Dreiecke berechnen · Erklären & üben

Flächeninhalt Dreieck

Der Flächeninhalt misst das Innere eines Dreiecks. Du brauchst eine Grundseite und die zugehörige senkrechte Höhe, nicht einfach zwei beliebige Seiten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Grundseite und zugehörige Höhe

Jede Seite kann als Grundseite $\mathsf{g}$ dienen. Die zugehörige Höhe $\mathsf{h_g}$ verläuft vom gegenüberliegenden Eckpunkt senkrecht auf die Grundseitengerade. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann ihr Fußpunkt außerhalb der Seite liegen.

Wähle ein zusammengehöriges Paar $\mathsf{g,h_g}$ .
Multipliziere die beiden Längen und halbiere das Produkt.

$\mathsf{A=\frac{g\cdot h_g}{2}}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{g=8\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{h_g=3\,\mathsf{cm}}$ . Berechne die Fläche.

\mathsf{A=\frac{8\cdot3}{2}\,\mathsf{cm}^2=12\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 02

Warum wird halbiert?

Zwei kongruente Dreiecke ergeben ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe. Ein Dreieck besitzt die Hälfte seiner Fläche. Beim rechtwinkligen Dreieck kannst du stattdessen zu einem Rechteck ergänzen. Verschiebst du die Spitze parallel zur Grundseite bei gleicher Höhe, bleibt die Fläche gleich.

Ergänze eine kongruente Kopie.
Halbiere die Fläche der entstandenen Figur.

$\mathsf{2A=g\cdot h_g}$

So geht es am Beispiel

Ein Dreieck hat $\mathsf{g=6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{h_g=4\,\mathsf{cm}}$ . Begründe seine Fläche über eine zweite Kopie.

\mathsf{A_{\mathsf{P}}=6\cdot4\,\mathsf{cm}^2=24\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{A=24:2\,\mathsf{cm}^2=12\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 03

Besondere Dreiecke

Im rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten gegenseitig Grundseite und Höhe. Im gleichschenkligen Dreieck halbiert die Höhe zur Basis diese Basis. Mit Pythagoras erhältst du die fehlende Höhe. Im gleichseitigen Dreieck gilt $\mathsf{h=\frac{\sqrt3}{2}s}$ und damit $\mathsf{A=\frac{\sqrt3}{4}s^2}$ . Der Umfang ist dagegen die Summe der drei Randseiten.

Prüfe zuerst den Dreieckstyp.
Berechne eine fehlende Höhe, bevor du die Fläche bildest.

$\mathsf{A_{\mathsf{rechtwinklig}}=\frac{p\cdot q}{2}}$

So geht es am Beispiel

Ein gleichschenkliges Dreieck hat Schenkel $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$ und Basis $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$ . Berechne die Fläche.

\mathsf{h=\sqrt{5^2-3^2}\,\mathsf{cm}=4\,\mathsf{cm}}

\mathsf{A=\frac{6\cdot4}{2}\,\mathsf{cm}^2=12\,\mathsf{cm}^2}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Flächeninhalt Dreieck · basis $\mathsf{g=10\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{h_g=6\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächeninhalt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=\frac{10\cdot6}{2}\,\mathsf{cm}^2=30\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Flächeninhalt $\mathsf{A=30\,\mathsf{cm}^2}$
02
Aufgabe 2Flächeninhalt Dreieck · standard $\mathsf{g=0{,}8\,\mathsf{m}}$ und $\mathsf{h_g=30\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme die Fläche in Quadratmetern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächeninhalt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{30\,\mathsf{cm}=0{,}3\,\mathsf{m}}$
  $\mathsf{A=\frac{0{,}8\cdot0{,}3}{2}\,\mathsf{m}^2=0{,}12\,\mathsf{m}^2}$
Ergebnis
1. Flächeninhalt $\mathsf{A=0{,}12\,\mathsf{m}^2}$
03
Aufgabe 3Flächeninhalt Dreieck · standardDie Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks messen $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{8\,\mathsf{cm}}$ . Berechne seine Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächeninhalt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Katheten stehen senkrecht aufeinander.
  $\mathsf{A=\frac{6\cdot8}{2}\,\mathsf{cm}^2=24\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Flächeninhalt $\mathsf{A=24\,\mathsf{cm}^2}$
04
Aufgabe 4Flächeninhalt Dreieck · standardIm Raster liegen $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(8|0)}$ und $\mathsf{C(2|3)}$ . Zeichne die Höhe von $\mathsf{C}$ auf $\mathsf{AB}$ ein, markiere den rechten Winkel und beschrifte die Höhe. Eine Einheit entspricht $\mathsf{1\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhenzeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Höhenzeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Lot endet bei $\mathsf{H(2|0)}$ .
  $\mathsf{CH=3\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. HöhenzeichnungLot $\mathsf{CH}$ mit $\mathsf{H(2|0)}$ ; rechter Winkel bei $\mathsf{H}$ ; $\mathsf{h=3\,\mathsf{cm}}$ .
05
Aufgabe 5Flächeninhalt Dreieck · transferDie Spitze wird parallel zur Grundseite verschoben. Vorher und nachher gilt $\mathsf{g=8\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{h_g=3\,\mathsf{cm}}$ . Berechne beide Flächen und erkläre den Vergleich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche vorher
Fläche nachher
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A_1=A_2=\frac{8\cdot3}{2}\,\mathsf{cm}^2=12\,\mathsf{cm}^2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Grundseite und senkrechter Abstand bleiben unverändert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fläche vorher $\mathsf{A_1=12\,\mathsf{cm}^2}$
2. Fläche nachher $\mathsf{A_2=12\,\mathsf{cm}^2}$
3. BegründungDie Formel hängt nur von Grundseite und zugehöriger Höhe ab.
06
Aufgabe 6Flächeninhalt Dreieck · transferEin gleichseitiges Dreieck hat Seitenlänge $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme Fläche und Umfang exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächeninhalt
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=\frac{\sqrt3}{4}\cdot6^2\,\mathsf{cm}^2=9\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{U=3\cdot6\,\mathsf{cm}=18\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Flächeninhalt $\mathsf{A=9\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}$
2. Umfang $\mathsf{U=18\,\mathsf{cm}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich ordne jeder Grundseite die senkrechte Höhe zu.
Ich kann den Faktor ein Halb begründen.
Ich unterscheide Längen- und Flächeneinheiten.

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