Verteilungen · Erklären & üben

Standardnormalverteilung

Die Standardnormalverteilung macht verschiedene Normalmodelle vergleichbar. Du übersetzt Grenzen in z-Werte und nutzt eine Tabelle für linke Flächen, rechte Ränder, Intervalle und Quantile.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine Normalverteilung ohne Einheit

Für $\mathsf{Z\sim N(0,1)}$ ist der Erwartungswert 0 und die Varianz 1. Deshalb beträgt auch die Standardabweichung 1. Hier bezeichnet der zweite Parameter die Varianz. Die Dichte ist symmetrisch um null; die Gesamtfläche beträgt 1. Der z-Wert sagt, wie viele Standardabweichungen eine Grenze oberhalb oder unterhalb der ursprünglichen Mitte liegt.

Deute das Vorzeichen und die Entfernung von null.
Unterscheide die Dichte $\mathsf{\varphi}$ von der Verteilungsfunktion $\mathsf{\Phi}$ .

$\mathsf{\varphi(z)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2},\qquad\Phi(z)=P(Z\le z)}$

Standardnormaldichte mit schraffiertem Intervall−1 bis1,5.

Erklärung 02

Eine Grenze standardisieren

Vorausgesetzt ist ein Normalmodell mit bekanntem Erwartungswert und positiver Standardabweichung. Prüfe zuerst Einheit und Parameterschreibweise. Ziehe von der Grenze den Mittelwert ab und teile durch die Standardabweichung. Diese ist positiv; die Richtung einer Ungleichung bleibt deshalb erhalten. Standardisieren macht beliebige Daten nicht automatisch normalverteilt.

Prüfe Modell, Einheit und Standardabweichung.
Berechne z und formuliere dasselbe Ereignis für Z.
Lies die Tabelle und beantworte die ursprüngliche Frage.

$\mathsf{Z=\frac{X-\mu}{\sigma},\qquad z=\frac{x-\mu}{\sigma}}$

So geht es am Beispiel

Eine Zeit X in Sekunden sei $\mathsf{N(70,64)}$ -verteilt. Wie wahrscheinlich sind höchstens 82 Sekunden?

\mathsf{\sigma=\sqrt{64}=8\,\mathsf s}

\mathsf{z=\frac{82-70}{8}=1{,}5}

\mathsf{P(X\le82)=\Phi(1{,}5)\approx0{,}9332}

Im angenommenen Zeitmodell dauern ungefähr 93,32 Prozent der Vorgänge höchstens 82 Sekunden.

Erklärung 03

Linke Fläche, Gegenereignis und Differenz

Die Tabelle enthält linke Flächen. Negative z-Werte folgen aus der Symmetrie. Für Werte oberhalb einer Grenze ergänze auf 1. Für ein Intervall ziehe die linke Grenzfläche von der rechten ab. Die CDF wächst stets; die Dichte fällt rechts von null wieder ab. Beides sind unterschiedliche Funktionen.

Erkenne zuerst die Form des Ereignisses.
Nutze die gerundeten Tabellenwerte konsistent.

$\mathsf{\Phi(-z)=1-\Phi(z),\quad P(Z>z)=1-\Phi(z),\quad P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)}$

Standardnormal-CDF Phi mit Wert0,5 bei null.

Gerundete linke Standardnormalflächen und Hinweis für negativez.

So geht es am Beispiel

Bestimme $\mathsf{P(-1\le Z\le1{,}5)}$ .

\mathsf{\Phi(-1)\approx1-0{,}8413=0{,}1587}

\mathsf{P(-1\le Z\le1{,}5)\approx0{,}9332-0{,}1587=0{,}7745}

Erklärung 04

Von einer Fläche zurück zur Grenze

Ein p-Quantil ist eine Grenze, unter der die Wahrscheinlichkeit p liegt. Suche zuerst den passenden z-Wert in der Tabelle und transformiere dann zurück. Die Standardnormalverteilung hat das 0,5-Quantil 0 und ungefähr das 0,975-Quantil 1,96. Deshalb liegt ungefähr 95 Prozent der Fläche zwischen−1,96 und 1,96. Das allgemeine Normalmodell und seine Grenzen behandelt das Thema Normalverteilung.

