Wachstumsmodelle · Erklären & üben

Exponentielles Wachstum

Bei exponentiellem Wachstum wird ein positiver Anfangswert in gleichen Zeitabständen immer mit demselben positiven Faktor multipliziert. Bei einem Faktor unter eins beschreibt das Modell eine Abnahme.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleiche Schritte, gleicher Faktor

Für gleiche Zeitabstände ist das Verhältnis aufeinanderfolgender Werte konstant. Der Faktor q ist positiv. Für $\mathsf{q>1}$ wächst der Bestand, für $\mathsf{0<q<1}$ nimmt er ab und für $\mathsf{q=1}$ bleibt er gleich. Eine endliche Messreihe kann dieses Modell stützen, aber nicht seine unbegrenzte Gültigkeit beweisen.

Prüfe gleiche Zeitabstände.
Berechne die Quotienten.
Benenne den Zeitraum des Faktors.

$\mathsf{B_{n+1}/B_n=q}$ bei positiven Beständen.

So geht es am Beispiel

Ein erfundener Modellbestand hat nach jeweils einer Stunde die Werte 20, 30 und 45. Bestimme den Faktor.

Erster Quotient: $\mathsf{30:20=1{,}5}$ .

Zweiter Quotient: $\mathsf{45:30=1{,}5}$ .

Erklärung 02

Explizite und rekursive Darstellung

Wir starten bei $\mathsf{n=0}$ mit $\mathsf{B_0>0}$ . Die explizite Darstellung berechnet einen Wert direkt. Die Rekursion berechnet ihn aus dem Vorgänger. n zählt ganze Perioden. Ein Modell für eine Zellkultur ist nur für einen begrenzten Beobachtungszeitraum sinnvoll; Ressourcen sind nicht unbegrenzt.

Lege Anfangsindex und Periode fest.
Verwende direkt die Potenz oder schrittweise den Vorgänger.
Behalte die Modellgrenze bei.

$\mathsf{B_n=B_0q^n}$ und $\mathsf{B_{n+1}=qB_n}$ mit demselben Anfangswert.

Diskret: Bₙ = 40 · 1,5ⁿ. Nur volle Stunden: 40; 60; 90; 135; 202,5. Achsen: n: volle Stunden seit Beginn; Bestandseinheiten

So geht es am Beispiel

Eine erfundene Zellkultur wird in einem vereinfachten Modell während der ersten vier Stunden mit 40 Einheiten und Faktor 1,5 je Stunde beschrieben. Bestimme den Modellwert nach drei Stunden.

Setze $\mathsf{B_3=40\cdot1{,}5^3}$ .

Berechne $\mathsf{1{,}5^3=3{,}375}$ .

Multipliziere $\mathsf{40\cdot3{,}375=135}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne bei Anfangswert 40 und Faktor 1,5 die ersten beiden Folgeschritte rekursiv.

Erster Schritt: $\mathsf{B_1=40\cdot1{,}5=60}$ .

Zweiter Schritt: $\mathsf{B_2=60\cdot1{,}5=90}$ .

Erklärung 03

Prozentänderung und Zinseszinsmodell

Die relative Änderung je Periode ist $\mathsf{r=q-1}$ . Die Prozentangabe lautet $\mathsf{100r\,\%}$ . Im vereinfachten Zinseszinsmodell bleibt der jährliche Satz konstant und Zinsen bleiben im Guthaben; Steuern, Gebühren, Ein- und Auszahlungen werden nicht modelliert. Die Beispiele sind keine realen Angebote.

Übersetze den Prozentsatz in einen Faktor.
Benenne die Zins- oder Wachstumsperiode.
Multipliziere die Periodenfaktoren.

$\mathsf{q=1+p/100}$ bei p Prozent Zunahme je Periode.

Modell: 4 % pro Jahr, Zinsen bleiben im Guthaben. Start: 500 Euro. Jahresfaktor 1,04. Nach einem Jahr: 500 · 1,04 = 520 Euro. Erneute Verzinsung des gesamten Guthabens. Nach zwei Jahren: 520 · 1,04 = 540,80 Euro. Keine Gebühren, Steuern oder Geldbewegungen im Modell.. Der absolute Zuwachs ist nicht in jedem Jahr gleich.

So geht es am Beispiel

Ein Modellguthaben startet mit 500 Euro und wächst jährlich um 4 %. Berechne den Wert nach zwei Jahren.

