Polynome · Erklären & üben

Linearfaktorzerlegung

Eine reelle Nullstelle r führt zum Linearfaktor x−r. Bei der Zerlegung müssen der Leitkoeffizient und alle Vielfachheiten erhalten bleiben. Nicht jedes reelle Polynom zerfällt vollständig in reelle Linearfaktoren.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Nullstellen werden zu Faktoren

Für ein Polynom p gilt: p(r)=0 genau dann, wenn x−r ein Faktor ist. Eine Nullstelle −2 liefert also x+2.

Ist ein Polynom vom Grad n vollständig in reelle Linearfaktoren zerlegbar, lautet die Form a·(x−r₁)…(x−rₙ), wobei a der Leitkoeffizient ist und Nullstellen mehrfach vorkommen dürfen.

So geht es am Beispiel

Zerlege p(x)=2x²−6x+4.

$\mathsf{p(x)=2(x^2-3x+2)}$ — Leitfaktor.

$\mathsf{x^2-3x+2=(x-1)(x-2)}$ — passende Zahlen.

$\mathsf{p(x)=2(x-1)(x-2)}$ — zusammenfügen.

$\mathsf{2(x-1)(x-2)=2x^2-6x+4}$ — Produktprobe.

Erklärung 02

Vielfachheit und Graph

Die Vielfachheit einer Nullstelle r ist die höchste Potenz (x−r) hoch m, die das Polynom teilt. Der übrige Faktor muss bei r ungleich null sein.

Bei ungerader Vielfachheit wechselt das Polynom dort sein Vorzeichen, bei gerader nicht. In beiden Fällen liegt der Punkt (r|0) auf dem Graphen.

Die Summe der Vielfachheiten kann kleiner als der Grad sein, wenn nichtreelle Nullstellen verbleiben.

Polynomgraph mit einfacher Nullstelle −2 und doppelter Nullstelle 1 sowie erklärender Beschriftung.

So geht es am Beispiel

Untersuche p(x)=(x−1)²(x+2).

Bei x=1 ist der Faktor (x−1) quadriert; der Rest ist 3≠0.

Bei x=−2 ist x+2 einfach; der Rest ist 9≠0.

Erklärung 03

Wenn reelle Linearfaktoren fehlen

x²+1 ist für alle reellen x positiv. Es besitzt keine reelle Nullstelle und kann über R nicht in Linearfaktoren zerlegt werden.

Reelle Polynome können in reelle Linearfaktoren und reell nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegt werden. Hier behandeln wir überschaubare Beispiele, ohne komplexe Zahlen einzuführen.

So geht es am Beispiel

Zerlege x³−x²+x−1 über R.

$\mathsf{x^2(x-1)+(x-1)}$ — gruppieren.

$\mathsf{(x-1)(x^2+1)}$ — gemeinsamen Faktor ausklammern.

$\mathsf{x^2+1>0}$ — kein weiterer reeller Linearfaktor.

Erklärung 04

Leitfaktor bestimmen und rückwärts prüfen

Wenn Nullstellen und Grad gegeben sind, fehlt oft noch der Faktor a. Ein zusätzlicher Funktionswert kann ihn bestimmen.

Die ausmultiplizierte Produktprobe bestätigt die gesamte Zerlegung. Nur die gefundenen Nullstellen zu prüfen genügt nicht, um den Leitfaktor zu sichern.

So geht es am Beispiel

Grad 2, Nullstellen −1 und 3, außerdem p(0)=−6. Bestimme p.

$\mathsf{p(x)=a(x+1)(x-3)}$ — Ansatz.

$\mathsf{-6=a\cdot1\cdot(-3)}$ — Wert einsetzen.

$\mathsf{a=2}$ — durch −3 teilen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Linearfaktorzerlegung · GrundlagenZerlege x²−5x+6 und prüfe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gesucht: Zahlen mit Summe −5 und Produkt 6: −2,−3.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=(x-2)(x-3)}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Produktprobe: $\mathsf{x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(x−2)(x−3).
02
Aufgabe 2Linearfaktorzerlegung · GrundlagenZerlege 3x²−12.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x^2-12=3(x^2-4)}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=3(x-2)(x+2)}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis3(x−2)(x+2); Nullstellen ±2.
03
Aufgabe 3Linearfaktorzerlegung · GrundlagenLies Nullstellen, Vielfachheiten und Grad von −2x(x+1)³ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  0 ist einfach; −1 dreifach.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Exponenten summieren sich zu 4.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Leitkoeffizient ist −2.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGrad 4, Nullstellen 0 einfach und −1 dreifach.
04
Aufgabe 4Linearfaktorzerlegung · AnwendenZerlege x²+6x+9.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+6x+9=(x+3)^2}$ — binomisch.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Produktprobe: $\mathsf{(x+3)(x+3)=x^2+6x+9}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis−3 doppelte Nullstelle.
05
Aufgabe 5Linearfaktorzerlegung · AnwendenIst x²+4 über R in Linearfaktoren zerlegbar?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+4\ge4>0}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Keine reelle Nullstelle.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein; reell irreduzibler quadratischer Faktor.
06
Aufgabe 6Linearfaktorzerlegung · AnwendenZerlege x³+4x über R.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^3+4x=x(x^2+4)}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+4>0}$ — keine reellen Nullstellen des Restes.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisx(x²+4); einzige reelle Nullstelle 0.
07
Aufgabe 7Linearfaktorzerlegung · AnwendenGrad 2, Nullstellen 1 und 4, p(0)=8: Bestimme p.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=a(x-1)(x-4)}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{8=4a}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=2}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisp(x)=2(x−1)(x−4).
08
Aufgabe 8Linearfaktorzerlegung · VertiefenJemand zerlegt 2x²−8 als (x−2)(x+2). Was fehlt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x-2)(x+2)=x^2-4}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Leitfaktor 2 fehlt.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisRichtig: 2(x−2)(x+2).
09
Aufgabe 9Linearfaktorzerlegung · VertiefenVergleiche die Nullstellen von (x−2)² und (x−2)³ hinsichtlich Vorzeichenwechsel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Beide haben die Nullstelle 2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Exponent 2 ist gerade; Exponent 3 ist ungerade.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisQuadrat: kein Vorzeichenwechsel; Kubik: Vorzeichenwechsel.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich fasse gleiche Potenzen zusammen.
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