Exponentialfunktion · Erklären & üben

Exponentialfunktion

Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten. Gleiche Schritte der Eingabe bewirken bei der unverschobenen Funktion denselben Multiplikationsfaktor.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Formel, Basis und Anfangswert

Wir betrachten $\mathsf{f(x)=a\cdot b^x}$ mit reellem $\mathsf{a\ne0}$ , positiver Basis $\mathsf{b>0}$ und $\mathsf{b\ne1}$ . Die Definitionsmenge ist ganz $\mathsf{\mathbb R}$ . Bei x gleich null gilt $\mathsf{f(0)=a}$ , denn $\mathsf{b^0=1}$ . Für a gleich null entstünde die Nullfunktion; für b gleich eins eine konstante Funktion. Diese Fälle sind hier gesonderte Grenzen. Eine nichtpositive Basis erlaubt nicht dieselbe reelle Definition für alle x.

Lies Vorfaktor und Basis.
Prüfe die Basisbedingungen.
Berechne zuerst die Potenz.

$\mathsf{f(x+1)=b\cdot f(x)}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{f(0)}$ und $\mathsf{f(2)}$ für $\mathsf{f(x)=3\cdot2^x}$ .

Bei null ist $\mathsf{2^0=1}$ .

Multipliziere $\mathsf{3\cdot1=3}$ .

Bei zwei ist $\mathsf{2^2=4}$ .

Multipliziere $\mathsf{3\cdot4=12}$ .

Erklärung 02

Zunahme, Abnahme und negatives Vorzeichen

Für $\mathsf{a>0}$ sind alle Funktionswerte positiv. Bei $\mathsf{b>1}$ ist die Funktion streng steigend, bei $\mathsf{0<b<1}$ streng fallend. Die x-Achse ist waagerechte Asymptote; es gibt keine Nullstelle. Bei $\mathsf{a<0}$ wird der Graph an der x-Achse gespiegelt und die Monotonierichtung kehrt sich um. Die Wertemenge ist dann der negative statt des positiven Zahlenbereichs.

Prüfe das Vorzeichen von a.
Ordne b relativ zu eins ein.
Beachte die Spiegelung bei negativem a.

Für a positiv: Wertebereich $\mathsf{(0,\infty)}$ ; für a negativ: $\mathsf{(-\infty,0)}$ .

Positive Basis: Wachstum und Abnahme. Beide Grundfunktionen durchlaufen (0 | 1).

Negativer Vorfaktor: Spiegelung an der x-Achse. Vorzeichenwechsel kehrt hier die Monotonierichtung um.

So geht es am Beispiel

Beschreibe $\mathsf{g(x)=4\cdot(1/2)^x}$ .

Der Vorfaktor ist positiv.

Die Basis ein Halb liegt zwischen null und eins.

Der Graph fällt und bleibt oberhalb der x-Achse.

So geht es am Beispiel

Beschreibe $\mathsf{h(x)=-2\cdot2^x}$ .

Die positive Vergleichsfunktion $\mathsf{2\cdot2^x}$ steigt.

Das negative Vorzeichen spiegelt sie an der x-Achse.

Erklärung 03

Verschiebungen des Graphen

Bei $\mathsf{g(x)=a\cdot b^{x-h}+d}$ verschiebt h den Grundgraphen horizontal, d vertikal. Positives h bedeutet nach rechts, positives d nach oben. Die waagerechte Asymptote ist $\mathsf{y=d}$ . Der y-Achsenabschnitt ist $\mathsf{a b^{-h}+d}$ , also im Allgemeinen nicht a. Die Verschiebung kann Nullstellen erzeugen.

Lies x minus h im Exponenten.
Bestimme die neue Asymptote.
Berechne Achsenschnitte mit der vollständigen Formel.

Verschiebe Punkte von $\mathsf{(x|f(x))}$ zu $\mathsf{(x+h|f(x)+d)}$ .

Verschiebung: eine Einheit rechts, drei nach oben. Für g gilt: g(1) = 4; Asymptote y = 3.

So geht es am Beispiel

Beschreibe $\mathsf{g(x)=2^{x-1}+3}$ und berechne g(1).

Der Graph von $\mathsf{2^x}$ wird um eins nach rechts verschoben.

Danach wird er um drei nach oben verschoben.

Bei eins ist der Exponent null.

Berechne $\mathsf{1+3=4}$ .

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstelle von $\mathsf{h(x)=2^x-4}$ .

Setze $\mathsf{2^x-4=0}$ .

Addiere vier: $\mathsf{2^x=4}$ .

