Exponentialfunktion · Erklären & üben

e Funktion

Die natürliche Exponentialfunktion hat die feste Basis e. Sie ist besonders, weil ihre Ableitung wieder dieselbe Funktion ist. Einfache Werte und Grapheneigenschaften führen zu Ableitung, Stammfunktion und Logarithmus.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Basis e und erste Werte

Die Eulersche Zahl ist eine feste positive Zahl mit $\mathsf{e\approx2{,}71828}$ . Die natürliche Exponentialfunktion lautet $\mathsf{f(x)=e^x}$ . Exakte Werte wie $\mathsf{e^0=1}$ , $\mathsf{e^1=e}$ und $\mathsf{e^{-1}=1/e}$ werden von gerundeten Dezimalwerten unterschieden. Der Taschenrechnerwert ersetzt nicht die exakte Konstante.

Erkenne e als feste Basis.
Berechne einfache Potenzen exakt.
Kennzeichne Rundungen als Näherungen.

$\mathsf{e^0=1}$ , $\mathsf{e^{-x}=1/e^x}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne f(0), f(1) und f(−1) exakt für f(x)=e hoch x.

Jede positive Basis hoch null ergibt eins.

Der Exponent eins lässt die Basis unverändert.

Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert.

Erklärung 02

Definitionsbereich, Wertebereich und Achsen

Die Definitionsmenge von $\mathsf{e^x}$ ist $\mathsf{\mathbb R}$ , die Wertemenge $\mathsf{(0,\infty)}$ . Der Graph schneidet die y-Achse bei (0|1). Er besitzt keine Nullstelle, denn alle Werte sind positiv. Auch bei sehr negativen x bleibt der Funktionswert größer als null.

Benenne Definitions- und Wertebereich getrennt.
Setze null für den y-Achsenabschnitt ein.
Verwechsle Annäherung nicht mit Erreichen.

$\mathsf{e^x>0}$ für alle reellen x.

So geht es am Beispiel

Kann e hoch x gleich null sein?

Eine Exponentialfunktion mit positiver Basis besitzt nur positive Werte.

Null gehört nicht zum Wertebereich.

So geht es am Beispiel

Welcher Punkt liegt bei x gleich null auf dem Graphen?

Berechne $\mathsf{e^0=1}$ .

Erklärung 03

Monotonie, Grenzverhalten und Symmetrie

Die Funktion $\mathsf{e^x}$ ist streng steigend. Für x gegen minus unendlich nähert sie sich null von oben; für x gegen plus unendlich wächst sie ohne obere Grenze. Sie ist weder gerade noch ungerade: $\mathsf{e^{-x}}$ ist im Allgemeinen weder $\mathsf{e^x}$ noch $\mathsf{-e^x}$ . Der Graph besitzt daher weder y-Achsen- noch Ursprungssymmetrie. Die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote.

Vergleiche Werte in wachsender x-Reihenfolge.
Unterscheide die beiden Grenzrichtungen.
Prüfe Symmetrie durch Einsetzen von minus x.

$\mathsf{\lim_{x\to-\infty}e^x=0}$ , $\mathsf{\lim_{x\to\infty}e^x=\infty}$ .

Die natürliche Exponentialfunktion. Positiv und streng steigend; Punkt (0 | 1).

So geht es am Beispiel

Prüfe die beiden üblichen Symmetrien mit x gleich 1.

Der Wert bei eins ist e.

Der Wert bei minus eins ist 1/e.

1/e ist weder e noch minus e.

Erklärung 04

Rechenregeln und Parameter

Es gelten die Potenzregeln $\mathsf{e^u e^v=e^{u+v}}$ , $\mathsf{e^u/e^v=e^{u-v}}$ und $\mathsf{(e^u)^v=e^{uv}}$ für reelle u und v. Für Summen gilt dagegen im Allgemeinen nicht $\mathsf{e^u+e^v=e^{u+v}}$ . Bei $\mathsf{g(x)=A e^{kx}+d}$ bestimmen A, k und d Streckung oder Spiegelung, Änderungsrichtung und vertikale Verschiebung. Für $\mathsf{A\ne0}$ und $\mathsf{k\ne0}$ ist y=d die waagerechte Asymptote in einer Grenzrichtung.

Wende Potenzregeln nur auf passende Produkte und Quotienten an.
Unterscheide A, k und d.
Berechne Achsenschnitt und Grenzverhalten neu.

$\mathsf{g(0)=A+d}$ .

Parameterfunktion: g(x) = 2e⁻ˣ + 3. g(0) = 5; Annäherung an 3 von oben.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{e^2\cdot e^3/e}$ .

Multipliziere gleiche Basen: $\mathsf{e^2e^3=e^5}$ .

Dividiere durch e: $\mathsf{e^5/e=e^4}$ .

