Funktionen darstellen · Erklären & üben

Punktprobe

Mit einer Punktprobe prüfst du rechnerisch, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt. Dazu muss seine x-Koordinate erlaubt sein und der berechnete Funktionswert mit seiner y-Koordinate übereinstimmen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Bedingungen prüfen

Für $\mathsf{P(a\mid b)}$ gilt: P liegt genau dann auf dem Graphen von f, wenn $\mathsf{a\in D_f}$ und $\mathsf{f(a)=b}$ .

Prüfe zuerst den Definitionsbereich. Setze anschließend a für jedes x ein, rechne aus und vergleiche das Ergebnis mit b. Schließe mit einer klaren Aussage.

Vier Schritte einer Punktprobe mit Definitionsprüfung und Vergleich.

So geht es am Beispiel

Liegt $\mathsf{P(3\mid7)}$ auf $\mathsf{f(x)=2x+1}$ ?

\mathsf{3\in\mathbb R}

\mathsf{f(3)=2\cdot3+1}

\mathsf{f(3)=7}

\mathsf{7=7}

Erklärung 02

Negative Eingaben einklammern

Setze negative Werte immer in Klammern ein. In $\mathsf{x^2}$ wird aus x = −2 der Ausdruck $\mathsf{(-2)^2=4}$ . Der Ausdruck $\mathsf{-2^2=-4}$ bedeutet etwas anderes.

Bei einem Punkt stehen x- und y-Koordinate in dieser Reihenfolge. Vertausche sie nicht.

Parabel mit einem passenden und einem nicht passenden Punkt bei x gleich −2.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{P(-2\mid5)}$ und $\mathsf{Q(-2\mid-3)}$ für $\mathsf{f(x)=x^2+1}$ .

\mathsf{f(-2)=(-2)^2+1}

\mathsf{f(-2)=4+1=5}

Für P: $\mathsf{5=5}$ .

Für Q: $\mathsf{5\ne-3}$ .

Erklärung 03

Lücken und Rundungen beachten

Ist die x-Koordinate ausgeschlossen, liegt der Punkt nicht auf dem Graphen. Eine gekürzte Formel darf keine ursprüngliche Lücke unbemerkt schließen.

Bei gerundeten oder gemessenen Koordinaten ist eine Abweichung nicht automatisch ein Widerspruch zum Modell. Eine exakte Punktprobe erfordert exakte Werte; andernfalls nenne die vereinbarte Toleranz.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{P(1\mid2)}$ für $\mathsf{f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}}$ .

\mathsf{D_f=\mathbb R\setminus\{1\}}

Die x-Koordinate 1 ist ausgeschlossen.

Die Formel $\mathsf{f(x)=x+1}$ gilt nur für $\mathsf{x\ne1}$ .

Erklärung 04

Fehlende Koordinaten bestimmen

Ist x gegeben, berechnest du y direkt. Ist y gegeben, löst du die Gleichung $\mathsf{f(x)=y}$ . Dabei können mehrere, eine oder keine zulässigen Lösungen entstehen.

So geht es am Beispiel

Ergänze bei $\mathsf{f(x)=x^2-1}$ den Punkt $\mathsf{P(3\mid y)}$ sowie alle Punkte $\mathsf{Q(x\mid8)}$ .

\mathsf{y=f(3)=9-1=8}

\mathsf{x^2-1=8}

\mathsf{x^2=9}

\mathsf{x=3\quad\textsf{oder}\quad x=-3}

Erklärung 05

Ein Punkt kann einen Parameter festlegen

Liegt ein Punkt auf einem Graphen mit unbekanntem Parameter, setzt du beide Koordinaten in die Funktionsgleichung ein. So entsteht eine Gleichung für den Parameter.

Ein einzelner passender Punkt beweist nicht, dass zwei Funktionen überall gleich sind. Die Punktprobe betrifft zunächst nur diesen einen Punkt.

So geht es am Beispiel

Für welchen Wert von b verläuft $\mathsf{f(x)=3x+b}$ durch $\mathsf{P(2\mid9)}$ ?