Da $\mathsf{4=2^2}$ gilt, folgt x gleich 2.

Erklärung 04

Umkehrfunktion und Logarithmus

Die Umkehrfunktion von $\mathsf{b^x}$ ist $\mathsf{\log_b(x)}$ für positive x. Sie kehrt die Exponentialzuordnung um. Für $\mathsf{f(x)=a b^x}$ ist $\mathsf{f^{-1}(y)=\log_b(y/a)}$ auf dem Wertebereich von f; der Quotient y/a muss positiv sein. Die Basis e führt zur natürlichen Exponentialfunktion und zum natürlichen Logarithmus ln.

Isoliere zuerst den Exponentialterm.
Prüfe den positiven Logarithmuswert.
Nutze die passende Umkehrfunktion.

$\mathsf{b^x=u}$ genau dann, wenn $\mathsf{x=\log_b(u)}$ für $\mathsf{u>0}$ .

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{3\cdot2^x=24}$ .

Teile durch drei: $\mathsf{2^x=8}$ .

Schreibe $\mathsf{8=2^3}$ .

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2^x=5}$ exakt.

Fünf ist positiv, der Logarithmus ist definiert.

Wende den Logarithmus zur Basis zwei an.

Erklärung 05

Ableitung und Stammfunktion

Für $\mathsf{f(x)=a b^x}$ gilt $\mathsf{f^{\prime}(x)=a\ln(b)b^x}$ . Eine Stammfunktion ist $\mathsf{F(x)=a b^x/\ln(b)}$ , da b ungleich eins und damit ln(b) ungleich null ist. Bei der Basis e gilt $\mathsf{\ln(e)=1}$ . Für zusätzliche lineare innere Faktoren muss die Kettenregel berücksichtigt werden; die e-Funktion vertieft diesen Fall.

Bestimme die Basis.
Multipliziere beim Ableiten mit ihrem Logarithmus.
Dividiere beim Integrieren durch diesen Logarithmus.

$\mathsf{\int a b^x\,dx=\frac{a}{\ln(b)}b^x+C}$ .

Basis b > 0, b ungleich 1. f(x) = a · bˣ. Ableitung: a · ln(b) · bˣ. Eine Stammfunktion: a · bˣ / ln(b). ln(b) ist ungleich null.. Die e-Funktion hat ln(e) = 1 als besonderen Basisfaktor.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{f(x)=5\cdot3^x}$ ab.

Der konstante Vorfaktor fünf bleibt stehen.

Die Ableitung von $\mathsf{3^x}$ ist $\mathsf{\ln(3)3^x}$ .

So geht es am Beispiel

Finde eine Stammfunktion von $\mathsf{2^x}$ .

Teile die Exponentialfunktion durch ln(2).

Beim Ableiten hebt der zusätzliche Faktor ln(2) diesen Nenner auf.

Erklärung 06

Anwendungen mit festem Zeitbezug

In einem Modell $\mathsf{B(t)=B_0q^t}$ zählt t festgelegte Perioden. Bei positivem Anfangsbestand ist q der Faktor je Periode. Der diskrete Änderungsanteil ist q minus eins. Für einen beobachteten Zeitraum kann ein Modell geeignet sein, ohne ein unbegrenzt gültiges Naturgesetz zu sein. Allgemeine Logarithmusrechnung und Wachstum vertiefen die Auswertung; hier bleibt der Schwerpunkt die Funktion.

Lege eine Periode fest.
Benenne Anfangswert und Faktor.
Interpretiere das Ergebnis im Modellzeitraum.

Zeitvariable, Bestandseinheit und Gültigkeitszeitraum ausdrücklich nennen.

So geht es am Beispiel

Ein erfundener Modellbestand von 80 Einheiten wächst in den ersten drei Tagen mit Tagesfaktor 1,25. Berechne den Bestand nach zwei Tagen.

Setze $\mathsf{B(2)=80\cdot1{,}25^2}$ .

Potenz: $\mathsf{1{,}25^2=1{,}5625}$ .

Produkt: $\mathsf{80\cdot1{,}5625=125}$ .

So geht es am Beispiel

Ein positiver Modellbestand hat Tagesfaktor 0,7. Welche tägliche Veränderung bedeutet das?