Jahresfaktor: $\mathsf{1+0{,}04=1{,}04}$ .

Zweijahresfaktor: $\mathsf{1{,}04^2=1{,}0816}$ .

Guthaben: $\mathsf{500\cdot1{,}0816=540{,}80}$ .

So geht es am Beispiel

Welche relative Änderung gehört zu q gleich 1,08 pro Tag?

Subtrahiere $\mathsf{1{,}08-1=0{,}08}$ .

Erklärung 04

Stetige Erweiterung und Änderungsrate

Für eine stetige Modellzeit t in Stunden kann $\mathsf{B(t)=B_0e^{kt}}$ verwendet werden. Dann hat k die Einheit pro Stunde. Zum Stundenfaktor q gehört $\mathsf{k=\ln(q)}$ pro Stunde. Allgemein gilt $\mathsf{q=e^{k\Delta t}}$ für die Periodendauer $\mathsf{\Delta t}$ . Die momentane Änderung ist $\mathsf{B^{\prime}(t)=kB(t)}$ . Sie hat die Einheit Bestand pro Stunde. Die diskrete relative Stundenänderung $\mathsf{q-1}$ ist im Allgemeinen nicht gleich k.

Unterscheide diskrete Beobachtung und stetiges Modell.
Verbinde Faktor und Rate über die Periodendauer.
Nenne die Einheit der Ableitung.

Diskreter Faktor q und stetige Rate k sind verschiedene Parameter.

Stetig: B(t) = 10 · 2ᵗ. Stundenfaktor 2; stetige Rate ln(2) pro Stunde. Achsen: t: Stunden seit Beginn; Bestandseinheiten

So geht es am Beispiel

Ein stetiger Bestand verdoppelt sich stündlich. Schreibe Funktion und momentane Änderung bei t gleich null für Anfangswert 10.

Der Stundenfaktor ist 2.

Die stetige Rate ist $\mathsf{k=\ln(2)}$ pro Stunde.

Die Funktion ist $\mathsf{B(t)=10e^{\ln(2)t}}$ .

Bei null ist die Ableitung $\mathsf{B^{\prime}(0)=10\ln(2)}$ .

Erklärung 05

Exponentielle Abnahme und Modellgrenzen

Bei $\mathsf{0<q<1}$ bleibt ein positiver Modellbestand nach endlich vielen Perioden positiv und nähert sich null. Ein Verlust von 100 % entspricht dagegen Faktor null und gehört nicht zu dieser positiven Exponentialfunktion. Beschränktes Wachstum verwendet eine andere Modellannahme mit Sättigungsgrenze; exponentielles Wachstum hat für q größer als eins keine endliche obere Grenze.

Bestimme den Abnahmefaktor.
Unterscheide Annäherung an null und vollständigen Verlust.
Wähle eine sinnvolle zeitliche Modellgrenze.

$\mathsf{q=1-p/100}$ bei einer Abnahme um p Prozent mit $\mathsf{0<p<100}$ .

Diskret: Bₙ = 200 · 0,8ⁿ. Positiver Faktor 0,8: Annäherung an null, kein Verlust auf null. Achsen: n: volle Tage seit Beginn; Bestandseinheiten

So geht es am Beispiel

Ein erfundener Modellbestand von 200 nimmt pro Tag um 20 % ab. Bestimme den Wert nach drei Tagen.

Tagesfaktor: $\mathsf{1-0{,}20=0{,}80}$ .

Dreitagefaktor: $\mathsf{0{,}80^3=0{,}512}$ .

Bestand: $\mathsf{200\cdot0{,}512=102{,}4}$ .

So geht es am Beispiel

Was geschieht bei 100 % Verlust in einem einzelnen Schritt?

Der Schritt hat Faktor $\mathsf{1-1=0}$ .

