Wachstumsmodelle · Erklären & üben

Logistisches Wachstum

Logistisches Wachstum beschreibt einen positiven Bestand, dessen Zunahme durch eine Sättigungsgrenze gebremst wird. Ein stetiges Modell und eine diskrete Rekursion sind dabei verschiedene Modelle.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Sättigung und Anfangswert

Wir betrachten das stetige Modell $\mathsf{B(t)=S/(1+ce^{-kt})}$ für $\mathsf{t\ge0}$ , $\mathsf{S>0}$ , $\mathsf{k>0}$ und $\mathsf{0<B_0<S}$ . Dann ist $\mathsf{c=S/B_0-1>0}$ . S ist die Sättigungsgrenze und B null der Anfangswert. Der Bestand wächst von unten gegen S und erreicht S nicht zu einer endlichen Modellzeit. Die Zeit- und Bestandseinheiten müssen festgelegt sein.

Lege Zeit- und Bestandseinheit fest.
Prüfe Anfangswert zwischen null und S.
Bestimme c aus Anfangswert und Grenze.

$\mathsf{B(0)=S/(1+c)=B_0}$ .

So geht es am Beispiel

Es gelten S gleich 120 Bestandseinheiten und B null gleich 30. Bestimme c.

Teile $\mathsf{120:30=4}$ .

Subtrahiere $\mathsf{4-1=3}$ .

Erklärung 02

Werte einer stetigen Funktion

Als eigenes Modell für die während sechs Tagen verfügbare Ausbreitung einer Kultur verwenden wir $\mathsf{B(t)=120/(1+3\cdot2^{-t})}$ . Der Bestand wird in Modell-Flächeneinheiten angegeben. Hier gilt $\mathsf{k=\ln(2)}$ pro Tag. Das ist eine Modellannahme, keine Messreihe oder Prognose für eine konkrete Art.

Setze die Zeit ein.
Berechne Potenz und Nenner.
Runde nur das verlangte Ergebnis.

$\mathsf{B(t)=\frac{120}{1+3\cdot2^{-t}}}$ , t in Tagen.

Stetiges Modell: B(t) = 120 / (1 + 3 · 2⁻ᵗ). Start 30; Sättigungsgrenze 120 wird nicht endlich erreicht. Achsen: t: Tage seit Beginn; Modell-Flächeneinheiten

So geht es am Beispiel

Berechne den Modellwert nach einem Tag.

Potenz: $\mathsf{2^{-1}=0{,}5}$ .

Produkt im Nenner: $\mathsf{3\cdot0{,}5=1{,}5}$ .

Nenner: $\mathsf{1+1{,}5=2{,}5}$ .

Quotient: $\mathsf{120:2{,}5=48}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne den Modellwert nach zwei Tagen und runde auf zwei Dezimalstellen.

Potenz: $\mathsf{2^{-2}=0{,}25}$ .

Produkt: $\mathsf{3\cdot0{,}25=0{,}75}$ .

Nenner: $\mathsf{1+0{,}75=1{,}75}$ .

Quotient: $\mathsf{120:1{,}75=480/7}$ .

Gerundet: $\mathsf{480/7\approx68{,}57}$ .

Erklärung 03

Zunahme und Wendepunkt

Das stetige Modell erfüllt $\mathsf{B^{\prime}(t)=kB(t)(1-B(t)/S)}$ . Die Zunahme ist für Bestände zwischen null und S positiv. Als Funktion des Bestands ist sie bei $\mathsf{B=S/2}$ am größten. Ein Wendepunkt liegt dort, wenn die betrachtete Zeitspanne diesen Bestand enthält. Bei $\mathsf{B_0<S/2}$ liegt er bei positiver Zeit, bei $\mathsf{B_0=S/2}$ am Anfang. Bei $\mathsf{B_0>S/2}$ ist der Bestand im Zeitbereich ab null bereits oberhalb des Wendebestands.

Halbiere die Sättigungsgrenze.
Prüfe den Anfangswert relativ zu S halbe.
Prüfe, ob die Wendezeit im Modellintervall liegt.

$\mathsf{t_W=\ln(c)/k}$ ; nur innerhalb des gewählten Zeitbereichs als Wendepunkt sichtbar.

Wende nur innerhalb des betrachteten Zeitraums. Bei B = S/2 = 60 ist die momentane Zunahme am größten. Achsen: t: Tage seit Beginn; Modell-Flächeneinheiten

So geht es am Beispiel

Bestimme den Wendebestand für S gleich 120.

