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Verteilungen · Erklären & üben

Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung modelliert eine nichtnegative Wartezeit mit gleichbleibender Rate. Die verstrichene Wartezeit verändert im Modell die Verteilung der zusätzlichen Wartezeit nicht.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Rate und mittlere Wartezeit

Wir schreiben T∼Exp⁡(λ)\mathsf{T\sim\operatorname{\textsf{Exp}}(\lambda)} mit Rate λ>0\mathsf{\lambda>0}. Wird T in Minuten gemessen, hat die Rate die Einheit pro Minute. Das Modell eignet sich für Wartezeiten mit konstanter Ausfall- oder Ereignisrate; Alterung, feste Fahrpläne oder wechselnde Belastung passen im Allgemeinen nicht dazu. Der Kehrwert der Rate ist die mittlere Wartezeit. Der Mittelwert ist keine garantierte Dauer.

  1. Lege die Zeiteinheit und die Rate fest.

  2. Prüfe, ob eine konstante Rate im Kontext plausibel ist.

E(T)=1λ,Var⁡(T)=1λ2\mathsf{E(T)=\frac1\lambda,\qquad\operatorname{\textsf{Var}}(T)=\frac1{\lambda^2}}

So geht es am Beispiel

Ein Modell verwendet die Rate 0,2 pro Minute. Bestimme die mittlere Wartezeit.

E(T)=10,2=5 min\mathsf{E(T)=\frac1{0{,}2}=5\,\mathsf{min}}

Ergebnis

Die mittlere Wartezeit beträgt 5 Minuten.

Erklärung 02

Eine fallende Dichte

Die Dichte beginnt bei der Rate und fällt exponentiell ab. Für negative Zeiten ist sie null. Ihre Gesamtfläche beträgt 1; die Dichtehöhe allein ist keine Wahrscheinlichkeit. Ein einzelner Zeitpunkt hat Wahrscheinlichkeit null. Der Ausdruck im Exponenten ist ohne Einheit, weil Rate mal Zeit einheitenfrei ist.

  1. Setze die Zeit in derselben Einheit wie die Rate ein.

  2. Lies Intervalle als Flächen unter der Dichte.

f(t)={λe−λtt≥00t<0\mathsf{f(t)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda t}&t\ge0\\0&t<0\end{cases}}

Exponentialdichte bei Rate0,2 proMinute, Intervall2 bis5 schraffiert.

Erklärung 03

Bis zu einer Zeit oder länger warten?

Die Verteilungsfunktion liefert die Wahrscheinlichkeit für eine Wartezeit bis zu t. Das Gegenereignis liefert die Wahrscheinlichkeit für eine längere Wartezeit. Für ein Intervall ist die Differenz der beiden angesammelten Flächen maßgeblich. Für negative Zeiten ist die Verteilungsfunktion null.

  1. Unterscheide höchstens, länger als und zwischen zwei Zeiten.

  2. Rechne zunächst mit Exponentialausdrücken und runde erst das Ergebnis.

F(t)=1−e−λt (t≥0),P(T>t)=e−λt\mathsf{F(t)=1-e^{-\lambda t}\ (t\ge0),\qquad P(T>t)=e^{-\lambda t}}

Exponentielle CDF bei Rate0,2 proMinute; Annäherung an1.

So geht es am Beispiel

Bei Rate 0,2 pro Minute: Wie wahrscheinlich sind höchstens 3 Minuten Wartezeit?

P(T≤3)=1−e−0,2⋅3=1−e−0,6≈0,4512\mathsf{P(T\le3)=1-e^{-0{,}2\cdot3}=1-e^{-0{,}6}\approx0{,}4512}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 45,12 Prozent.

So geht es am Beispiel

Berechne bei derselben Rate die Wahrscheinlichkeit für mehr als 2 und höchstens 5 Minuten.

P(2<T≤5)=F(5)−F(2)\mathsf{P(2<T\le5)=F(5)-F(2)}
=e−0,4−e−1≈0,3024\mathsf{=e^{-0{,}4}-e^{-1}\approx0{,}3024}

Ergebnis

Die Intervallwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 30,24 Prozent.

Erklärung 04

Zusätzliche Wartezeit unter einer Bedingung

Gedächtnislosigkeit bedeutet: Wenn bereits s Zeiteinheiten ohne Ereignis vergangen sind, hat die weitere Wartezeit dieselbe Verteilung wie zu Beginn. Dies ist eine Eigenschaft des Modells, keine allgemeine Regel für alle Wartezeiten. Die bedingende Wahrscheinlichkeit ist für endliche nichtnegative Zeiten positiv. Der Chi-Quadrat-Verteilung begegnet man dagegen als begrenztem Hintergrund einer Prüfgröße im Thema Chi-Quadrat-Test; sie ist hier kein zusätzlicher Wartezeitkurs.

  1. Formuliere die Bedingung als bereits überschrittene Zeit.

  2. Berechne die zusätzlich geforderte Wartezeit, nicht die Gesamtzeit.

P(T>s+t∣T>s)=e−λ(s+t)e−λs=e−λt(s,t≥0)\mathsf{P(T>s+t\mid T>s)=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}\quad(s,t\ge0)}

So geht es am Beispiel

Bei Rate 0,2 pro Minute sind bereits 2 Minuten ohne Ereignis vergangen. Wie wahrscheinlich ist eine Gesamtwartezeit über 7 Minuten?

