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Geometrische Grundlagen · Erklären & üben

Flächenberechnung

Bei der Flächenberechnung entscheidet zuerst die Figur über die Formel. Danach müssen Maße, Einheiten und gesuchte Größen zur Formel passen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Erst die Figur, dann die Formel

Markiere die gesuchte Fläche. Prüfe, ob eine Standardfigur vorliegt oder ob du zerlegen musst. Eine schräge Zeichnung verändert die Eigenschaften nicht. Welche Seite du Grundseite nennst, ist frei; die zugehörige Höhe muss senkrecht darauf stehen.

  1. Notiere gegeben und gesucht.

  2. Skizziere die benötigten Maße.

  3. Wähle die Formel.

Eine schräge Seite ist nicht automatisch eine Höhe.

Erklärung 02

Quadrat und Rechteck rückwärts

Beim Rechteck gilt A = ab, beim Quadrat A = a². Gesuchte Seiten findest du durch Division oder eine positive Wurzel. Vor dem Einsetzen brauchst du eine gemeinsame Einheit.

  1. Rechne die Längen in dieselbe Einheit um.

  2. Stelle die Formel nach der gesuchten Seite um.

b=Aa,aQuadrat=A\mathsf{b=\frac{A}{a},\qquad a_{\mathsf{Quadrat}}=\sqrt{A}}

So geht es am Beispiel

Ein Quadrat hat Fläche 49 Quadratzentimeter. Wie lang ist seine Seite?

a=49=7 cm\mathsf{a=\sqrt{49}=7\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Die Seite ist 7 cm lang.

Erklärung 03

Dreieckshöhe bestimmen

Die Dreiecksformel enthält den Faktor ein Halb. Beim Auflösen nach der Höhe verdoppelst du zuerst die Fläche. Im rechtwinkligen Dreieck können die Katheten die senkrechten Maße liefern.

  1. Multipliziere die Flächengleichung mit 2.

  2. Teile durch die Grundseite.

h=2Ag\mathsf{h=\frac{2A}{g}}

So geht es am Beispiel

Ein Dreieck hat Fläche 24 Quadratzentimeter und Grundseite 8 cm. Berechne h.

h=2⋅248=6 cm\mathsf{h=\frac{2\cdot24}{8}=6\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Die Höhe beträgt 6 cm.

Erklärung 04

Passende Maße bei Vierecken

Parallelogramm: Grundseite mal senkrechte Höhe. Trapez: Mittelwert der beiden parallelen Seiten mal Höhe. Raute oder einfaches konvexes Drachenviereck: halbes Produkt der senkrechten Diagonalen. Bei einem allgemeinen Viereck darfst du diese Diagonalenformel nicht ungeprüft verwenden.

  1. Prüfe Parallelität oder senkrechte Diagonalen.

  2. Setze nur die tatsächlich passenden Maße ein.

AP=gh,AT=a+c2h,AD=ef2\mathsf{A_P=gh,\quad A_T=\frac{a+c}{2}h,\quad A_D=\frac{ef}{2}}

Parallelogramm mit senkrechter gestrichelter Höhe; schräge Seite getrennt beschriftet.

So geht es am Beispiel

Ein Trapez hat parallele Seiten 8 cm und 4 cm; seine Höhe beträgt 3 cm. Berechne A.

8+42=6 cm\mathsf{\frac{8+4}{2}=6\,\mathsf{cm}}
A=6⋅3=18 cm2\mathsf{A=6\cdot3=18\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Die mittlere Breite ist 6 cm.

Erklärung 05

Radius und Durchmesser auseinanderhalten

Für die Kreisfläche brauchst du den Radius. Bei gegebener Fläche teilst du durch π und ziehst die Wurzel. Wenn ein Durchmesser gesucht ist, verdoppelst du erst danach den Radius.

  1. Schreibe A = πr².

  2. Stelle nach r um.

  3. Runde erst das Endergebnis.

r=Aπ\mathsf{r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}}

Durchmesser verläuft durch M; Radius ist die halbe Strecke.

So geht es am Beispiel

Ein Kreis hat Fläche 16π Quadratzentimeter. Bestimme r und d.

r=16=4 cm\mathsf{r=\sqrt{16}=4\,\mathsf{cm}}
d=2⋅4=8 cm\mathsf{d=2\cdot4=8\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Radius 4 cm, Durchmesser 8 cm.

Erklärung 06

Den Rechenweg kontrollieren

Eine Fläche wird in Quadrateinheiten angegeben. Prüfe außerdem, ob die Größenordnung zur Skizze passt. Für zusammengesetzte Figuren nutzt du mehrere Standardformeln. Die Themen Fläche und Flächeninhalt erklären, weshalb Auslegen und Zerlegen diese Rechnungen begründen.

  1. Kontrolliere Figur und Voraussetzungen.

  2. Kontrolliere eingesetzte Maße und Einheit.

  3. Vergleiche das Ergebnis mit einer einfachen Außenfläche.

Eine Teilfläche kann nicht größer als ihre ganze Außenfläche sein.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Flächenberechnung · AnwendenEin Quadrat hat Fläche 81 Quadratzentimeter. Bestimme die Seitenlänge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      a=81=9 cm\mathsf{a=\sqrt{81}=9\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Seitenlänge9 cm
  2. Aufgabe 2Flächenberechnung · AnwendenEin Rechteck ist 2 m lang und 35 cm breit. Berechne seine Fläche in Quadratmetern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      35 cm sind 0,35 m.

      A=2⋅0,35=0,70 m2\mathsf{A=2\cdot0{,}35=0{,}70\,\mathsf{m}^2}

    Ergebnis

    1. Fläche in Quadratmetern0,70 m2\mathsf{0{,}70\,\mathsf{m}^2}
  3. Aufgabe 3Flächenberechnung · AnwendenEin Dreieck hat Fläche 35 Quadratzentimeter und Grundseite 10 cm. Berechne die zugehörige Höhe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=2⋅3510=7 cm\mathsf{h=\frac{2\cdot35}{10}=7\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Höhe7 cm
  4. Aufgabe 4Flächenberechnung · AnwendenEin Parallelogramm hat Fläche 42 Quadratzentimeter und Grundseite 7 cm. Bestimme die Höhe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=42:7=6 cm\mathsf{h=42:7=6\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Höhe6 cm
  5. Aufgabe 5Flächenberechnung · AnwendenDie parallelen Seiten eines Trapezes sind 9 cm und 5 cm; die Höhe ist 4 cm. Berechne die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=9+52⋅4=28 cm2\mathsf{A=\frac{9+5}{2}\cdot4=28\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Flächeninhalt28 Quadratzentimeter
  6. Aufgabe 6Flächenberechnung · AnwendenBeschrifte die Diagonalen des Drachenvierecks: AC = e = 10 cm, BD = f = 8 cm. Berechne die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Beschriftung

    Drachenviereck ABCD mit senkrechten Diagonalen; Maße ergänzen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

      A=10⋅82=40 cm2\mathsf{A=\frac{10\cdot8}{2}=40\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Beschriftunge an AC und f an BD.
    2. Flächeninhalt40 Quadratzentimeter
  7. Aufgabe 7Flächenberechnung · AnwendenEin Kreis hat Fläche 36π Quadratzentimeter. Berechne den Radius.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=36ππ=6 cm\mathsf{r=\sqrt{\frac{36\pi}{\pi}}=6\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Radius6 cm

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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