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Integrationsmethoden und Flächen · Erklären & üben

Fläche zwischen zwei Graphen

Der Flächeninhalt zwischen zwei Graphen entsteht aus ihrem senkrechten Abstand. Vor dem Integrieren klären wir die Grenzen und prüfen, welcher Graph oben liegt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Den Abstand integrieren

Für stetige Funktionen auf [a; b] mit a < b gilt A=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\mathsf{A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx}. Liegt f im gesamten Intervall über g, vereinfacht sich dies zu A=∫ab(f(x)−g(x)) dx\mathsf{A=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx}.

Die Regel lautet oben minus unten. Sie gilt auch, wenn beide Graphen unterhalb der x-Achse liegen. Entscheidend ist ihr Abstand, nicht ihr Abstand zur Achse.

Erklärung 02

Schnittpunkte und Grenzen bestimmen

Wenn eine eingeschlossene Fläche gesucht ist, berechnest du zunächst die Schnittstellen aus f(x) = g(x). Die y-Werte erhältst du durch Einsetzen. Sind feste Grenzen vorgegeben, gelten diese; zusätzliche Schnittstellen im Inneren können eine Aufteilung verlangen.

Gerade 2x und Parabel x-Quadrat mit Schnittpunkten (0 | 0) und (2 | 4); die eingeschlossene Fläche ist markiert.

So geht es am Beispiel

Berechne die eingeschlossene Fläche zwischen f(x) = 2x und g(x) = x².

2x=x2\mathsf{2x=x^2} — Schnittstellen.

x(x−2)=0\mathsf{x(x-2)=0} — faktorisieren.

x=0extoderx=2\mathsf{x=0\quad ext{oder}\quad x=2} — Grenzen.

Schnittpunkte: (0 | 0) und (2 | 4). Auf (0; 2) liegt 2x über x².

A=∫02(2x−x2) dx\mathsf{A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx} — oben minus unten.

H(x)=x2−13x3\mathsf{H(x)=x^2-\frac13x^3} — Stammfunktion.

A=H(2)−H(0)\mathsf{A=H(2)-H(0)}
A=4−83\mathsf{A=4-\frac83}
A=43\mathsf{A=\frac43}

Ergebnis

Der Flächeninhalt beträgt 4/3 Flächeneinheiten.

Erklärung 03

Bei einem Wechsel aufteilen

Wechselt die Reihenfolge der Graphen, berechnest du für jedes Teilintervall einen positiven Flächeninhalt. Ein einziges vorzeichenbehaftetes Integral kann Teilflächen gegeneinander verrechnen.

So geht es am Beispiel

Berechne die Fläche zwischen f(x) = x und g(x) = 0 auf [−1; 2].

Die Schnittstelle x = 0 liegt im Inneren. Links liegt 0 oben, rechts x.

A=∫−10(−x) dx+∫02x dx\mathsf{A=\int_{-1}^0(-x)\,dx+\int_0^2x\,dx}
A1=[−x2/2]−10=12\mathsf{A_1=[-x^2/2]_{-1}^0=\frac12}
A2=[x2/2]02=2\mathsf{A_2=[x^2/2]_0^2=2}
A=12+2=52\mathsf{A=\frac12+2=\frac52}

Ergebnis

Die Fläche beträgt 5/2, nicht das vorzeichenbehaftete Integral 3/2.

Erklärung 04

Einheiten und Zeichnung nutzen

Eine Skizze zeigt, welche Teilflächen gemeint sind. Die Rechnung liefert die Grenzen und Werte genau. Markiere alle Schnittpunkte und gegebenen Randgeraden.

Sind beide Achsen in Metern skaliert, erhältst du Quadratmeter. Bei unterschiedlichen Achseneinheiten hat das Integral deren Produkt als Einheit; ohne Sachkontext sprechen wir von Flächeneinheiten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Fläche zwischen zwei Graphen · EinstiegBerechne die Fläche zwischen f(x) = 3 und g(x) = 1 auf [0; 4].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=∫04(3−1) dx\mathsf{A=\int_0^4(3-1)\,dx}
      A=[2x]04\mathsf{A=[2x]_0^4}
      A=8\mathsf{A=8}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis8 Flächeneinheiten.
  2. Aufgabe 2Fläche zwischen zwei Graphen · EinstiegBerechne die eingeschlossene Fläche zwischen f(x) = x und g(x) = x².Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x=x2\mathsf{x=x^2}
      x(x−1)=0\mathsf{x(x-1)=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Grenzen 0 und 1; x liegt oben.

