Vierecke · Erklären & üben

Haus der Vierecke

Das Haus der Vierecke ordnet Figuren nach ihren Eigenschaften. Ein Pfeil von einer speziellen zu einer allgemeineren Familie bedeutet: Jede Figur unten gehört auch zur Familie am Pfeilende.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche Definitionen gelten?

Unser Haus enthält nur einfache, konvexe, nicht entartete Vierecke. Trapez bedeutet mindestens ein paralleles Gegenseitenpaar. Ein Parallelogramm hat zwei. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel; eine Raute vier gleiche Seiten. Ein Drachen hat zwei Paare gleich langer Nachbarseiten, wobei alle vier gleich lang sein dürfen. Dadurch gehört eine Raute auch zur Drachenfamilie.

Weiterlernen im Thema Dreiecksarten: Auch Dreiecke werden nach Seiten und Winkeln geordnet. Die Einordnung in gleichseitige, gleichschenklige oder rechtwinklige Dreiecke ist ein Vergleich der Ordnungsmethode; Dreiecke gehören wegen ihrer drei Ecken nicht in das Haus der Vierecke.

Lies einen Pfeil als „ist immer auch ein“.
Übernimm alle Eigenschaften der übergeordneten Familie.
Drehe die Pfeilrichtung nicht ohne Begründung um.

Quadrat → Rechteck und Raute; Raute → Parallelogramm und Drachen.

So geht es am Beispiel

Warum gehört ein Quadrat zur Trapezfamilie?

Ein Quadrat hat zwei Paare paralleler Gegenseiten.

Damit besitzt es insbesondere mindestens ein solches Paar.

Die inklusive Trapezdefinition ist erfüllt.

Erklärung 02

Seiten und Winkel entscheiden

Eine Figur kann mehreren Familien angehören. Ein Rechteck muss keine vier gleich langen Seiten haben, eine Raute keine rechten Winkel. Das Quadrat vereint diese beiden Zusatzbedingungen. Allgemeine Vierecke und Trapeze müssen keine gleichen Seiten oder rechten Winkel besitzen.

Prüfe zuerst Parallelität.
Prüfe dann gleiche Seiten und rechte Winkel.
Nenne nur Eigenschaften, die wirklich gegeben oder bewiesen sind.

$\mathsf{\textsf{Rechteck und Raute}\Longrightarrow\textsf{Quadrat}}$

Rechteck und Raute als zwei Merkmalsfamilien.

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck hat Seiten von 4 cm und 7 cm. Ist es eine Raute?

Die Seitenlängen sind verschieden.

Die Bedingung vier gleich langer Seiten ist nicht erfüllt.

Erklärung 03

Symmetrien sind zusätzliche Merkmale

Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch, aber nicht jedes besitzt eine Spiegelachse. Ein nicht quadratisches Rechteck hat zwei Spiegelachsen durch Seitenmitten; eine nicht quadratische Raute hat die beiden Diagonalen als Achsen. Ein Quadrat hat vier. Ein Drachen, der keine Raute ist, hat eine.

Unterscheide Spiegelung und Drehung um 180 Grad.
Prüfe Sonderfälle, bevor du „genau“ sagst.
Ein allgemeines Viereck kann ganz ohne Symmetrie sein.

Mehr spezielle Eigenschaften können zusätzliche Symmetrien erzeugen.

So geht es am Beispiel

Vergleiche ein nicht quadratisches Rechteck mit einem Quadrat.

Beide sind punktsymmetrisch.

Das Rechteck besitzt zwei Spiegelachsen.

Beim Quadrat kommen die beiden Diagonalen hinzu.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Haus der Vierecke · EinstiegNenne alle Familien unseres Hauses, zu denen ein Quadrat gehört.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Alle Familien
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Quadrat ist Rechteck und Raute.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Daraus folgen Parallelogramm, Drachen und Trapez; alle sind Vierecke.
Ergebnis
1. Alle FamilienQuadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Drachenviereck, Trapez, Viereck.
02
Aufgabe 2Haus der Vierecke · EinstiegPrüfe: „Jedes Rechteck ist eine Raute.“ Gib bei einer falschen Aussage ein konkretes Gegenbeispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil und Gegenbeispiel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ein Rechteck mit Seiten 3 cm und 8 cm hat nicht vier gleiche Seiten.
Ergebnis
1. Urteil und GegenbeispielFalsch. Ein 3-mal 8-cm-Rechteck ist keine Raute.
03
Aufgabe 3Haus der Vierecke · AnwendenEin konvexes Viereck hat vier gleiche Seiten und mindestens einen rechten Winkel. Welche speziellste Familie ist sicher? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Speziellste Familie
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Vier gleiche Seiten machen es zur Raute und damit zum Parallelogramm.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Ein rechter Winkel erzwingt im Parallelogramm vier rechte Winkel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Es ist damit zugleich Raute und Rechteck.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Speziellste FamilieQuadrat
2. BegründungVier gleiche Seiten und vier rechte Winkel bestimmen ein Quadrat.
04
Aufgabe 4Haus der Vierecke · AnwendenErgänze in der Vorlage alle direkten Pfeile unseres Hauses. Pfeile laufen von der speziellen zur allgemeineren Familie. Verbinde das Quadrat mit Rechteck und Raute; ergänze die weiteren Beziehungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Haus mit allen Pfeilen
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Haus mit allen Pfeilen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Rechteck→Parallelogramm; Raute→Parallelogramm und Drachen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Parallelogramm→Trapez; Trapez→Viereck; Drachen→Viereck.
Ergebnis
1. Haus mit allen PfeilenSiehe vollständiges Musterhaus.
05
Aufgabe 5Haus der Vierecke · AnwendenGib die Anzahl der Spiegelachsen an: nicht quadratisches Rechteck; nicht quadratische Raute; Quadrat; Drachen, der keine Raute ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechteck
Raute
Quadrat
Drachen ohne Rauteneigenschaft
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Rechteck: zwei Seitenmittelachsen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Raute: beide Diagonalen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Quadrat: diese vier Achsen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Drachen ohne Rauteneigenschaft: eine Symmetriediagonale.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rechteck2
2. Raute2
3. Quadrat4
4. Drachen ohne Rauteneigenschaft1
06
Aufgabe 6Haus der Vierecke · TransferEine andere Klasse definiert Trapeze mit genau einem parallelen Gegenseitenpaar. Welche Verbindung unseres Hauses fällt dann weg? Bleiben Rechtecke Parallelogramme?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wegfallende Verbindung
Rechtecke bleiben Parallelogramme?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ein Parallelogramm hat zwei parallele Seitenpaare und erfüllt die exklusive Trapezdefinition nicht.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Beziehung Rechteck→Parallelogramm hängt nicht von der Trapezdefinition ab.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wegfallende VerbindungParallelogramm→Trapez
2. Rechtecke bleiben Parallelogramme?Ja. Sie haben weiterhin zwei parallele Gegenseitenpaare.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann die Richtung der Pfeile erklären.
Ich nenne die verwendete Trapezdefinition.
Ich trenne allgemeine Aussagen von Sonderfällen.

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