Integrationsmethoden und Flächen · Erklären & üben

Rotationskörper

Wird eine ebene Fläche um eine Achse gedreht, entsteht ein Rotationskörper. Sein Volumen lässt sich aus dünnen Kreisscheiben zusammensetzen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Rotation um die x-Achse

Die Fläche zwischen dem Graphen einer stetigen, nichtnegativen Funktion f und der x-Achse auf [a; b] rotiert um die x-Achse. Jede Querschnittsscheibe hat Radius f(x) und Fläche πf(x)².

Daher gilt $\mathsf{V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx}$ . Zuerst quadrieren, dann integrieren. Es wird nicht das fertige Integral quadriert.

Liegt der Graph unter der Achse und wird die Fläche bis zur Achse gedreht, ist der Radius |f(x)|. Das Quadrat liefert dieselbe Volumenformel.

Schematische Rotation des Dreiecks unter f(x) = x von 0 bis 3 um x: Kegel mit Höhe 3, Radius 3 und Kreisscheibe.

So geht es am Beispiel

f(x) = x auf [0; 3] rotiert mit der Fläche bis zur x-Achse um diese Achse.

\mathsf{V=\pi\int_0^3x^2\,dx}

\mathsf{V=\pi[x^3/3]_0^3}

\mathsf{V=9\pi}

Erklärung 02

Auch eine Wurzelfunktion wird zuerst quadriert

Bei $\mathsf{f(x)=\sqrt x}$ ist f(x)² = x. Die Quadrierung kann die Rechnung deutlich vereinfachen. Beschreibe immer die gedrehte Fläche und die Drehachse, nicht nur den Graphen.

So geht es am Beispiel

Die Fläche unter f(x) = √x auf [0; 4] rotiert um die x-Achse.

\mathsf{[f(x)]^2=x}

\mathsf{V=\pi\int_0^4x\,dx}

\mathsf{V=\pi[x^2/2]_0^4}

\mathsf{V=8\pi}

Erklärung 03

Ein einfacher Fall um die y-Achse

Für waagerechte Kreisscheiben benötigen wir den Radius als Funktion von y. Ist die Randkurve umkehrbar, lösen wir y = f(x) ausdrücklich nach x auf.

Für die Fläche zwischen der y-Achse und x = g(y) mit g(y) ≥ 0 auf [c; d] gilt $\mathsf{V=\pi\int_c^d[g(y)]^2\,dy}$ . Die Grenzen sind jetzt y-Werte.

Fläche zwischen y-Achse, y = 4 und positiver Parabelhälfte; Radius bei Rotation um y ist Wurzel y.

So geht es am Beispiel

Die Fläche zwischen der y-Achse und y = x² im ersten Quadranten, begrenzt durch y = 0 und y = 4, rotiert um die y-Achse.

$\mathsf{y=x^2}$ — positive Kurvenhälfte.

$\mathsf{x=\sqrt y}$ — Umkehrfunktion und Radius.

\mathsf{V=\pi\int_0^4(\sqrt y)^2\,dy}

\mathsf{V=\pi\int_0^4y\,dy}

\mathsf{V=\pi[y^2/2]_0^4}

\mathsf{V=8\pi}

Erklärung 04

Erweiterung: Mantelfläche in einfachen Fällen

Das Volumen misst den Rauminhalt; die Mantelfläche misst die seitliche Oberfläche. Für eine nichtnegative, stetig differenzierbare Radiusfunktion gilt bei Rotation um die x-Achse $\mathsf{M=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f^{\prime}(x)]^2}\,dx}$ .

Dies ist eine Erweiterung für einfache Fälle. Stirn- oder Grundflächen sind in M nicht enthalten. Ihre Flächen müssen für die gesamte Oberfläche zusätzlich berücksichtigt werden.

So geht es am Beispiel

Berechne die Mantelfläche des Kegels aus f(x) = x auf [0; 3].

\mathsf{f^{\prime}(x)=1}

\mathsf{M=2\pi\int_0^3 x\sqrt2\,dx}

\mathsf{M=2\pi\sqrt2[x^2/2]_0^3}

\mathsf{M=9\pi\sqrt2}

Erklärung 05

Einheiten und Grenzen unterscheiden

Sind alle Längen in Zentimetern angegeben, hat V die Einheit cm³ und M die Einheit cm². Die Volumenformel verwendet den Radius im Quadrat; die Mantelflächenformel enthält zusätzlich die Steigung.