Subtrahiere $\mathsf{0{,}7-1=-0{,}3}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Exponentialfunktion · 1Für $\mathsf{f(x)=2\cdot3^x}$ : Nenne a, b und f(0).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vorfaktor a
Basis b
f null
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Vorfaktor ist zwei.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Basis ist drei.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei null gilt $\mathsf{3^0=1}$ , also f(0)=2.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vorfaktor a2
2. Basis b3
3. f null2
02
Aufgabe 2Exponentialfunktion · 1Berechne $\mathsf{f(-1)}$ und $\mathsf{f(2)}$ für $\mathsf{f(x)=4\cdot2^x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
f minus eins
f zwei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei minus eins ist $\mathsf{2^{-1}=1/2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{4\cdot1/2=2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei zwei ist $\mathsf{2^2=4}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{4\cdot4=16}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. f minus eins2
2. f zwei16
03
Aufgabe 3Exponentialfunktion · 1Beschreibe Monotonie und Wertebereich von $\mathsf{g(x)=3\cdot(1/4)^x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Monotonie
Wertebereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Vorfaktor ist positiv.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Basis liegt zwischen null und eins.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Alle Exponentialwerte bleiben positiv.
Ergebnisse & Teilantworten
1. MonotonieStreng fallend
2. Wertebereich $\mathsf{(0,\infty)}$
04
Aufgabe 4Exponentialfunktion · 2Beschreibe Monotonie und y-Achsenabschnitt von $\mathsf{h(x)=-5\cdot(1/2)^x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Monotonie
y-Achsenabschnitt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die positive Vergleichsfunktion fällt.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das negative Vorzeichen kehrt die Richtung um.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei null ist die Potenz eins.
Ergebnisse & Teilantworten
1. MonotonieStreng steigend
2. y-Achsenabschnitt(0|−5)
05
Aufgabe 5Exponentialfunktion · 2Für $\mathsf{g(x)=3^{x-2}-1}$ : Nenne horizontale und vertikale Verschiebung gegenüber $\mathsf{3^x}$ , die Asymptote und die Nullstelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Horizontale Verschiebung
Vertikale Verschiebung
Asymptote
Nullstelle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  x minus zwei verschiebt nach rechts um zwei.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Minus eins verschiebt nach unten um eins.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Asymptote ist y gleich minus eins.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Setze $\mathsf{3^{x-2}=1}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Daraus folgt $\mathsf{x-2=0}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Also ist x gleich 2.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Horizontale Verschiebung2 nach rechts
2. Vertikale Verschiebung1 nach unten
3. Asymptote $\mathsf{y=-1}$
4. Nullstellex=2
06
Aufgabe 6Exponentialfunktion · 2Löse $\mathsf{5\cdot2^x=40}$ und gib die Umkehrfunktion von $\mathsf{2^x}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösung
Umkehrfunktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile durch fünf: $\mathsf{2^x=8}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Da acht die dritte Potenz von zwei ist, gilt x gleich 3.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Umkehrfunktion ist der Logarithmus zur Basis zwei auf positiven Zahlen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Lösungx=3
2. Umkehrfunktion $\mathsf{\log_2(x)}$ für $\mathsf{x>0}$
07
Aufgabe 7Exponentialfunktion · 2Leite $\mathsf{f(x)=4\cdot5^x}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Vorfaktor vier bleibt stehen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere die Exponentialfunktion mit ln(5).
Ergebnis
1. Ableitung $\mathsf{f^{\prime}(x)=4\ln(5)5^x}$
08
Aufgabe 8Exponentialfunktion · 2Gib die allgemeine Stammfunktion von $\mathsf{3\cdot2^x}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Allgemeine Stammfunktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Basislogarithmus ist ln(2).
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dividiere den Vorfaktor durch ln(2).
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ergänze die Integrationskonstante.
Ergebnis
1. Allgemeine Stammfunktion $\mathsf{F(x)=\frac{3}{\ln(2)}2^x+C}$
09
Aufgabe 9Exponentialfunktion · 3Ein Modellbestand von 160 verliert täglich 25 %. Gib Tagesfaktor und Funktion für t in Tagen an. Berechne den Wert nach zwei Tagen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Tagesfaktor
Modellfunktion
Bestand nach zwei Tagen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Tagesfaktor: $\mathsf{1-0{,}25=0{,}75}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Funktion ist $\mathsf{B(t)=160\cdot0{,}75^t}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Potenz: $\mathsf{0{,}75^2=0{,}5625}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Produkt: $\mathsf{160\cdot0{,}5625=90}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Tagesfaktor0,75
2. Modellfunktion $\mathsf{B(t)=160\cdot0{,}75^t}$
3. Bestand nach zwei Tagen90 Bestandseinheiten

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Basis und das Vorzeichen.
Ich unterscheide Verschiebung und Spiegelung.
Ich verwende den Logarithmus als Umkehrfunktion.
Ich beachte ln(b) beim Ableiten und Integrieren.

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