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Geometrische Grundlagen · Erklären & üben

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt misst, wie viel Platz eine ebene Figur einnimmt. Er wird in Quadrateinheiten angegeben; der Umfang misst dagegen die Länge des Randes.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Mit Einheitsquadraten messen

Ein Quadratzentimeter ist die Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge 1 cm. Lückenloses Auslegen ohne Überlappung macht Flächen vergleichbar. Halbe Einheitsquadrate kannst du zusammenzählen. Beim Umrechnen werden beide Längenrichtungen berücksichtigt.

  1. Wähle eine Flächeneinheit.

  2. Zähle ganze und zusammengesetzte Teilquadrate.

1 m2=10000 cm2\mathsf{1\,\mathsf{m}^2=10000\,\mathsf{cm}^2}

Vier Spalten und drei Reihen ergeben zwölf Zentimeterquadrate.

Erklärung 02

Quadrat und Rechteck

Im Rechteck geben Länge und Breite die Anzahl der Reihen und Spalten an. Beim Quadrat sind beide Seiten gleich lang.

  1. Nutze dieselbe Längeneinheit.

  2. Multipliziere die beiden Seiten.

ARechteck=ab,AQuadrat=a2\mathsf{A_{\mathsf{Rechteck}}=ab,\qquad A_{\mathsf{Quadrat}}=a^2}

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck ist 4 cm breit und 7 cm lang. Berechne die Fläche.

A=4⋅7=28 cm2\mathsf{A=4\cdot7=28\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Es passen 28 Quadratzentimeter hinein.

Erklärung 03

Dreieck: die senkrechte Höhe

Ein Dreieck beansprucht die Hälfte eines passenden Parallelogramms. Die Höhe muss senkrecht auf der gewählten Grundseite stehen. Im rechtwinkligen Dreieck können die beiden Katheten als Grundseite und Höhe dienen.

  1. Wähle eine Grundseite.

  2. Finde ihre senkrechte Höhe.

  3. Halbiere das Produkt.

A=gh2\mathsf{A=\frac{gh}{2}}

So geht es am Beispiel

g = 8 cm und h = 3 cm. Berechne die Dreiecksfläche.

A=8⋅32=12 cm2\mathsf{A=\frac{8\cdot3}{2}=12\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Die Fläche beträgt 12 Quadratzentimeter.

Erklärung 04

Parallelogramm, Trapez und Raute

Beim Parallelogramm zählt die senkrechte Höhe, nicht die schräge Seite. Im Trapez sind a und c die parallelen Seiten; h ist ihr Abstand. Bei der Raute stehen die Diagonalen e und f senkrecht aufeinander.

  1. Prüfe, welche Größen tatsächlich gegeben sind.

  2. Ordne Grundseite, Höhe oder Diagonalen zu.

AParallelogramm=gh,ATrapez=(a+c)h2,ARaute=ef2\mathsf{A_{\mathsf{Parallelogramm}}=gh,\quad A_{\mathsf{Trapez}}=\frac{(a+c)h}{2},\quad A_{\mathsf{Raute}}=\frac{ef}{2}}

Trapez a 7,c 3,h 3; Höhe senkrecht zwischen parallelen Seiten.

Erklärung 05

Kreisfläche aus dem Radius

Der Radius reicht vom Mittelpunkt bis zum Rand. Ein gegebener Durchmesser muss zuerst halbiert werden. Ein Ergebnis mit π ist exakt; eine Dezimalzahl ist meist gerundet.

  1. Bestimme den Radius.

  2. Quadriere ihn und multipliziere mit π.

A=πr2\mathsf{A=\pi r^2}

So geht es am Beispiel

Ein Kreis hat Durchmesser 10 cm. Berechne seine Fläche.

r=10:2=5 cm\mathsf{r=10:2=5\,\mathsf{cm}}
A=25π cm2≈78,54 cm2\mathsf{A=25\pi\,\mathsf{cm}^2\approx78{,}54\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Der Radius ist 5 cm, nicht 10 cm.

Erklärung 06

Zusammengesetzte Flächen

Zerlege eine Figur in bekannte Teilflächen oder ergänze sie zu einer einfachen Außenfigur. Beim Abziehen darf kein Teil doppelt entfernt werden.