Jeder positive Ausgangswert wird dadurch null.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Exponentielles Wachstum · 1In gleichen Tagesabständen werden 50, 60 und 72 gemessen. Berechne beide Quotienten und den passenden Tagesfaktor.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Quotient
Zweiter Quotient
Tagesfaktor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Quotient: $\mathsf{60:50=1{,}2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweiter Quotient: $\mathsf{72:60=1{,}2}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Quotient1,2
2. Zweiter Quotient1,2
3. Tagesfaktor1,2
02
Aufgabe 2Exponentielles Wachstum · 1Ein Modell startet bei 30 und wächst pro Stunde um 10 %. Gib Stundenfaktor und explizite Formel für ganze Stunden n ab null an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Stundenfaktor
Explizite Formel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1+0{,}10=1{,}10}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Setze Anfangswert und Faktor in die Potenzform ein.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Stundenfaktor1,1
2. Explizite Formel $\mathsf{B_n=30\cdot1{,}1^n}$
03
Aufgabe 3Exponentielles Wachstum · 1Bei B null gleich 16 und Tagesfaktor 1,5: Berechne B eins und B zwei rekursiv.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nach einem Tag
Nach zwei Tagen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Tag: $\mathsf{16\cdot1{,}5=24}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweiter Tag: $\mathsf{24\cdot1{,}5=36}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Nach einem Tag24
2. Nach zwei Tagen36
04
Aufgabe 4Exponentielles Wachstum · 2Eine Tabelle für gleiche Stundenabstände enthält 10, 20, 30. Passt ein konstanter Exponentialfaktor? Berechne beide Quotienten und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Quotient
Zweiter Quotient
Konstanter Faktor?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Quotient: $\mathsf{20:10=2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweiter Quotient: $\mathsf{30:20=1{,}5}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Quotient2
2. Zweiter Quotient1,5
3. Konstanter Faktor?Nein
4. BegründungDie Quotienten sind verschieden. Die gleichen Differenzen passen hier stattdessen zu einem linearen Modell.
05
Aufgabe 5Exponentielles Wachstum · 2Berechne den Wert von 80 mal 1,25 hoch n nach zwei gleich langen Perioden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Modellwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze $\mathsf{n=2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Potenz: $\mathsf{1{,}25^2=1{,}5625}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Produkt: $\mathsf{80\cdot1{,}5625=125}$ .
Ergebnis
1. Modellwert125
06
Aufgabe 6Exponentielles Wachstum · 2Ein Modellguthaben von 1000 Euro wächst ohne weitere Geldbewegungen jährlich um 3 %. Bestimme den Wert nach zwei Jahren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Guthaben
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Jahresfaktor: $\mathsf{1+0{,}03=1{,}03}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Potenz: $\mathsf{1{,}03^2=1{,}0609}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Produkt: $\mathsf{1000\cdot1{,}0609=1060{,}90}$ .
Ergebnis
1. Guthaben1060,90 Euro
07
Aufgabe 7Exponentielles Wachstum · 2Ein Bestand von 300 verliert pro Tag 10 %. Berechne Tagesfaktor und Bestand nach zwei Tagen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Tagesfaktor
Bestand nach zwei Tagen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1-0{,}10=0{,}90}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Potenz: $\mathsf{0{,}90^2=0{,}81}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Produkt: $\mathsf{300\cdot0{,}81=243}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Tagesfaktor0,9
2. Bestand nach zwei Tagen243
08
Aufgabe 8Exponentielles Wachstum · 3Ein stetiges Modell lautet $\mathsf{B(t)=12e^{\ln(2)t}}$ mit t in Stunden. Nenne Anfangswert, Stundenfaktor und exakte momentane Änderung bei null mit Einheit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anfangswert
Stundenfaktor
Momentane Anfangsänderung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei null ist der Exponentialfaktor eins.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nach einer Stunde ist der Faktor $\mathsf{e^{\ln(2)}=2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Ableitung bei null ist $\mathsf{12\ln(2)}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anfangswert12 Bestandseinheiten
2. Stundenfaktor2
3. Momentane Anfangsänderung $\mathsf{12\ln(2)}$ Bestandseinheiten pro Stunde
09
Aufgabe 9Exponentielles Wachstum · 3Ein positiver Bestand verliert in einem Schritt 100 %. Nenne Endwert und Faktor. Ist der ursprüngliche Bestand aus diesem Endwert eindeutig bestimmbar? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Endwert
Faktor
Eindeutig rückrechenbar?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1-1=0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jeder positive Wert mal null ergibt null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Endwert0
2. Faktor0
3. Eindeutig rückrechenbar?Nein
4. BegründungVerschiedene Anfangswerte führen zum selben Endwert null. Durch null kann nicht zurückdividiert werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe gleiche Perioden.
Ich unterscheide Faktor und absolute Änderung.
Ich halte Anfangsindex und Zeiteinheit fest.
Ich trenne diskretes und stetiges Modell.

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