\mathsf{9=3\cdot2+b}

\mathsf{9=6+b}

\mathsf{b=3}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Punktprobe · EinstiegPrüfe $\mathsf{P(4\mid10)}$ für $\mathsf{f(x)=2x+2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(4)=2\cdot4+2=10}$
  $\mathsf{10=10}$
Ergebnis
1. Rechenweg und BegründungP liegt auf dem Graphen.
02
Aufgabe 2Punktprobe · EinstiegPrüfe $\mathsf{P(3\mid6)}$ für $\mathsf{f(x)=x^2-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(3)=9-2=7}$
  $\mathsf{7\ne6}$
Ergebnis
1. Rechenweg und BegründungP liegt nicht auf dem Graphen.
03
Aufgabe 3Punktprobe · StandardPrüfe $\mathsf{P(-3\mid7)}$ für $\mathsf{f(x)=x^2-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-3)=(-3)^2-2}$
  $\mathsf{f(-3)=9-2=7}$
Ergebnis
1. Rechenweg und BegründungP liegt auf dem Graphen.
04
Aufgabe 4Punktprobe · StandardPrüfe $\mathsf{P(2\mid0)}$ für $\mathsf{f(x)=1/(x-2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nenner wird bei x = 2 null.
  $\mathsf{2\notin D_f}$
Ergebnis
1. Rechenweg und BegründungP liegt nicht auf dem Graphen; der Funktionswert ist dort nicht definiert.
05
Aufgabe 5Punktprobe · StandardPrüfe $\mathsf{P(1\mid2)}$ und $\mathsf{Q(-1\mid0)}$ für $\mathsf{f(x)=\sqrt{x+3}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D_f=[-3,\infty)}$ ; beide Eingaben sind erlaubt.
  $\mathsf{f(1)=\sqrt4=2}$
  $\mathsf{f(-1)=\sqrt2\ne0}$
Ergebnis
1. Rechenweg und BegründungP liegt auf dem Graphen, Q nicht.
06
Aufgabe 6Punktprobe · StandardErgänze y im Punkt $\mathsf{P(-2\mid y)}$ auf $\mathsf{f(x)=3x^2+1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=f(-2)}$
  $\mathsf{y=3\cdot(-2)^2+1}$
  $\mathsf{y=13}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Begründung $\mathsf{P(-2\mid13)}$ .
07
Aufgabe 7Punktprobe · StandardBestimme alle Punkte mit y = 5 auf $\mathsf{f(x)=x^2+1}$ mit $\mathsf{D_f=\mathbb R}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+1=5}$
  $\mathsf{x^2=4}$
  $\mathsf{x=2\quad\textsf{oder}\quad x=-2}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Begründung $\mathsf{(2\mid5)}$ und $\mathsf{(-2\mid5)}$ .
08
Aufgabe 8Punktprobe · VertiefungWie ändert sich das vorige Ergebnis, wenn $\mathsf{D_f=[0,\infty)}$ vorgegeben ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Gleichung liefert zunächst ±2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  −2 liegt nicht im vorgegebenen Definitionsbereich.
Ergebnis
1. Rechenweg und BegründungNur $\mathsf{(2\mid5)}$ bleibt zulässig.
09
Aufgabe 9Punktprobe · VertiefungFür welchen Wert von a verläuft $\mathsf{f(x)=ax^2+1}$ durch $\mathsf{P(2\mid13)}$ ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{13=a\cdot2^2+1}$
  $\mathsf{12=4a}$
  $\mathsf{a=3}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Begründung $\mathsf{a=3}$ , also $\mathsf{f(x)=3x^2+1}$ .
10
Aufgabe 10Punktprobe · Vertiefung $\mathsf{P(2\mid4)}$ liegt auf $\mathsf{f(x)=x^2}$ und $\mathsf{g(x)=2x}$ . Sind deshalb die Graphen gleich?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei x = 2 haben beide den Wert 4.
  $\mathsf{f(1)=1}$
  $\mathsf{g(1)=2}$
Ergebnis
1. Rechenweg und BegründungNein. Ein gemeinsamer Punkt genügt nicht; bei x = 1 unterscheiden sich die Werte.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich übersetze Verschiebungen in Term und Punktkoordinaten.
Ich beachte das horizontale Vorzeichen und den neuen Definitionsbereich.
Ich begründe Punktproben durch erlaubte Eingaben und passende Funktionswerte.

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