Vierecke · Erklären & üben

Flächeninhalt Viereck

Es gibt keine einzelne Seitenformel, die für jedes Viereck ohne Zusatzangaben passt. Erkenne zuerst die Figur oder zerlege sie in Dreiecke.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Rechteck, Quadrat und Parallelogramm

Beim Rechteck sind benachbarte Seiten senkrecht, beim Quadrat zusätzlich gleich lang. Beim Parallelogramm brauchst du die Höhe zur gewählten Grundseite; die schräge Seitenlänge ersetzt sie nicht.

Figurenart und gegebene Größen prüfen.
Senkrechte Höhe von Seitenlänge unterscheiden.
Einheit als Flächeneinheit angeben.

$\mathsf{A_{\textsf{Rechteck}}=ab,\quad A_{\textsf{Quadrat}}=a^2,\quad A_{\textsf{Parallelogramm}}=a h_a}$

So geht es am Beispiel

Vergleiche ein Rechteck mit Seiten 8 und 3 cm mit einem Parallelogramm gleicher Grundseite 8 cm und Höhe 3 cm.

\mathsf{A_R=8\cdot3=24\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{A_P=8\cdot3=24\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 02

Trapez und Drachen

Für ein Trapez mit parallelen Seiten a und c ist h deren senkrechter Abstand. Hier bedeutet Trapez mindestens ein paralleles Seitenpaar; die Formel gilt auch bei a=c. Beim konvexen Drachen stehen die Diagonalen senkrecht; verwendet werden ihre ganzen Längen.

Beim Trapez die parallelen Seiten addieren.
Den Mittelwert mit der Höhe multiplizieren.
Beim Drachen das halbe Produkt der Diagonalen bilden.

$\mathsf{A_T=\frac{a+c}{2}h,\qquad A_D=\frac{ef}{2}}$

Konvexes Viereck entlangAC in zwei Dreiecke geteilt; Höhen auf verschiedenen Seiten.

So geht es am Beispiel

Ein Trapez hat parallele Seiten von 11 und 5 cm und Höhe 4 cm. Berechne die Fläche.

\mathsf{A=\frac{11+5}{2}\cdot4=8\cdot4=32\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 03

Allgemeine Vierecke zerlegen

Ein einfaches, nicht entartetes Viereck lässt sich entlang einer geeigneten inneren Diagonale in zwei Dreiecke teilen. Für ein konvexes Viereck ist jede Diagonale geeignet. Liegen die beiden übrigen Ecken auf verschiedenen Seiten der gewählten Diagonale, addierst du die beiden Dreiecksflächen. Bei einspringenden Vierecken wählst du ausdrücklich eine innenliegende Diagonale.

Wähle eine Diagonale, die ganz innerhalb der Figur liegt.
Miss die senkrechten Höhen der beiden Dreiecke zu dieser Diagonale.
Addiere ihre Flächen.

$\mathsf{A=\frac{e h_1}{2}+\frac{e h_2}{2}}$

So geht es am Beispiel

Eine innere Diagonale eines Vierecks ist 10 cm lang. Die beiden Dreieckshöhen betragen 3 und 4 cm. Berechne die Fläche.

\mathsf{A_1=10\cdot3:2=15\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{A_2=10\cdot4:2=20\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{A=15+20=35\,\mathsf{cm}^2}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Flächeninhalt Viereck · EinstiegEin Quadrat hat Seiten von 7 cm. Ein Rechteck hat Seiten von 9 cm und 4 cm. Berechne beide Flächen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quadratfläche
Rechteckfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A_Q=7^2=49\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{A_R=9\cdot4=36\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quadratfläche49 cm²
2. Rechteckfläche36 cm²
02
Aufgabe 2Flächeninhalt Viereck · EinstiegEin Parallelogramm hat Grundseite 10 cm, zugehörige Höhe 6 cm und schräge Seite 7 cm. Berechne seine Fläche und erkläre, warum die 7 nicht benötigt wird.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche
Warum nicht 7 cm?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=10\cdot6=60\,\mathsf{cm}^2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Formel verwendet die senkrechte Höhe 6 cm, nicht die schräge Seite.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fläche60 cm²
2. Warum nicht 7 cm?Die 7 cm sind die schräge Seitenlänge, nicht die zugehörige Höhe.
03
Aufgabe 3Flächeninhalt Viereck · AnwendenEin Trapez hat parallele Seiten von 14 cm und 8 cm sowie Höhe 5 cm. Berechne die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Trapezfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=\frac{14+8}{2}\cdot5=55\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Trapezfläche55 cm²
04
Aufgabe 4Flächeninhalt Viereck · AnwendenEin konvexer Drachen hat Diagonalen von 9 cm und 12 cm. Berechne seine Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Drachenfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=9\cdot12:2=54\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Drachenfläche54 cm²
05
Aufgabe 5Flächeninhalt Viereck · AnwendenZeichne A(1|3),B(4|0),C(9|3),D(6|6). Zeichne die innere Diagonale AC und die senkrechten Höhen von B und D zu AC. Berechne beide Dreiecksflächen und die Gesamtfläche in Flächeneinheiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Viereck mit innerer Diagonale und Höhen
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Viereck mit innerer Diagonale und Höhen
Dreieck ABC
Dreieck ACD
Gesamtfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  AC ist 8 Einheiten lang. Beide Höhen betragen 3 Einheiten.
  $\mathsf{A_1=A_2=8\cdot3:2=12,\qquad A=12+12=24}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Viereck mit innerer Diagonale und HöhenSiehe Muster.
2. Dreieck ABC12 Flächeneinheiten
3. Dreieck ACD12 Flächeneinheiten
4. Gesamtfläche24 Flächeneinheiten
06
Aufgabe 6Flächeninhalt Viereck · TransferEin allgemeines konvexes Viereck hat Diagonalen von 10 cm und 6 cm. Ist sein Flächeninhalt damit sicher 30 cm²? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil und fehlende Angabe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das halbe Diagonalenprodukt gilt, wenn die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei anderem Schnittwinkel ist die Fläche kleiner; der Winkel ist hier nicht angegeben.
Ergebnis
1. Urteil und fehlende AngabeNein.30 cm² folgt nur bei senkrechten Diagonalen. Die Längen allein genügen nicht.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle eine Formel nach der Figur und den Angaben.
Höhen stehen senkrecht auf der Grundseite.
Ein allgemeines Viereck kann ich in Dreiecke teilen.

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