Eine Fläche zwischen zwei von der Drehachse entfernten Graphen kann einen Hohlraum erzeugen. Dafür ist die einfache Vollscheibenformel mit nur einem Radius nicht ausreichend. Hier betrachten wir Flächen bis zur jeweiligen Drehachse.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Rotationskörper · EinstiegDie Fläche unter f(x) = 2 auf [0; 5] rotiert um die x-Achse. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=\pi\int_0^5 2^2\,dx}$
  $\mathsf{V=\pi[4x]_0^5}$
  $\mathsf{V=20\pi}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis20π Volumeneinheiten; Zylinder mit Radius 2 und Höhe 5.
02
Aufgabe 2Rotationskörper · EinstiegDie Fläche unter f(x) = x auf [0; 2] rotiert um die x-Achse. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=\pi\int_0^2x^2\,dx}$
  $\mathsf{V=\pi[x^3/3]_0^2}$
  $\mathsf{V=\frac83\pi}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis8π/3 Volumeneinheiten.
03
Aufgabe 3Rotationskörper · StandardDie Fläche unter f(x) = √x auf [1; 4] rotiert um die x-Achse. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(\sqrt x)^2=x}$
  $\mathsf{V=\pi\int_1^4x\,dx}$
  $\mathsf{V=\pi[x^2/2]_1^4}$
  $\mathsf{V=\frac{15}2\pi}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis15π/2 Volumeneinheiten.
04
Aufgabe 4Rotationskörper · StandardDie Fläche unter f(x) = x+1 auf [0; 2] rotiert um die x-Achse. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x+1)^2=x^2+2x+1}$
  $\mathsf{V=\pi\int_0^2(x^2+2x+1)\,dx}$
  $\mathsf{V=\pi[x^3/3+x^2+x]_0^2}$
  $\mathsf{V=\frac{26}3\pi}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis26π/3 Volumeneinheiten.
05
Aufgabe 5Rotationskörper · StandardKorrigiere den Ansatz V = π(∫₀² x dx)² für die Rotation der Fläche unter x um die x-Achse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Kreisfläche eines einzelnen Querschnitts ist πx². Deshalb muss der Integrand quadriert werden.
  $\mathsf{V=\pi\int_0^2x^2\,dx}$
  $\mathsf{V=\frac83\pi}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisDie Quadrierung gehört vor die Integration.
06
Aufgabe 6Rotationskörper · StandardDie Fläche zwischen der y-Achse und y = 2x im ersten Quadranten, begrenzt durch y = 0 und y = 4, rotiert um die y-Achse. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=y/2}$ — Umkehrfunktion.
  $\mathsf{V=\pi\int_0^4(y/2)^2\,dy}$
  $\mathsf{V=\frac\pi4[y^3/3]_0^4}$
  $\mathsf{V=\frac{16}3\pi}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis16π/3 Volumeneinheiten.
07
Aufgabe 7Rotationskörper · StandardErweiterung: f(x) = 2 auf [0; 5] beschreibt einen Zylinder bei Rotation um x. Berechne nur die Mantelfläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=0}$
  $\mathsf{M=2\pi\int_0^5 2\sqrt{1+0}\,dx}$
  $\mathsf{M=4\pi[x]_0^5}$
  $\mathsf{M=20\pi}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis20π Flächeneinheiten. Die beiden Kreisflächen sind nicht enthalten.
08
Aufgabe 8Rotationskörper · VertiefungDie Fläche unter f(x) = x auf [0; 3] rotiert um die x-Achse. Alle Längen sind in cm. Berechne Volumen und gesamte Oberfläche des Kegels.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=9\pi}$ — Volumen in cm³.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{M=9\pi\sqrt2}$ — Mantel in cm².
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{G=\pi\cdot3^2=9\pi}$ — Grundkreis.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{O=9\pi(\sqrt2+1)}$ — Mantel plus Grundfläche.
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{V=9\pi}$ cm³; $\mathsf{O=9\pi(\sqrt2+1)}$ cm².

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich benenne Fläche, Grenzen und Drehachse.
Ich quadriere den Radius vor dem Integrieren.
Für die y-Achse nutze ich eine explizite Radiusfunktion in y.
Ich unterscheide Volumen, Mantelfläche und gesamte Oberfläche.

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