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Geometrische Grundlagen · Erklären & üben

Fläche

Eine Fläche beschreibt ein ebenes Stück mit Länge und Breite. Ihr Flächeninhalt sagt, wie groß dieses Stück ist; die Form allein legt die Größe nicht fest.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Inneres und Rand unterscheiden

Bei einer begrenzten ebenen Figur gehört das Innere zur Fläche. Der Rand begrenzt sie; seine Länge heißt Umfang. Ein Blatt Papier kann als Modell einer ebenen Fläche dienen, obwohl echtes Papier auch eine kleine Dicke besitzt.

  1. Zeige zuerst das Innere.

  2. Fahre dann den Rand nach.

Flächeninhalt und Randlänge sind verschiedene Größen.

Gefülltes Rechteck mit getrennten Beschriftungen für Inneres und Rand.

Erklärung 02

Mit gleich großen Quadraten auslegen

Zum Messen verwendest du gleich große Einheitsquadrate. Sie dürfen sich weder überlappen noch Lücken lassen. Ganze und halbe Quadrate werden addiert. Die Größe der gewählten Einheit muss genannt werden.

  1. Zähle die vollständigen Quadrate.

  2. Fasse Teilquadrate zusammen.

  3. Schreibe die Flächeneinheit dazu.

2⋅12=1\mathsf{2\cdot\frac12=1}

Rechtwinkliges Dreieck im Zentimetergitter: sechs ganze und vier halbe Kästchen.

So geht es am Beispiel

Eine Figur bedeckt sechs ganze und vier halbe Zentimeterquadrate. Wie groß ist die Fläche?

A=6+4⋅12=8 cm2\mathsf{A=6+4\cdot\frac12=8\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Vier halbe Quadrate ergeben zwei ganze.

Erklärung 03

Gleiche Fläche, andere Form

Du kannst Flächen durch Zerlegen und Verschieben vergleichen. Solange kein Stück fehlt und sich keine Stücke überlagern, bleibt der Flächeninhalt gleich. Gleicher Flächeninhalt bedeutet aber nicht gleichen Umfang.

  1. Nutze dieselben Einheitsquadrate.

  2. Vergleiche die Anzahl, nicht nur die längste Seite.

  3. Betrachte den Rand separat.

Umlegen kann die Form und den Umfang verändern, ohne die Fläche zu ändern.

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck ist 2 cm mal 4 cm groß, ein anderes 1 cm mal 8 cm. Vergleiche Fläche und Umfang.

A1=2⋅4=8 cm2,A2=1⋅8=8 cm2\mathsf{A_1=2\cdot4=8\,\mathsf{cm}^2,\qquad A_2=1\cdot8=8\,\mathsf{cm}^2}
U1=2(2+4)=12 cm\mathsf{U_1=2(2+4)=12\,\mathsf{cm}}
U2=2(1+8)=18 cm\mathsf{U_2=2(1+8)=18\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Beide Flächen sind gleich groß; das lange schmale Rechteck hat den größeren Umfang.

Erklärung 04

Vom Auslegen zur Formel

Das Thema Flächeninhalt zeigt, wie Einheitsquadrate zu Formeln führen. Flächenberechnung übt das Einsetzen und Umstellen dieser Formeln. Bei gleicher Einheit reicht zum Vergleich die Anzahl der Quadrate. Bei verschiedenen Einheiten musst du zunächst umrechnen.

  1. Nenne die Einheit.

  2. Vergleiche nur gleichartige Maße.

Für ein Heft ist ein Quadratzentimeter passend; für einen Raum oft ein Quadratmeter.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Fläche · AnwendenBeim Streichen eines rechteckigen Schildes: Wird die Fläche oder der Umfang mit Farbe bedeckt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Farbe bedeckt das Innere des Schildes.

    Ergebnis

    1. Gesuchte GrößeDie Fläche; ihr Flächeninhalt bestimmt den Farbbedarf mit.
  2. Aufgabe 2Fläche · AnwendenEine Figur besteht aus drei Reihen mit je fünf Zentimeterquadraten. Wie groß ist ihre Fläche?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=3⋅5=15 cm2\mathsf{A=3\cdot5=15\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Flächeninhalt15 Quadratzentimeter
  3. Aufgabe 3Fläche · AnwendenEine andere Figur enthält sieben ganze und sechs halbe Zentimeterquadrate. Berechne ihre Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=7+6⋅12=10 cm2\mathsf{A=7+6\cdot\frac12=10\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Flächeninhalt10 Quadratzentimeter
  4. Aufgabe 4Fläche · AnwendenZeichne auf der Vorlage eine zusammenhängende Figur mit genau 8 Quadratzentimetern Flächeninhalt. Die Randlinien sollen auf den Gitterlinien liegen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Eigene Figur

    Leeres Zentimetergitter für eine zusammenhängende Fläche aus acht Kästchen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Wähle acht Kästchen, die eine zusammenhängende Figur bilden.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Ein mögliches Ergebnis ist ein 4-mal 2-Rechteck.

    Ergebnis

    1. Eigene FigurJede zusammenhängende Figur aus genau acht Kästchen ist richtig.
  5. Aufgabe 5Fläche · AnwendenVergleiche ein 3-mal 4-cm-Rechteck mit einem 2-mal 6-cm-Rechteck. Gib beide Flächen und beide Umfänge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A1=3⋅4=12 cm2,A2=2⋅6=12 cm2\mathsf{A_1=3\cdot4=12\,\mathsf{cm}^2,\qquad A_2=2\cdot6=12\,\mathsf{cm}^2}
      U1=2(3+4)=14 cm\mathsf{U_1=2(3+4)=14\,\mathsf{cm}}
      U2=2(2+6)=16 cm\mathsf{U_2=2(2+6)=16\,\mathsf{cm}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Fläche 3 mal 412 Quadratzentimeter
    2. Fläche 2 mal 612 Quadratzentimeter
    3. Umfang 3 mal 414 cm
    4. Umfang 2 mal 616 cm
  6. Aufgabe 6Fläche · AnwendenWelche Einheit ist für die Bodenfläche eines Klassenzimmers zweckmäßig: cm, cm² oder m²? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Eine Bodenfläche benötigt eine Flächeneinheit.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Quadratmeter ergeben für Räume handliche Zahlen.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Einheitm2\mathsf{\mathsf{m}^2}
    2. BegründungQuadratmeter messen Flächen und sind für Räume eine passende Größenordnung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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