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Geometrische Grundlagen · Erklären & üben

Fünfeck

Ein Fünfeck hat fünf Seiten und fünf Ecken. Nur beim regelmäßigen Fünfeck sind alle Seiten und alle Innenwinkel gleich.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Fünf Ecken reichen für den Namen

Wir betrachten einfache Fünfecke ohne Selbstüberschneidung. Sie können konvex sein oder eine einspringende Ecke haben. Die Innenwinkelsumme beträgt immer 540°. Bei konvexen Fünfecken zeigt das die Zerlegung von einer Ecke aus in drei Dreiecke.

  1. Zähle fünf Ecken und fünf Seiten.

  2. Unterscheide den allgemeinen Fall vom regelmäßigen.

S=(5−2)⋅180∘=540∘\mathsf{S=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ}

Konvexes Fünfeck mit zwei Diagonalen von A, die drei Dreiecke bilden.

Erklärung 02

Regelmäßige Fünfecke

Ein regelmäßiges Fünfeck hat fünf gleich lange Seiten und fünf gleich große Innenwinkel. Jeder Innenwinkel beträgt 108°. Fünf Diagonalen verbinden nicht benachbarte Ecken; sie sind im regelmäßigen Fünfeck gleich lang. Seine fünf Symmetrieachsen verlaufen jeweils durch eine Ecke und die Mitte der gegenüberliegenden Seite.

  1. Teile die Winkelsumme durch 5.

  2. Zähle die Diagonalen ohne Doppelzählung.

α=540∘:5=108∘\mathsf{\alpha=540^\circ:5=108^\circ}

Regelmäßiges Fünfeck: Mittelpunktstrahlen und Apothema senkrecht zur unteren Seite.

Erklärung 03

Umfang und Fläche

Für ein regelmäßiges Fünfeck gilt U = 5a. Verbinde den Mittelpunkt mit allen Ecken: Es entstehen fünf Dreiecke mit Grundseite a und gemeinsamer Höhe r. Diese Apothema r ist der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zu einer Seite, nicht der Abstand zu einer Ecke. Bei unregelmäßigen Fünfecken addierst du die fünf Seiten und zerlegst die Fläche passend.

  1. Berechne den Umfang.

  2. Nutze die senkrechte Apothema für die Fläche.

U=5a,A=5ar2=Ur2\mathsf{U=5a,\qquad A=\frac{5ar}{2}=\frac{Ur}{2}}

So geht es am Beispiel

Ein regelmäßiges Fünfeck hat a = 6 cm und die gerundete Apothema r ≈ 4,13 cm. Berechne Umfang und näherungsweise Fläche.

U=5⋅6=30 cm\mathsf{U=5\cdot6=30\,\mathsf{cm}}
A≈30⋅4,132=61,95 cm2\mathsf{A\approx\frac{30\cdot4{,}13}{2}=61{,}95\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Die Fläche ist wegen der gerundeten Apothema ein Näherungswert.

Erklärung 04

Vom Fünfeck zum Vieleck

Im Thema Vieleck findest du die allgemeinen Formeln für Winkel und Diagonalen. Gleich lange Seiten allein machen ein Fünfeck noch nicht regelmäßig; auch die Innenwinkel müssen gleich sein.

  1. Prüfe beide Regelmäßigkeitsbedingungen.

  2. Nutze allgemeine Regeln nur mit passendem n.

d=5(5−3)2=5\mathsf{d=\frac{5(5-3)}2=5}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Fünfeck · AnwendenBerechne die Innenwinkelsumme eines einfachen Fünfecks.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S=3⋅180∘=540∘\mathsf{S=3\cdot180^\circ=540^\circ}

    Ergebnis

    1. Winkelsumme540∘\mathsf{540^\circ}
  2. Aufgabe 2Fünfeck · AnwendenVier Innenwinkel eines konvexen Fünfecks betragen 90°,100°,110° und 120°. Berechne den fünften.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      α=540∘−(90∘+100∘+110∘+120∘)=120∘\mathsf{\alpha=540^\circ-(90^\circ+100^\circ+110^\circ+120^\circ)=120^\circ}

    Ergebnis

    1. Fünfter Innenwinkel120∘\mathsf{120^\circ}
  3. Aufgabe 3Fünfeck · AnwendenEin regelmäßiges Fünfeck hat Seitenlänge 8 cm. Berechne den Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      U=5⋅8=40 cm\mathsf{U=5\cdot8=40\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Umfang40 cm
  4. Aufgabe 4Fünfeck · AnwendenEin regelmäßiges Fünfeck hat Umfang 20 cm und gerundete Apothema 2,75 cm. Berechne die Fläche näherungsweise.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A≈20⋅2,752=27,5 cm2\mathsf{A\approx\frac{20\cdot2{,}75}{2}=27{,}5\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Näherungswert der Fläche27,5 Quadratzentimeter
  5. Aufgabe 5Fünfeck · AnwendenZeichne alle Diagonalen des vorgegebenen Fünfecks.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Diagonalen

    Beschriftetes regelmäßiges Fünfeck ohne Diagonalen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Von jeder Ecke führen zwei Diagonalen zu nicht benachbarten Ecken.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Jede Diagonale wird nur einmal gezeichnet.

    Ergebnis

    1. DiagonalenAlle fünf Diagonalen sind eingezeichnet.
  6. Aufgabe 6Fünfeck · AnwendenEin Fünfeck hat fünf gleich lange Seiten, aber zwei verschieden große Innenwinkel. Ist es regelmäßig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Regelmäßigkeit verlangt gleiche Seiten und gleiche Winkel.

    Ergebnis

    1. BegründungNein. Die ungleichen Innenwinkel schließen Regelmäßigkeit aus.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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