Halbiere $\mathsf{120:2=60}$ .

So geht es am Beispiel

Für S gleich 120, c gleich 3 und k gleich ln 2: Bestimme die Wendezeit.

Setze $\mathsf{t_W=\ln(3)/\ln(2)}$ .

Das ergibt näherungsweise 1,585 Tage.

Erklärung 04

Diskrete logistische Rekursion

Ein eigenes diskretes Modell mit einem Tag je Schritt lautet $\mathsf{B_{n+1}=B_n+rB_n(1-B_n/S)}$ . Wir verwenden $\mathsf{0<r\le1}$ und $\mathsf{0<B_0<S}$ ; damit bleiben die folgenden Bestände unter S und wachsen. Der Parameter r gehört zu diesem Zeitschritt. Diese Rekursion liefert im Allgemeinen nicht exakt die Tageswerte der stetigen Funktion. Die Gleichsetzung von r und k macht die Modelle nicht identisch.

Benenne die Schrittdauer.
Berechne den Zuwachs aus dem alten Bestand.
Addiere den Zuwachs erst danach.

Diskrete Rekursion und stetige Funktion getrennt berechnen.

Diskret: Bₙ₊₁ = Bₙ + 0,5 Bₙ (1 − Bₙ/100). Erste Werte: 20; 28; 38,08. Eigenes diskretes Modell. Achsen: n: volle Tage seit Beginn; Bestandseinheiten

So geht es am Beispiel

Ein diskretes Modell hat S gleich 100, r gleich 0,5 und B null gleich 20. Berechne B eins.

Restanteil: $\mathsf{1-20/100=0{,}8}$ .

Zuwachs: $\mathsf{0{,}5\cdot20\cdot0{,}8=8}$ .

Neuer Bestand: $\mathsf{20+8=28}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne den zweiten Tag desselben diskreten Modells.

Restanteil: $\mathsf{1-28/100=0{,}72}$ .

Zuwachs: $\mathsf{0{,}5\cdot28\cdot0{,}72=10{,}08}$ .

Neuer Bestand: $\mathsf{28+10{,}08=38{,}08}$ .

Erklärung 05

Funktion bestimmen und Modelle abgrenzen

Aus S und B null folgt c. Ein zusätzlicher positiver Zeitpunkt mit passendem Zwischenbestand kann k bestimmen. Die Darstellungen als Formel, Tabelle und Graph müssen dasselbe Modell und dieselben Einheiten verwenden. Ein begrenztes Modell bleibt eine Annahme; allgemeine Wachstumsprozesse umfassen auch lineare, exponentielle und andere Verläufe. Chaotische diskrete Modelle werden hier nicht behandelt.

Bestimme c aus dem Anfangswert.
Nutze den zusätzlichen Modellwert für k.
Nenne Gültigkeitsbereich und Einheiten.

Positive Parameter und sinnvoller Zeitbereich sind Teil der Modellangabe.

S = 90, B(0) = 30, B(1) = 45. c = 90 : 30 − 1 = 2. Anfangswert legt c fest.. 1 + 2 e⁻ᵏ = 2. Der Wert bei einem Tag legt den Nenner fest.. e⁻ᵏ = 1/2; k = ln(2) pro Tag. Die Funktion lautet 90 / (1 + 2 e⁻ᵏᵗ).. S, Anfangswert, Zeit und Rate gemeinsam angeben.

So geht es am Beispiel

Ein stetiges Modell hat S gleich 90, B null gleich 30 und B eins gleich 45, Zeit in Tagen. Bestimme c und k.

Anfangsparameter: $\mathsf{90/30-1=2}$ .

Die Bedingung bei eins lautet $\mathsf{45=90/(1+2e^{-k})}$ .

Der Nenner muss $\mathsf{90:45=2}$ sein.

Daraus folgt $\mathsf{2e^{-k}=1}$ .

Also gilt $\mathsf{e^{-k}=1/2}$ .