Zusätzlich müssen noch 5 Minuten ohne Ereignis vergehen.

P(T>7∣T>2)=P(T>5)=e−1≈0,3679\mathsf{P(T>7\mid T>2)=P(T>5)=e^{-1}\approx0{,}3679}

Ergebnis

Die bedingte Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 36,79 Prozent.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Exponentialverteilung · EinstiegEine Wartezeit ist exponentialverteilt mit Rate 0,25 pro Minute. Berechne ihre mittlere Wartezeit und gib dieselbe Rate pro Stunde an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      E(T)=10,25=4 min\mathsf{E(T)=\frac1{0{,}25}=4\,\mathsf{min}}
      λ=60⋅0,25=15 h−1\mathsf{\lambda=60\cdot0{,}25=15\,\mathsf h^{-1}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Mittlere Wartezeit in Minuten4 min\mathsf{4\,\mathsf{min}}
    2. Rate pro Stunde15 h−1\mathsf{15\,\mathsf h^{-1}}
  2. Aufgabe 2Exponentialverteilung · EinstiegBei Rate 0,25 pro Minute: Wie wahrscheinlich ist eine Wartezeit über 4 Minuten?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(T>4)=e−0,25⋅4=e−1≈0,3679\mathsf{P(T>4)=e^{-0{,}25\cdot4}=e^{-1}\approx0{,}3679}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit ungefähr0,3679\mathsf{0{,}3679}
  3. Aufgabe 3Exponentialverteilung · StandardWie wahrscheinlich sind bei derselben Rate höchstens 8 Minuten Wartezeit?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(T≤8)=1−e−2≈0,8647\mathsf{P(T\le8)=1-e^{-2}\approx0{,}8647}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit ungefähr0,8647\mathsf{0{,}8647}
  4. Aufgabe 4Exponentialverteilung · StandardBerechne bei Rate 0,25 pro Minute die Wahrscheinlichkeit für mehr als 4 und höchstens 8 Minuten Wartezeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(4<T≤8)=F(8)−F(4)=e−1−e−2≈0,2325\mathsf{P(4<T\le8)=F(8)-F(4)=e^{-1}-e^{-2}\approx0{,}2325}

    Ergebnis

    1. Intervallwahrscheinlichkeit ungefähr0,2325\mathsf{0{,}2325}
  5. Aufgabe 5Exponentialverteilung · TransferZeichne die Dichte bei Rate 0,25 pro Minute in die Achsen. Nutze die Stützwerte bei 0,4 und 8 Minuten:0,25; ungefähr 0,092 und 0,034 pro Minute. Schraffiere die Fläche von 0 bis 4 Minuten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Dichte mit Schraffur

    Zeit- und Dichteachsen für Rate0,25 proMinute.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Dichte startet bei 0,25 und fällt gekrümmt gegen null. Die drei Stützpunkte werden glatt verbunden; die Kurve fällt nicht unter die Zeitachse.

      P(0≤T≤4)=1−e−1≈0,6321\mathsf{P(0\le T\le4)=1-e^{-1}\approx0{,}6321}

    Ergebnis

    1. Dichte mit SchraffurExponentiell fallende Dichte, schraffierte Fläche 0–4.
  6. Aufgabe 6Exponentialverteilung · TransferBei Rate 0,25 pro Minute sind 6 Minuten ohne Ereignis vergangen. Wie wahrscheinlich sind noch mindestens 4 weitere Minuten ohne Ereignis?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Gesucht ist eine Gesamtzeit von mindestens 10 Minuten unter der Bedingung, dass 6 Minuten bereits überschritten wurden. Einzelne Randpunkte ändern beim stetigen Modell nichts.

      P(T≥10∣T>6)=P(T≥4)=e−1≈0,3679\mathsf{P(T\ge10\mid T>6)=P(T\ge4)=e^{-1}\approx0{,}3679}

    Ergebnis

    1. Bedingte Wahrscheinlichkeit ungefähr0,3679\mathsf{0{,}3679}
  7. Aufgabe 7Exponentialverteilung · TransferBestimme bei Rate 0,25 pro Minute die Zeit m, bis zu der mit Wahrscheinlichkeit 0,5 ein Ereignis eingetreten ist. Vergleiche sie mit der mittleren Wartezeit 4 Minuten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      1−e−0,25m=0,5\mathsf{1-e^{-0{,}25m}=0{,}5}
      m=ln⁡20,25≈2,773 min\mathsf{m=\frac{\ln2}{0{,}25}\approx2{,}773\,\mathsf{min}}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Median ist kleiner als der Mittelwert. Lange Wartezeiten ziehen den Mittelwert nach rechts.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Median in Minuten ungefähr2,773 min\mathsf{2{,}773\,\mathsf{min}}
    2. VergleichMedian kleiner als Mittelwert 4 Minuten.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich benenne Modell, Parameter und Einheiten.
  • Ich bestimme Wahrscheinlichkeiten als Flächen oder CDF-Differenzen.
  • Ich unterscheide Dichtehöhe, Punktwahrscheinlichkeit und Intervallwahrscheinlichkeit.

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