So geht es am Beispiel

Beschreibe $\mathsf{g(x)=2e^{-x}+3}$ .

Der Vorfaktor ist positiv und der innere Faktor negativ.

Damit fällt der Graph.

Bei null gilt $\mathsf{2\cdot1+3=5}$ .

Für x gegen plus unendlich nähert er sich drei von oben.

Erklärung 05

Natürlicher Logarithmus als Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion von $\mathsf{e^x}$ ist $\mathsf{\ln(x)}$ für positive x. Es gelten $\mathsf{\ln(e^x)=x}$ für alle reellen x und $\mathsf{e^{\ln u}=u}$ für $\mathsf{u>0}$ . Beim Lösen einer Gleichung wird der Exponentialterm zuerst isoliert. Die ln-Funktion als eigenes Thema vertieft ihren Graphen und die Logarithmusregeln.

Isoliere die Potenz.
Prüfe die positive rechte Seite.
Logarithmiere und löse die innere Gleichung.

$\mathsf{e^x=u}$ hat für $\mathsf{u>0}$ die Lösung $\mathsf{x=\ln u}$ .

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2e^x=10}$ .

Teile durch zwei: $\mathsf{e^x=5}$ .

Fünf ist positiv.

Logarithmiere beide Seiten.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{e^{2x}=e^6}$ .

Die Exponentialfunktion ist eindeutig umkehrbar.

Deshalb gilt $\mathsf{2x=6}$ .

Teile durch zwei.

Erklärung 06

Ableitung mit Kettenregel

Die Grundregel lautet $\mathsf{(e^x)^{\prime}=e^x}$ . Für eine differenzierbare innere Funktion u gilt $\mathsf{(e^{u(x)})^{\prime}=u^{\prime}(x)e^{u(x)}}$ . Insbesondere ist die Ableitung von $\mathsf{Ae^{kx}+d}$ gleich $\mathsf{Ak e^{kx}}$ . Die Konstante d fällt beim Ableiten weg.

Bestimme die innere Funktion.
Leite innen ab.
Multipliziere mit dem erhaltenen Exponentialterm.

Äußere Ableitung mal innere Ableitung.

Bei x = 0: Funktionswert und Steigung sind 1. Die Tangente gilt am Berührpunkt; sie ist nicht der Graph.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{f(x)=3e^{2x}-4}$ ab.

Die innere Ableitung von 2x ist 2.

Der äußere Exponentialterm bleibt erhalten.

Die Vorfaktoren ergeben $\mathsf{3\cdot2=6}$ .

Die Konstante minus vier hat Ableitung null.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{g(x)=e^{-x}}$ ab.

Die innere Ableitung von minus x ist minus eins.

Multipliziere diesen Faktor mit dem Exponentialterm.

Erklärung 07

Stammfunktion und bestimmtes Integral

Eine Stammfunktion von $\mathsf{e^x}$ ist wieder $\mathsf{e^x}$ . Für $\mathsf{k\ne0}$ gilt $\mathsf{\int Ae^{kx}\,dx=(A/k)e^{kx}+C}$ . Bei k gleich null ist der Integrand konstant A und die Stammfunktion lautet Ax+C. Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(obere Grenze) minus F(untere Grenze).

Prüfe k auf null.
Dividiere bei linearem Exponenten durch k.
Setze bei bestimmten Integralen die Grenzen getrennt ein.

$\mathsf{\int_a^b e^x\,dx=e^b-e^a}$ .

Bestimmtes Integral von eˣ: 0 bis ln(2). Stammfunktion F(x) = eˣ. Obere Grenze: F(ln(2)) = 2. Untere Grenze: F(0) = 1. Integralwert: 2 − 1 = 1. Beim bestimmten Integral fällt die Integrationskonstante weg.

So geht es am Beispiel

Bestimme eine Stammfunktion von $\mathsf{6e^{3x}}$ .

Teile den Vorfaktor durch die innere Steigung: $\mathsf{6:3=2}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\int_0^{\ln2}e^x\,dx}$ .

Eine Stammfunktion ist $\mathsf{F(x)=e^x}$ .

Obere Grenze: $\mathsf{e^{\ln2}=2}$ .

Untere Grenze: $\mathsf{e^0=1}$ .

