Polynome · Erklären & üben

Faktorisieren

Faktorisieren bedeutet, eine Summe als Produkt zu schreiben. Suche zuerst gemeinsame Faktoren, dann passende Gruppen oder binomische Muster. Die Produktprobe kontrolliert das Ergebnis.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gemeinsamen Faktor ausklammern

Ein ausgeklammerter Faktor muss in jedem Summanden enthalten sein. Teile jeden Summanden durch diesen Faktor; die Ergebnisse kommen in die Klammer.

Prüfe Zahlenfaktoren, Variablenpotenzen und Vorzeichen. Beim Ausklammern einer negativen Zahl ändern sich die Vorzeichen in der Klammer.

Schematisches beschriftetes Rechteckmodell illustriert das Ausklammern von 3; geometrische Annahme x>0 wird genannt.

So geht es am Beispiel

Faktorisiere 6x³−9x².

Gemeinsamer Faktor: $\mathsf{3x^2}$ .

$\mathsf{6x^3/(3x^2)=2x}$ — erster Klammerterm.

$\mathsf{-9x^2/(3x^2)=-3}$ — zweiter Klammerterm.

$\mathsf{6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)}$ — Produkt.

$\mathsf{3x^2\cdot2x-3x^2\cdot3=6x^3-9x^2}$ — Probe.

Erklärung 02

Gruppieren

Bei vier Summanden kann es helfen, passende Paare zu bilden. Klammere innerhalb der Gruppen aus, bis derselbe Klammerfaktor erscheint.

Anschließend wird dieser gemeinsame Klammerfaktor ausgeklammert. Falls die Gruppen nicht zusammenpassen, ist eine andere Gruppierung nötig.

So geht es am Beispiel

Faktorisiere x³+2x²+3x+6.

$\mathsf{(x^3+2x^2)+(3x+6)}$ — gruppieren.

$\mathsf{x^2(x+2)+3(x+2)}$ — je Gruppe ausklammern.

$\mathsf{(x+2)(x^2+3)}$ — gemeinsame Klammer.

$\mathsf{x^3+2x^2+3x+6}$ — Produktprobe.

Erklärung 03

Binomische Muster erkennen

A²+2AB+B²=(A+B)² und A²−2AB+B²=(A−B)². Der Mittelterm muss genau passen.

Die Differenz zweier Quadrate ist A²−B²=(A−B)(A+B). Für die Summe A²+B² gibt es diese reelle Zerlegung im Allgemeinen nicht.

So geht es am Beispiel

Faktorisiere 4x²−12x+9.

$\mathsf{4x^2=(2x)^2}$ — erstes Quadrat.

$\mathsf{9=3^2}$ — zweites Quadrat.

$\mathsf{-12x=-2\cdot2x\cdot3}$ — Mittelterm passt.

$\mathsf{4x^2-12x+9=(2x-3)^2}$ — binomisch.

Erklärung 04

Verfahren verbinden und prüfen

Häufig wird zuerst ausgeklammert und danach der Klammerterm weiter zerlegt. Beende die Rechnung erst, wenn die verlangte Zerlegung erreicht ist.

Faktorisieren ist eine Termumformung. Erst wenn ein Produkt gleich null gesetzt ist, darf der Satz vom Nullprodukt verwendet werden.

Durch Ausmultiplizieren kontrollierst du alle Koeffizienten. Die Prüfung nur einer eingesetzten Zahl kann einen Fehler übersehen.

So geht es am Beispiel

Faktorisiere 2x³−8x vollständig über R.

$\mathsf{2x^3-8x=2x(x^2-4)}$ — ausklammern.

$\mathsf{x^2-4=(x-2)(x+2)}$ — Quadratedifferenz.

$\mathsf{2x^3-8x=2x(x-2)(x+2)}$ — zusammensetzen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Faktorisieren · GrundlagenFaktorisiere 8x+12 und mache die Produktprobe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{8x+12=4(2x+3)}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4\cdot2x+4\cdot3=8x+12}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis4(2x+3).
02
Aufgabe 2Faktorisieren · GrundlagenFaktorisiere 5x²−10x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5x^2-10x=5x(x-2)}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5x\cdot x-5x\cdot2=5x^2-10x}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis5x(x−2).
03
Aufgabe 3Faktorisieren · GrundlagenKlammere −3 aus −6x+9 aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-6x)/(-3)=2x}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{9/(-3)=-3}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-6x+9=-3(2x-3)}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis−3(2x−3).
04
Aufgabe 4Faktorisieren · AnwendenFaktorisiere x²+10x+25.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{25=5^2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{10x=2\cdot x\cdot5}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+10x+25=(x+5)^2}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(x+5)².
05
Aufgabe 5Faktorisieren · AnwendenFaktorisiere 9x²−16.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{9x^2=(3x)^2,\ 16=4^2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{9x^2-16=(3x-4)(3x+4)}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(3x−4)(3x+4).
06
Aufgabe 6Faktorisieren · AnwendenFaktorisiere x³−x²+2x−2 durch Gruppieren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2(x-1)+2(x-1)}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x-1)(x^2+2)}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(x−1)(x²+2).
07
Aufgabe 7Faktorisieren · AnwendenFaktorisiere 3x³−12x vollständig über R.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x(x^2-4)}$ — ausklammern.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x(x-2)(x+2)}$ — Quadratedifferenz.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis3x(x−2)(x+2).
08
Aufgabe 8Faktorisieren · VertiefenJemand schreibt x²+4=(x+2)². Korrigiere mithilfe der Produktprobe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x+2)^2=x^2+4x+4}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Mittelterm 4x fehlt im Ausgangsterm.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisFalsch; x²+4 ist über R nicht in Linearfaktoren zerlegbar.
09
Aufgabe 9Faktorisieren · VertiefenLöse 2x²−6x=0 durch Faktorisieren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x(x-3)=0}$ — ausklammern.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0\ \textsf{oder}\ x-3=0}$ — Nullprodukt.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0\ \textsf{oder}\ x=3}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisLösungen 0 und 3; nicht durch x teilen und 0 verlieren.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich fasse gleiche Potenzen zusammen.
Ich erhalte Leitfaktor, Vorzeichen und Vielfachheiten.
Ich kontrolliere Produkte durch Ausmultiplizieren.

AT Academy · Version 2026-10-21