Dreiecke berechnen · Erklären & üben

Dreieck Formeln

Eine Formel passt zur gesuchten Größe und zu den gegebenen Daten. Beim Dreieck heißen die Seiten gegenüber $\mathsf{A,B,C}$ entsprechend $\mathsf{a,b,c}$ ; die Winkel dort heißen $\mathsf{\alpha,\beta,\gamma}$ .

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Rand oder Fläche?

Der Umfang misst den Rand, die Fläche das Innere. Für die Fläche genügt eine Seite mit ihrer zugehörigen Höhe. Die Höhe muss senkrecht auf der zugehörigen Seitengeraden stehen. Alle Längen werden zuerst in dieselbe Einheit umgerechnet.

Benenne die gesuchte Größe und ihre Einheit.
Wähle die Formel mit den passenden gegebenen Größen.

$\mathsf{U=a+b+c,\qquad A=\frac{c\cdot h_c}{2}}$

So geht es am Beispiel

Ein Dreieck hat Seiten $\mathsf{5,5,6\,\mathsf{cm}}$ und zur Seite $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$ die Höhe $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme Umfang und Fläche.

\mathsf{U=(5+5+6)\,\mathsf{cm}=16\,\mathsf{cm}}

\mathsf{A=\frac{6\cdot4}{2}\,\mathsf{cm}^2=12\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 02

Zusatzbedingungen nutzen

Ein ungleichseitiges Dreieck hat drei verschieden lange Seiten. Ein gleichschenkliges hat mindestens zwei gleich lange Seiten; das gleichseitige mit drei gleichen Seiten ist ein Sonderfall. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel. Nur dort gilt für Katheten $\mathsf{p,q}$ und Hypotenuse $\mathsf{r}$ der Satz des Pythagoras. Beim gleichseitigen Dreieck mit Seite $\mathsf{s}$ gilt $\mathsf{U=3s}$ , beim gleichschenkligen mit Schenkeln $\mathsf{s}$ und Basis $\mathsf{g}$ gilt $\mathsf{U=2s+g}$ .

Prüfe, welche Zusatzbedingung ausdrücklich gegeben ist.
Setze die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel ein.

$\mathsf{p^2+q^2=r^2}$

So geht es am Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten $\mathsf{9\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{12\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme die Hypotenuse.

\mathsf{r=\sqrt{9^2+12^2}\,\mathsf{cm}=\sqrt{225}\,\mathsf{cm}=15\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Winkel ergänzen

Die drei Innenwinkel ergeben zusammen einen gestreckten Winkel. Beim gleichseitigen Dreieck ist jeder Winkel $\mathsf{60^\circ}$ . Beim rechtwinkligen Dreieck ergeben die beiden spitzen Winkel zusammen $\mathsf{90^\circ}$ .

Addiere die bekannten Winkel.
Ziehe ihre Summe von $\mathsf{180^\circ}$ ab.

$\mathsf{\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{\alpha=48^\circ}$ und $\mathsf{\beta=67^\circ}$ . Berechne $\mathsf{\gamma}$ .

\mathsf{\gamma=180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Dreieck Formeln · basisEin Dreieck hat Seiten $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{7\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme seinen Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{U=(4+6+7)\,\mathsf{cm}=17\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Umfang $\mathsf{U=17\,\mathsf{cm}}$
02
Aufgabe 2Dreieck Formeln · standardZur Grundseite $\mathsf{12\,\mathsf{cm}}$ gehört die Höhe $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächeninhalt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=\frac{12\cdot5}{2}\,\mathsf{cm}^2=30\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Flächeninhalt $\mathsf{A=30\,\mathsf{cm}^2}$
03
Aufgabe 3Dreieck Formeln · standardEin gleichseitiges Dreieck hat Seitenlänge $\mathsf{8\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme Umfang und einen Innenwinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umfang
Innenwinkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{U=3\cdot8\,\mathsf{cm}=24\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{180^\circ:3=60^\circ}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Umfang $\mathsf{U=24\,\mathsf{cm}}$
2. Innenwinkel $\mathsf{60^\circ}$
04
Aufgabe 4Dreieck Formeln · standardKennzeichne im Rasterdreieck die Grundseite $\mathsf{AB}$ und zeichne die zugehörige Höhe von $\mathsf{C}$ mit rechtem Winkel ein. Gegeben sind $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(8|0)}$ , $\mathsf{C(2|3)}$ . Eine Einheit entspricht $\mathsf{1\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Grundseite und Höhe
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Grundseite und Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{AB}$ liegt waagerecht; das Lot von $\mathsf{C}$ endet bei $\mathsf{H(2|0)}$ .
  $\mathsf{g=8\,\mathsf{cm},\quad h_g=3\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Grundseite und Höhe $\mathsf{AB}$ als Grundseite; Lot $\mathsf{CH}$ mit $\mathsf{H(2|0)}$ ; rechter Winkel bei $\mathsf{H}$ .
05
Aufgabe 5Dreieck Formeln · transferEin rechtwinkliges Dreieck hat Katheten $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{12\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme Umfang und Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umfang
Flächeninhalt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=\sqrt{5^2+12^2}\,\mathsf{cm}=13\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{U=(5+12+13)\,\mathsf{cm}=30\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{A=\frac{5\cdot12}{2}\,\mathsf{cm}^2=30\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Umfang $\mathsf{U=30\,\mathsf{cm}}$
2. Flächeninhalt $\mathsf{A=30\,\mathsf{cm}^2}$
06
Aufgabe 6Dreieck Formeln · transferJemand verwendet $\mathsf{A=(a+b+c)/2}$ als Flächenformel. Erkläre anhand der Einheiten den Fehler und nenne eine gültige Flächenformel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler
Gültige Formel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Summe von drei Längen bleibt auch nach Division durch zwei eine Länge.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für eine Fläche werden zwei passende Längen multipliziert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. FehlerDie Formel liefert eine Längeneinheit, keine Quadrateinheit.
2. Gültige Formel $\mathsf{A=\frac{c\cdot h_c}{2}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne die gesuchte Größe und wähle eine passende Formel.
Ich benutze Pythagoras nur in rechtwinkligen Dreiecken.
Ich rechne die Längen zuerst in dieselbe Einheit um.

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