Statistische Tests · Erklären & üben

Fehler 1. Art (Alphafehler)

Ein Test kann auf zwei verschiedene Arten falsch entscheiden. Welche Fehlerart vorliegt, hängt sowohl von der Entscheidung als auch von der unbekannten tatsächlichen Situation ab.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Entscheidung und Wahrheit kreuzen

Fehler erster Art: Eine wahre H 0 wird verworfen. Fehler zweiter Art: Eine falsche H 0 wird nicht verworfen. Richtig sind Verwerfen einer falschen und Nichtverwerfen einer wahren Nullhypothese. Aus der Testentscheidung allein weiß man in einer realen Untersuchung nicht, welche Zelle tatsächlich vorliegt.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{\textsf{Fehler I: wahr und verwerfen; Fehler II: falsch und nicht verwerfen}}$

Vier Kombinationen von tatsächlicher Nullhypothese und Entscheidung.

Erklärung 02

Das Risiko unter der Nullhypothese

Das Signifikanzniveau ist eine vorab gewählte Obergrenze für die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art. Bei diskreten Tests ist die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit oft kleiner. Unser rechtsseitiger Test mit fünf unabhängigen Versuchen verwirft H 0:p≤0,5 nur beiX=5. Die größte Fehlerwahrscheinlichkeit innerhalbH 0 liegt am Randp=0,5.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{\alpha_{\mathsf{erreicht}}=P_{0{,}5}(X=5)}$

Ablehnungsbereich{5}für die genaue Alphafehlerrechnung.

So geht es am Beispiel

Berechne die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art dieser Regel.

\mathsf{\alpha_{\mathsf{erreicht}}=0{,}5^5=\frac1{32}=0{,}03125}

Erklärung 03

Fehler zweiter Art braucht eine Alternative

Die Wahrscheinlichkeit βhängt davon ab, welcher falsche Parameter tatsächlich gilt. Die Teststärke 1−βist die Wahrscheinlichkeit, bei dieser Alternative zu verwerfen. Sie ist nicht automatisch 1−α. Ein strengerer Ablehnungsbereich senkt bei gleichem Modell häufig das Fehlerrisiko erster Art, kann aber die Teststärke verringern.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{\beta(p)=P_p(\textsf{nicht verwerfen}),\qquad\textsf{Teststärke}(p)=1-\beta(p)}$

So geht es am Beispiel

Beim Test ausE 1 gelte tatsächlichp=0,8. Berechne βund Teststärke.

\mathsf{1-\beta(0{,}8)=P_{0{,}8}(X=5)=0{,}8^5=0{,}32768}

\mathsf{\beta(0{,}8)=1-0{,}32768=0{,}67232}

So geht es am Beispiel

Ein zweiseitiger Test mitn=6 verwirftH 0:p=0,5 bei 0 oder 6 Treffern. Berechne αund βfürp=0,8.

\mathsf{\alpha=2\cdot0{,}5^6=0{,}03125}

\mathsf{\beta(0{,}8)=1-0{,}2^6-0{,}8^6=0{,}737792}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Fehler 1. Art (Alphafehler) · EinstiegH 0 ist wahr und wird verworfen. Welche Fehlerart liegt vor?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlerart
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine wahre Nullhypothese wird abgelehnt.
Ergebnis
1. FehlerartFehler erster Art.
02
Aufgabe 2Fehler 1. Art (Alphafehler) · EinstiegH 0 ist falsch und wird nicht verworfen. Welche Fehlerart liegt vor?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlerart
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Test übersieht die tatsächlich vorhandene Abweichung.
Ergebnis
1. FehlerartFehler zweiter Art.
03
Aufgabe 3Fehler 1. Art (Alphafehler) · StandardUnter p=0,5 wird bei fünf unabhängigen Versuchen nurX=5 abgelehnt. Berechne die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erreichte Fehlerwahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0{,}5^5=0{,}03125}$
Ergebnis
1. Erreichte Fehlerwahrscheinlichkeit $\mathsf{0{,}03125}$
04
Aufgabe 4Fehler 1. Art (Alphafehler) · StandardFür dieselbe Regel gelte tatsächlichp=0,8. Berechne die Wahrscheinlichkeit, nicht zu verwerfen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlerwahrscheinlichkeit zweiter Art
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\beta=1-0{,}8^5=0{,}67232}$
Ergebnis
1. Fehlerwahrscheinlichkeit zweiter Art $\mathsf{0{,}67232}$
05
Aufgabe 5Fehler 1. Art (Alphafehler) · TransferVervollständige die Entscheidungstafel mit „Richtig“, „FehlerI“ und „FehlerII“. Zeilen und Entscheidungen sind vorgegeben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidungstafel
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Entscheidungstafel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  H 0 wahr/Verwerfen:FehlerI;H 0 wahr/Nichtverwerfen:richtig;H 0 falsch/Verwerfen:richtig;H 0 falsch/Nichtverwerfen:FehlerII.
Ergebnis
1. EntscheidungstafelAlle vier Kombinationen richtig zugeordnet.
06
Aufgabe 6Fehler 1. Art (Alphafehler) · TransferEin Test hat bei einer bestimmten Alternative β=0,3. Bestimme seine Teststärke bei genau dieser Alternative.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teststärke
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1-\beta=1-0{,}3=0{,}7}$
Ergebnis
1. Teststärke $\mathsf{0{,}7}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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