Funktionen darstellen · Erklären & üben

Funktionen verschieben

Eine Verschiebung bewegt jeden Graphenpunkt um denselben waagerechten und senkrechten Abstand. Form und Größe des Graphen bleiben dabei erhalten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Nach oben oder unten

Bei $\mathsf{g(x)=f(x)+k}$ wird jeder Funktionswert um k verändert. Für $\mathsf{k>0}$ wandert der Graph nach oben, für $\mathsf{k<0}$ nach unten.

Ein Punkt $\mathsf{(a\mid b)}$ wird zu $\mathsf{(a\mid b+k)}$ . Die x-Koordinate bleibt gleich; auch der Definitionsbereich bleibt erhalten.

So geht es am Beispiel

Verschiebe $\mathsf{f(x)=x^2}$ um 3 nach unten.

\mathsf{k=-3}

\mathsf{g(x)=x^2-3}

\mathsf{(0\mid0)\mapsto(0\mid-3)}

\mathsf{(2\mid4)\mapsto(2\mid1)}

Erklärung 02

Nach rechts oder links

Bei $\mathsf{g(x)=f(x-h)}$ wandert der Graph für $\mathsf{h>0}$ nach rechts. Ein Minus im Argument bedeutet also eine Verschiebung nach rechts, nicht nach links.

Der alte Eingabewert a wird bei der neuen Stelle $\mathsf{x=a+h}$ erreicht, denn $\mathsf{(a+h)-h=a}$ . Deshalb wird $\mathsf{(a\mid b)}$ zu $\mathsf{(a+h\mid b)}$ .

Für eine Verschiebung um 2 nach links setzt du $\mathsf{h=-2}$ : $\mathsf{g(x)=f(x+2)}$ .

So geht es am Beispiel

Verschiebe $\mathsf{f(x)=x^2}$ um 3 nach rechts.

\mathsf{h=3}

\mathsf{g(x)=(x-3)^2}

\mathsf{(0\mid0)\mapsto(3\mid0)}

\mathsf{g(3)=(3-3)^2=0}

Erklärung 03

Beide Richtungen verbinden

Die allgemeine Verschiebung lautet:

\mathsf{g(x)=f(x-h)+k}

\mathsf{ (a\mid b)\mapsto(a+h\mid b+k)}

Du kannst die Formel durch markante Punkte kontrollieren: Scheitel, Wurzelanfang oder bekannte Tabellenpunkte.

Ursprüngliche und verschobene Parabel mit markierten Scheiteln.

So geht es am Beispiel

Verschiebe $\mathsf{f(x)=x^2}$ um 2 nach rechts und 1 nach oben.

\mathsf{h=2,\quad k=1}

\mathsf{g(x)=(x-2)^2+1}

\mathsf{(0\mid0)\mapsto(2\mid1)}

\mathsf{(1\mid1)\mapsto(3\mid2)}

\mathsf{(-1\mid1)\mapsto(1\mid2)}

Erklärung 04

Der Definitionsbereich wandert mit

Bei einer horizontalen Verschiebung wird auch der Definitionsbereich verschoben. Aus $\mathsf{D_f}$ entsteht $\mathsf{D_g=\{a+h:a\in D_f\}}$ .

Der Graph von $\mathsf{\sqrt x}$ beginnt bei 0. Nach einer Verschiebung um 4 nach links und 2 nach unten lautet der Term $\mathsf{\sqrt{x+4}-2}$ und der neue Bereich ist $\mathsf{[-4,\infty)}$ .

Wurzelgraphen mit um 3 nach rechts und 1 nach oben verschobenem Anfangspunkt.

So geht es am Beispiel

Bestimme Term, Anfangspunkt und Definitionsbereich nach einer Verschiebung von $\mathsf{\sqrt x}$ um 3 nach rechts und 1 nach oben.

\mathsf{g(x)=\sqrt{x-3}+1}

\mathsf{x-3\ge0}

\mathsf{x\ge3}

\mathsf{(0\mid0)\mapsto(3\mid1)}

Erklärung 05

Term und Zeichnung zusammen lesen

Eine Zahl außerhalb von f verändert die Ausgabe. Eine Zahl im Argument verändert die benötigte Eingabe. Setze bei Unsicherheit einen bekannten Punkt ein.