  1. Skizziere die Zerlegung.

  2. Berechne die Teilflächen in derselben Einheit.

  3. Addiere oder subtrahiere.

Gesamtfläche = Außenfläche − Ausschnitt.

So geht es am Beispiel

Ein 6-mal 5-cm-Rechteck erhält einen 2-mal 3-cm-Ausschnitt. Berechne die Restfläche.

A=6⋅5−2⋅3=24 cm2\mathsf{A=6\cdot5-2\cdot3=24\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Die Restfläche beträgt 24 Quadratzentimeter.

Erklärung 07

Fläche und Umfang trennen

Flächeninhalt hat Quadrateinheiten, Umfang hat Längeneinheiten. Gleiche Flächen können verschiedene Umfänge haben. Flächenberechnung übt die Formelwahl und Rückwärtsrechnung; Fläche vertieft das Auslegen und Vergleichen.

  1. Prüfe die gefragte Größe.

  2. Kontrolliere die Einheit.

Quadratzentimeter gehören zur Fläche; Zentimeter zum Umfang.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Flächeninhalt · AnwendenEin Quadrat hat Seitenlänge 5 cm. Berechne seine Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=52=25 cm2\mathsf{A=5^2=25\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Flächeninhalt25 Quadratzentimeter
  2. Aufgabe 2Flächeninhalt · AnwendenEin Rechteck misst 3 cm mal 8 cm. Berechne die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=3⋅8=24 cm2\mathsf{A=3\cdot8=24\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Flächeninhalt24 Quadratzentimeter
  3. Aufgabe 3Flächeninhalt · AnwendenEin rechtwinkliges Dreieck hat Katheten 6 cm und 8 cm. Berechne seine Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=6⋅82=24 cm2\mathsf{A=\frac{6\cdot8}{2}=24\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Flächeninhalt24 Quadratzentimeter
  4. Aufgabe 4Flächeninhalt · AnwendenEin Parallelogramm hat g = 7 cm und h = 4 cm. Ein Trapez hat parallele Seiten 7 cm und 3 cm sowie Höhe 4 cm. Berechne beide Flächen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      AP=7⋅4=28 cm2\mathsf{A_P=7\cdot4=28\,\mathsf{cm}^2}
      AT=(7+3)⋅42=20 cm2\mathsf{A_T=\frac{(7+3)\cdot4}{2}=20\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Parallelogramm28 Quadratzentimeter
    2. Trapez20 Quadratzentimeter
  5. Aufgabe 5Flächeninhalt · AnwendenDie Diagonalen einer Raute sind 6 cm und 10 cm lang. Berechne die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=6⋅102=30 cm2\mathsf{A=\frac{6\cdot10}{2}=30\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Flächeninhalt30 Quadratzentimeter
  6. Aufgabe 6Flächeninhalt · AnwendenEin Kreis hat Radius 3 cm. Gib die Fläche exakt und auf zwei Dezimalstellen an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=9π cm2≈28,27 cm2\mathsf{A=9\pi\,\mathsf{cm}^2\approx28{,}27\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Exakte Fläche9π cm2\mathsf{9\pi\,\mathsf{cm}^2}
    2. Gerundete Fläche28,27 Quadratzentimeter
  7. Aufgabe 7Flächeninhalt · AnwendenZerlege die L-Fläche durch eine zusätzliche Linie in zwei Rechtecke. Berechne den Flächeninhalt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Zerlegung

    Maßhaltige L-Fläche: Außen 6x 3, Ausschnitt 2x 1; Zerlegung fehlt.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Links entsteht ein 4-mal 3-Rechteck, rechts ein 2-mal 2-Rechteck.

      A=4⋅3+2⋅2=16 cm2\mathsf{A=4\cdot3+2\cdot2=16\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. ZerlegungSenkrechte Linie von der einspringenden Ecke bis zum unteren Rand.
    2. Flächeninhalt16 Quadratzentimeter
  8. Aufgabe 8Flächeninhalt · AnwendenFür ein Rechteck wird A = 18 cm angegeben. Was ist an der Einheit falsch?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Flächen werden mit Quadrateinheiten gemessen.

    Ergebnis

    1. Richtige Einheit18 Quadratzentimeter; cm wäre eine Längeneinheit.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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