      A=∫01(x−x2) dx\mathsf{A=\int_0^1(x-x^2)\,dx}
      A=[x2/2−x3/3]01\mathsf{A=[x^2/2-x^3/3]_0^1}
      A=12−13=16\mathsf{A=\frac12-\frac13=\frac16}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis1/6 Flächeneinheit.
  3. Aufgabe 3Fläche zwischen zwei Graphen · StandardBerechne die Fläche zwischen f(x) = 4−x² und g(x) = 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      4−x2=0\mathsf{4-x^2=0}
      x=−2extoderx=2\mathsf{x=-2\quad ext{oder}\quad x=2}
      A=∫−22(4−x2) dx\mathsf{A=\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx}
      A=[4x−x3/3]−22\mathsf{A=[4x-x^3/3]_{-2}^2}
      A=163−(−163)=323\mathsf{A=\frac{16}3-(-\frac{16}3)=\frac{32}3}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis32/3 Flächeneinheiten.
  4. Aufgabe 4Fläche zwischen zwei Graphen · StandardBerechne auf [−2; 1] die Fläche zwischen f(x) = x und g(x) = −x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x=−x  ⟺  x=0\mathsf{x=-x\iff x=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Links liegt −x oben, rechts x.

      A=∫−20(−2x) dx+∫012x dx\mathsf{A=\int_{-2}^0(-2x)\,dx+\int_0^1 2x\,dx}
      A1=[−x2]−20=4\mathsf{A_1=[-x^2]_{-2}^0=4}
      A2=[x2]01=1\mathsf{A_2=[x^2]_0^1=1}
      A=5\mathsf{A=5}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis5 Flächeneinheiten.
  5. Aufgabe 5Fläche zwischen zwei Graphen · StandardBeide Graphen liegen unter der Achse: f(x) = −1, g(x) = −4. Berechne ihre Fläche auf [1; 3].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      −1 ist größer als −4 und liegt daher oben.

      A=∫13((−1)−(−4)) dx\mathsf{A=\int_1^3((-1)-(-4))\,dx}
      A=[3x]13\mathsf{A=[3x]_1^3}
      A=6\mathsf{A=6}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis6 Flächeneinheiten.
  6. Aufgabe 6Fläche zwischen zwei Graphen · StandardJemand berechnet für die Fläche zwischen x und 0 auf [−1; 1] das Integral 0 und behauptet, es gebe keine Fläche. Korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Das Integral verrechnet eine negative und eine positive Teilfläche.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die linke und rechte Dreiecksfläche betragen jeweils 1/2.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Der geometrische Flächeninhalt ist 1/2 + 1/2 = 1.

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis1 Flächeneinheit; vorzeichenbehaftetes Integral und Flächeninhalt sind verschieden.
  7. Aufgabe 7Fläche zwischen zwei Graphen · StandardEin Geländeprofil wird zwischen y = 2 und y = x auf 0 ≤ x ≤ 2 betrachtet. Beide Achsen sind in Metern. Bestimme die Fläche mit Einheit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=∫02(2−x) dx\mathsf{A=\int_0^2(2-x)\,dx}
      A=[2x−x2/2]02\mathsf{A=[2x-x^2/2]_0^2}
      A=4−2=2\mathsf{A=4-2=2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis2 m².
  8. Aufgabe 8Fläche zwischen zwei Graphen · VertiefungIm vorbereiteten Graphen sind f(x) = 2x und g(x) = x² gegeben. Markiere die eingeschlossene Fläche und die Schnittpunkte. Berechne den Flächeninhalt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Leeres Koordinatengitter zum Ergänzen von Fläche und Schnittpunkten; beide Graphen bleiben sichtbar.

    Rechnung und Ergebnis

    Leeres Koordinatengitter zum Ergänzen von Fläche und Schnittpunkten; beide Graphen bleiben sichtbar.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x2=2x\mathsf{x^2=2x}
      x(x−2)=0\mathsf{x(x-2)=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Schnittpunkte: (0 | 0) und (2 | 4).

      A=∫02(2x−x2) dx\mathsf{A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx}
      A=[x2−x3/3]02=43\mathsf{A=[x^2-x^3/3]_0^2=\frac43}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDie eingeschlossene Fläche zwischen 0 und 2 beträgt 4/3 Flächeneinheiten.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich bestimme Schnittstellen und vorgegebene Grenzen.
  • Ich teile beim Wechsel von oben und unten auf.
  • Ich gebe einen nichtnegativen Flächeninhalt mit passender Einheit an.

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