Ein Faktor wie $\mathsf{2f(x)}$ verändert dagegen die Form in y-Richtung und ist keine reine Verschiebung. Dieses Thema behandelt ausschließlich Verschiebungen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Funktionen verschieben · EinstiegVerschiebe $\mathsf{f(x)=x^2}$ um 5 nach oben. Gib den Term und den Scheitel an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(x)=f(x)+5}$
  $\mathsf{g(x)=x^2+5}$
  $\mathsf{(0\mid0)\mapsto(0\mid5)}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Begründung $\mathsf{g(x)=x^2+5}$ , Scheitel $\mathsf{(0\mid5)}$ .
02
Aufgabe 2Funktionen verschieben · EinstiegVerschiebe $\mathsf{f(x)=x^2}$ um 4 nach links.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=-4}$
  $\mathsf{g(x)=f(x+4)}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Begründung $\mathsf{g(x)=(x+4)^2}$ ; Scheitel $\mathsf{(-4\mid0)}$ .
03
Aufgabe 3Funktionen verschieben · StandardBeschreibe die Verschiebung von $\mathsf{x^2}$ zu $\mathsf{g(x)=(x-5)^2-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=5}$
  $\mathsf{k=-2}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Begründung5 nach rechts und 2 nach unten; Scheitel $\mathsf{(5\mid-2)}$ .
04
Aufgabe 4Funktionen verschieben · StandardEin Punkt $\mathsf{P(-2\mid7)}$ liegt auf f. Wohin wandert er bei $\mathsf{g(x)=f(x-3)+4}$ ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_{neu}=-2+3=1}$
  $\mathsf{y_{neu}=7+4=11}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Begründung $\mathsf{P_{neu}(1\mid11)}$ .
05
Aufgabe 5Funktionen verschieben · StandardFür $\mathsf{g(x)=f(x+2)-3}$ liegt $\mathsf{Q(4\mid1)}$ auf g. Welcher Punkt lag vorher auf f?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Verschiebung ist 2 nach links und 3 nach unten.
  $\mathsf{x_{alt}=4+2=6}$
  $\mathsf{y_{alt}=1+3=4}$
Ergebnis
1. Rechenweg und BegründungDer ursprüngliche Punkt ist $\mathsf{(6\mid4)}$ .
06
Aufgabe 6Funktionen verschieben · StandardVerschiebe $\mathsf{f(x)=\sqrt x}$ um 2 nach rechts und 4 nach unten. Nenne den Definitionsbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(x)=\sqrt{x-2}-4}$
  $\mathsf{x-2\ge0\Rightarrow x\ge2}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Begründung $\mathsf{g(x)=\sqrt{x-2}-4}$ , $\mathsf{D_g=[2,\infty)}$ ; Anfangspunkt $\mathsf{(2\mid-4)}$ .
07
Aufgabe 7Funktionen verschieben · StandardVerschiebe $\mathsf{f(x)=1/x}$ um 1 nach links und 2 nach oben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(x)=\frac1{x+1}+2}$
  $\mathsf{x+1\ne0}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Begründung $\mathsf{g(x)=1/(x+1)+2}$ , $\mathsf{D_g=\mathbb R\setminus\{-1\}}$ .
08
Aufgabe 8Funktionen verschieben · VertiefungFür f sei $\mathsf{D_f=[-1,3]}$ . Welchen Definitionsbereich hat $\mathsf{g(x)=f(x-2)+7}$ ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Alle x-Werte wandern um 2 nach rechts.
  $\mathsf{-1+2=1}$
  $\mathsf{3+2=5}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Begründung $\mathsf{D_g=[1,5]}$ ; die vertikale Verschiebung verändert diesen Bereich nicht.
09
Aufgabe 9Funktionen verschieben · VertiefungEine Parabel entsteht aus $\mathsf{x^2}$ durch reine Verschiebung und hat den Scheitel $\mathsf{S(-3\mid2)}$ . Gib ihren Term an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=-3}$ , $\mathsf{k=2}$ .
  $\mathsf{g(x)=(x-(-3))^2+2}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Begründung $\mathsf{g(x)=(x+3)^2+2}$ .
10
Aufgabe 10Funktionen verschieben · VertiefungJemand sagt: $\mathsf{(x-2)^2}$ liegt 2 nach links von $\mathsf{x^2}$ . Widerlege mit dem Scheitel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der kleinste Wert entsteht bei $\mathsf{x-2=0}$ .
  $\mathsf{x=2}$
  $\mathsf{g(2)=0}$
Ergebnis
1. Rechenweg und BegründungDer Scheitel ist $\mathsf{(2\mid0)}$ ; die Verschiebung geht nach rechts.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich übersetze Verschiebungen in Term und Punktkoordinaten.
Ich beachte das horizontale Vorzeichen und den neuen Definitionsbereich.
Ich begründe Punktproben durch erlaubte Eingaben und passende Funktionswerte.

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