e minus eins? Gib den richtigen Ausdruck und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Relativer Gesamtzuwachs
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ein Faktor enthält den ursprünglichen Anteil eins.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für den Zuwachs wird dieser Anteil abgezogen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Relativer Gesamtzuwachs $\mathsf{e-1}$
2. BegründungDer Endfaktor enthält den Anfangsbestand. Der zusätzliche Anteil ist deshalb der Faktor minus eins.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich trenne exakten Wert und Näherungszahl.
Ich berechne endliche Folgenglieder.
Ich verstehe die Grenzwertidee ohne endliche Gleichsetzung.
Ich unterscheide Endfaktor und Zuwachs.

AT Academy · Version 2026-10-21