Subtrahiere $\mathsf{2-1=1}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1e Funktion · 1Berechne e hoch null und e hoch minus zwei exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
e hoch null
e hoch minus zwei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die nullte Potenz ist eins.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der negative Exponent bedeutet den Kehrwert der zweiten Potenz.
Ergebnisse & Teilantworten
1. e hoch null1
2. e hoch minus zwei $\mathsf{1/e^2}$
02
Aufgabe 2e Funktion · 1Nenne Definitionsmenge, Wertemenge und y-Achsenschnittpunkt von e hoch x. Besitzt diese Funktion eine Nullstelle?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsmenge
Wertemenge
y-Achsenschnittpunkt
Nullstelle vorhanden?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Alle reellen Exponenten sind erlaubt.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Alle Werte sind positiv.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei null ist der Wert eins.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsmenge $\mathsf{\mathbb R}$
2. Wertemenge $\mathsf{(0,\infty)}$
3. y-Achsenschnittpunkt(0|1)
4. Nullstelle vorhanden?Nein
03
Aufgabe 3e Funktion · 2Beschreibe die Monotonie von e hoch x und den Grenzwert für x gegen minus unendlich. Wird dieser Grenzwert an einer reellen Stelle angenommen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Monotonie
Grenzwert
Grenzwert angenommen?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Funktion steigt streng.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nach links nähert sie sich null von oben.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Alle endlichen Funktionswerte sind positiv.
Ergebnisse & Teilantworten
1. MonotonieStreng steigend
2. Grenzwert0
3. Grenzwert angenommen?Nein
04
Aufgabe 4e Funktion · 2Ist $\mathsf{e^x}$ y-achsensymmetrisch? Begründe mit den Werten bei 1 und −1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
y-achsensymmetrisch?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei eins ist der Wert e.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei minus eins ist der Wert 1/e.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Diese Werte sind verschieden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. y-achsensymmetrisch?Nein
2. Begründung $\mathsf{e^{-1}=1/e\ne e=e^1}$ .
05
Aufgabe 5e Funktion · 2Vereinfache $\mathsf{e^4e^{-1}/e^2}$ . Ist $\mathsf{e^1+e^1=e^2}$ richtig? Begründe die Entscheidung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Quotient
Summengleichung richtig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Im Zähler werden die Exponenten addiert: $\mathsf{4-1=3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Beim Dividieren wird subtrahiert: $\mathsf{3-2=1}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Summe e+e ist 2e.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Gleichheit mit e² würde nach Division durch e die falsche Aussage 2=e verlangen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Quotient $\mathsf{e}$
2. Summengleichung richtig?Nein
3. BegründungGleiche Summanden werden zu 2e addiert. Exponenten werden nur bei Produkten gleicher Basis addiert.
06
Aufgabe 6e Funktion · 2Für $\mathsf{g(x)=4e^{-2x}+1}$ : Bestimme g(0), Monotonie und waagerechte Asymptote.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
g null
Monotonie
Asymptote
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei null ist die Potenz eins.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Anfangswert: $\mathsf{4+1=5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Positiver Vorfaktor und negatives k ergeben fallenden Verlauf.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Nach rechts nähert sich der Exponentialterm null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. g null5
2. MonotonieStreng fallend
3. Asymptote $\mathsf{y=1}$
07
Aufgabe 7e Funktion · 2Löse $\mathsf{3e^{2x}=21}$ exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile durch drei: $\mathsf{e^{2x}=7}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Logarithmiere: $\mathsf{2x=\ln7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Teile durch zwei.
Ergebnis
1. Lösung $\mathsf{x=\ln(7)/2}$
08
Aufgabe 8e Funktion · 3Leite $\mathsf{f(x)=5e^{3x}+2}$ ab und gib eine Stammfunktion von $\mathsf{8e^{2x}}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung von f
Eine Stammfunktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ableitung: innerer Faktor ist 3.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Faktoren ergeben $\mathsf{5\cdot3=15}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die additive Konstante hat Ableitung null.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Für die Stammfunktion teile $\mathsf{8:2=4}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ableitung von f $\mathsf{f^{\prime}(x)=15e^{3x}}$
2. Eine Stammfunktion $\mathsf{F(x)=4e^{2x}}$
09
Aufgabe 9e Funktion · 3Berechne $\mathsf{\int_0^{\ln3}2e^x\,dx}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Integralwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Eine Stammfunktion ist $\mathsf{F(x)=2e^x}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Oben: $\mathsf{2e^{\ln3}=6}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Unten: $\mathsf{2e^0=2}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Differenz: $\mathsf{6-2=4}$ .
Ergebnis
1. Integralwert4
10
Aufgabe 10e Funktion · 3Für $\mathsf{Ae^{kx}}$ gilt bei k ungleich null die Stammfunktion $\mathsf{(A/k)e^{kx}}$ . Setze A=7 und k=0: Nenne den Integranden und eine passende Stammfunktion.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Integrand
Eine Stammfunktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei k gleich null ist $\mathsf{e^{0x}=1}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Integrand ist deshalb 7.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Eine Stammfunktion der Konstanten sieben ist 7x.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Integrand7
2. Eine Stammfunktion $\mathsf{F(x)=7x}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kenne die Eigenschaften der Grundfunktion.
Ich rechne exakt mit e und ln.
Ich unterscheide Produkte und Summen.
Ich beachte den inneren Faktor beim Ableiten und Integrieren.

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