Mit Funktionen rechnen · Erklären & üben

Funktionsgleichung

Eine Funktionsgleichung beschreibt die Zuordnung von Eingaben zu Ausgaben. Um sie aus Punkten, einem Graphen oder einem Sachtext zu bestimmen, brauchen wir einen passenden Funktionstyp und genügend unabhängige Bedingungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zuerst das Modell festlegen

Zwei Punkte mit verschiedenen x-Werten bestimmen genau eine lineare Funktion f(x) = mx+b. Sie bestimmen aber nicht genau eine beliebige Funktion: Auch andere Kurven können durch beide Punkte laufen.

Eine quadratische Funktion f(x) = ax²+bx+c besitzt drei Parameter. Drei Punkte mit verschiedenen x-Werten bestimmen höchstens eine solche Gleichung; ergibt sich a = 0, ist das Ergebnis eine Gerade und keine echte Parabel.

Erklärung 02

Eine Gerade aus zwei Punkten bestimmen

Für P(x₁ | y₁) und Q(x₂ | y₂) mit x₁ ≠ x₂ gilt $\mathsf{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$ . Danach ergibt sich b = y₁−mx₁. Prüfe am Ende beide gegebenen Punkte.

Gerade durch P(1 | 3) und Q(4 | 9), mit beschrifteten Achsen und Steigung 2.

So geht es am Beispiel

Eine Gerade geht durch P(1 | 3) und Q(4 | 9). Bestimme ihre Gleichung.

$\mathsf{m=\frac{9-3}{4-1}}$ — Höhenänderung durch Schrittweite.

$\mathsf{m=2}$ — Steigung.

$\mathsf{3=2\cdot1+b}$ — Punkt P einsetzen.

$\mathsf{b=1}$ — Achsenabschnitt.

$\mathsf{f(x)=2x+1}$ — Gleichung.

$\mathsf{f(1)=3}$ — Probe mit P.

$\mathsf{f(4)=9}$ — Probe mit Q.

Erklärung 03

Scheitelpunkt und weiterer Punkt

Für einen bekannten Scheitel S(h | k) ist die Scheitelpunktform f(x) = a(x−h)²+k günstig. Ein weiterer Punkt mit x ≠ h bestimmt a.

Das Vorzeichen von a zeigt die Öffnungsrichtung. Ein Punkt mit derselben x-Koordinate wie der Scheitel liefert keinen zusätzlichen unabhängigen Streckungswert.

Parabel mit Scheitel (1 | minus 2) und Punkt (3 | 6); Streckfaktor 2.

So geht es am Beispiel

Eine Parabel hat S(1 | −2) und enthält P(3 | 6).

\mathsf{f(x)=a(x-1)^2-2}

\mathsf{6=a(3-1)^2-2}

\mathsf{8=4a}

\mathsf{a=2}

\mathsf{f(x)=2(x-1)^2-2}

$\mathsf{f(1)=-2}$ — Scheitelhöhe.

$\mathsf{f(3)=6}$ — Punktprobe.

Erklärung 04

Drei Punkte für eine Parabel

Setze jeden Punkt in ax²+bx+c ein. Löse das entstehende Gleichungssystem. Ein Punkt auf der y-Achse liefert sofort c.

So geht es am Beispiel

Bestimme die quadratische Funktion durch (0 | 1), (1 | 2) und (2 | 5).

\mathsf{c=1}

\mathsf{a+b+1=2}

\mathsf{4a+2b+1=5}

\mathsf{a+b=1}

$\mathsf{2a+b=2}$ — zweite Bedingung durch 2 teilen.

$\mathsf{a=1}$ — Gleichungen subtrahieren.

\mathsf{b=0}

\mathsf{f(x)=x^2+1}

Probe: f(0) = 1, f(1) = 2 und f(2) = 5.