Logarithmieren liefert $\mathsf{k=\ln(2)}$ pro Tag.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Logistisches Wachstum · 1Es gelten S gleich 200 und B null gleich 50. Bestimme c im stetigen logistischen Modell.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameter c
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile $\mathsf{200:50=4}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Subtrahiere $\mathsf{4-1=3}$ .
Ergebnis
1. Parameter c3
02
Aufgabe 2Logistisches Wachstum · 1Berechne $\mathsf{B(0)}$ für $\mathsf{B(t)=80/(1+3\cdot2^{-t})}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anfangswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei null ist $\mathsf{2^0=1}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner ist $\mathsf{1+3=4}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Teile $\mathsf{80:4=20}$ .
Ergebnis
1. Anfangswert20
03
Aufgabe 3Logistisches Wachstum · 2Berechne $\mathsf{B(1)}$ für $\mathsf{B(t)=80/(1+3\cdot2^{-t})}$ , Zeit in Tagen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bestand nach einem Tag
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Potenz ist 0,5.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner ist $\mathsf{1+3\cdot0{,}5=2{,}5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Teile $\mathsf{80:2{,}5=32}$ .
Ergebnis
1. Bestand nach einem Tag32
04
Aufgabe 4Logistisches Wachstum · 2Ein stetiges logistisches Modell hat S gleich 80 und B null gleich 20. Nenne Sättigungsgrenze und Wendebestand. Liegt die Wende bei positiver Zeit, wenn k positiv ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sättigungsgrenze
Wendebestand
Wende bei positiver Zeit?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Grenze ist S.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Wendebestand ist $\mathsf{80:2=40}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Anfangswert 20 liegt unter 40.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Sättigungsgrenze80
2. Wendebestand40
3. Wende bei positiver Zeit?Ja
05
Aufgabe 5Logistisches Wachstum · 3Ein stetiges logistisches Modell hat S gleich 100 und B null gleich 70. Liegt sein Wendepunkt im Zeitbereich t größer oder gleich null? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wendepunkt ab null?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Wendebestand ist $\mathsf{100:2=50}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Anfangswert 70 liegt bereits über 50.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Modell wächst weiter, erreicht 50 also im zukünftigen Zeitbereich nicht.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wendepunkt ab null?Nein
2. BegründungDer Bestand startet oberhalb der halben Sättigungsgrenze. Die Wende liegt vor dem Modellbeginn.
06
Aufgabe 6Logistisches Wachstum · 2Diskretes Tagesmodell: S gleich 100, r gleich 0,4 und B null gleich 25. Berechne ersten Zuwachs und B eins.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Zuwachs
B eins
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Restanteil: $\mathsf{1-25/100=0{,}75}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zuwachs: $\mathsf{0{,}4\cdot25\cdot0{,}75=7{,}5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Neuer Bestand: $\mathsf{25+7{,}5=32{,}5}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Zuwachs7,5
2. B eins32,5
07
Aufgabe 7Logistisches Wachstum · 3Darf man die Tageswerte einer diskreten logistischen Rekursion ohne Weiteres mit denen einer stetigen logistischen Funktion gleichsetzen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ohne Weiteres gleichsetzen?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Rekursion berechnet einen endlichen Zuwachs aus dem alten Bestand.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Im stetigen Modell ändert sich die Änderungsrate während der Zeit fortlaufend.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ohne Weiteres gleichsetzen?Nein
2. BegründungDie Modelle verwenden verschiedene Zeitbeschreibungen. Ihre Parameter und Werte sind nicht automatisch identisch.
08
Aufgabe 8Logistisches Wachstum · 3Bestimme ein stetiges logistisches Modell mit S gleich 60, B null gleich 20 und B eins gleich 30. Zeit in Tagen. Gib c, k und die Funktion an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameter c
Parameter k
Funktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{60/20-1=2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei eins muss der Nenner $\mathsf{60:30=2}$ sein.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es folgt $\mathsf{2e^{-k}=1}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Also gilt $\mathsf{e^{-k}=1/2}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Daraus folgt $\mathsf{k=\ln(2)}$ pro Tag.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Parameter c2
2. Parameter k $\mathsf{\ln(2)}$ pro Tag
3. Funktion $\mathsf{B(t)=60/(1+2e^{-\ln(2)t})}$
09
Aufgabe 9Logistisches Wachstum · 3Gilt die hier behandelte Parameterform mit c positiv für B null gleich S? Entscheide und berechne c. Welche konstante Lösung entsteht bei c gleich null?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
c positiv erfüllt?
Wert von c
Konstante Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze $\mathsf{c=S/S-1=0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner wird eins.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Damit ist der Bestand zu jeder Zeit S.
Ergebnisse & Teilantworten
1. c positiv erfüllt?Nein
2. Wert von c0
3. Konstante Lösung $\mathsf{B(t)=S}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich nenne Sättigung und Anfangswert.
Ich prüfe die Parameterbedingungen.
Ich behaupte eine Wende nur im passenden Zeitbereich.
Ich unterscheide diskrete und stetige Modelle.

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