Beachte, dass p die linke Fläche bezeichnet.
Transformiere den gefundenen z-Wert in die ursprüngliche Einheit zurück.

$\mathsf{x_p=\mu+\sigma z_p,\qquad\Phi(z_p)=p}$

So geht es am Beispiel

Finde im Zeitmodell $\mathsf{N(70,64)}$ eine Grenze, die ungefähr 97,5 Prozent der Zeiten unterschreiten.

\mathsf{z_{0{,}975}\approx1{,}96}

\mathsf{x=70+8\cdot1{,}96=85{,}68\,\mathsf s}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Standardnormalverteilung · EinstiegNenne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von $\mathsf{Z\sim N(0,1)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartungswert
Varianz
Standardabweichung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{E(Z)=0}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(Z)=1}$
  $\mathsf{\sigma_Z=\sqrt1=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erwartungswert $\mathsf{0}$
2. Varianz $\mathsf{1}$
3. Standardabweichung $\mathsf{1}$
02
Aufgabe 2Standardnormalverteilung · EinstiegEine Zeit sei $\mathsf{N(70,64)}$ -verteilt. Standardisiere die Grenze 54 Sekunden und deute das Vorzeichen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
z-Wert
Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sigma=8,\qquad z=\frac{54-70}{8}=-2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Grenze liegt zwei Standardabweichungen unter dem Mittelwert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. z-Wert $\mathsf{-2}$
2. DeutungZwei Standardabweichungen unter dem Mittelwert.
03
Aufgabe 3Standardnormalverteilung · StandardBerechne $\mathsf{\Phi(-1{,}5)}$ mithilfe der Tabelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linke Fläche ungefähr
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)\approx1-0{,}9332=0{,}0668}$
Ergebnis
1. Linke Fläche ungefähr $\mathsf{0{,}0668}$
04
Aufgabe 4Standardnormalverteilung · StandardWie groß ist $\mathsf{P(Z>1)}$ ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechter Rand ungefähr
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P(Z>1)=1-\Phi(1)\approx1-0{,}8413=0{,}1587}$
Ergebnis
1. Rechter Rand ungefähr $\mathsf{0{,}1587}$
05
Aufgabe 5Standardnormalverteilung · TransferBerechne $\mathsf{P(-1\le Z\le2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Intervallwahrscheinlichkeit ungefähr
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Phi(-1)\approx0{,}1587}$
  $\mathsf{P(-1\le Z\le2)\approx0{,}9772-0{,}1587=0{,}8185}$
Ergebnis
1. Intervallwahrscheinlichkeit ungefähr $\mathsf{0{,}8185}$
06
Aufgabe 6Standardnormalverteilung · TransferSkizziere die Standardnormaldichte in die Achsen. Ihr Maximum bei null ist ungefähr 0,399. Schraffiere den sichtbaren Teil der linken Fläche bis zur Grenze 1 und kennzeichne, dass der Bereich nach links unbeschränkt weitergeht.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Glocke mit linker Fläche
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Glocke mit linker Fläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Glocke ist symmetrisch um null. Schraffiert wird unter der Kurve links von 1; die linke Begrenzung des Achsenausschnitts ist keine Verteilungsgrenze.
  $\mathsf{P(Z\le1)=\Phi(1)\approx0{,}8413}$
Ergebnis
1. Glocke mit linker FlächeSymmetrische Glocke; linke Fläche bis 1 einschließlich Hinweis auf Fortsetzung.
07
Aufgabe 7Standardnormalverteilung · TransferEine Länge X in Millimetern folgt $\mathsf{N(200,100)}$ . Bestimme die Grenze, unter der ungefähr 97,5 Prozent der Längen liegen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
97,5-Prozent-Quantil ungefähr
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sigma=\sqrt{100}=10\,\mathsf{mm}}$
  $\mathsf{x=200+10\cdot1{,}96=219{,}6\,\mathsf{mm}}$
Ergebnis
1. 97,5-Prozent-Quantil ungefähr $\mathsf{219{,}6\,\mathsf{mm}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich benenne Modell, Parameter und Einheiten.
Ich bestimme Wahrscheinlichkeiten als Flächen oder CDF-Differenzen.
Ich unterscheide Dichtehöhe, Punktwahrscheinlichkeit und Intervallwahrscheinlichkeit.

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