Erklärung 05

Ein exponentielles Modell aus zwei Werten

Beim Modell f(x) = c·qˣ mit c > 0 und q > 0 ist c = f(0). Der Quotient f(1)/f(0) liefert q. Das Modell muss zur Aufgabe passen; zwei Werte allein beweisen keinen exponentiellen Verlauf.

So geht es am Beispiel

Ein ausdrücklich exponentielles Modell hat f(0) = 5 und f(1) = 10.

\mathsf{c=5}

\mathsf{10=5q}

\mathsf{q=2}

\mathsf{f(x)=5\cdot2^x}

\mathsf{f(0)=5}

\mathsf{f(1)=10}

Erklärung 06

Aus Graphen und Sachtexten lesen

Lies markierte Punkte und die Achsenskalierung sorgfältig ab. Unscharf abgelesene Werte führen nur zu einer Näherungsgleichung. Nenne im Sachkontext auch den sinnvollen Definitionsbereich und die Einheiten.

Prüfe, ob alle Bedingungen passen. Widersprüchliche Angaben erzeugen keine gültige Funktion; fehlende Bedingungen können mehrere Lösungen zulassen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Funktionsgleichung · EinstiegEine Gerade geht durch P(0 | −2) und Q(3 | 4). Bestimme die Gleichung mit Probe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=\frac{4-(-2)}{3-0}=2}$
  $\mathsf{b=-2}$
  $\mathsf{f(x)=2x-2}$
  $\mathsf{f(0)=-2}$
  $\mathsf{f(3)=4}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{f(x)=2x-2}$
02
Aufgabe 2Funktionsgleichung · EinstiegEine Gerade geht durch (−1 | 5) und (2 | −1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=\frac{-1-5}{2-(-1)}=-2}$
  $\mathsf{5=(-2)(-1)+b}$
  $\mathsf{b=3}$
  $\mathsf{f(x)=-2x+3}$
  $\mathsf{f(-1)=5}$
  $\mathsf{f(2)=-1}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{f(x)=-2x+3}$
03
Aufgabe 3Funktionsgleichung · StandardBestimme die Parabel mit S(−1 | 2), die durch (1 | 10) geht.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=a(x+1)^2+2}$
  $\mathsf{10=4a+2}$
  $\mathsf{a=2}$
  $\mathsf{f(x)=2(x+1)^2+2}$
  $\mathsf{f(-1)=2}$
  $\mathsf{f(1)=10}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{f(x)=2(x+1)^2+2}$
04
Aufgabe 4Funktionsgleichung · StandardBestimme f(x) = ax²+bx+c durch (0 | 2), (1 | 5) und (−1 | 1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=2}$
  $\mathsf{a+b=3}$
  $\mathsf{a-b=-1}$
  $\mathsf{2a=2}$
  $\mathsf{a=1}$
  $\mathsf{b=2}$
  $\mathsf{f(x)=x^2+2x+2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: f(0) = 2, f(1) = 5, f(−1) = 1.
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{f(x)=x^2+2x+2}$
05
Aufgabe 5Funktionsgleichung · StandardReichen die Punkte (0 | 0) und (1 | 1) aus, um eine beliebige Funktionsgleichung eindeutig zu bestimmen? Nenne zwei passende Funktionen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  f(x) = x liefert beide Werte.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  g(x) = x² liefert ebenfalls beide Werte.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Bei x = 2 unterscheiden sich die Funktionen: f(2) = 2, g(2) = 4.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNein. Der Funktionstyp oder weitere Bedingungen fehlen.
06
Aufgabe 6Funktionsgleichung · StandardEin exponentielles Modell f(x) = c·qˣ hat f(0) = 12 und f(1) = 6. Bestimme es mit Probe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=12}$
  $\mathsf{6=12q}$
  $\mathsf{q=\frac12}$
  $\mathsf{f(x)=12(\frac12)^x}$
  $\mathsf{f(0)=12}$
  $\mathsf{f(1)=6}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{f(x)=12(\frac12)^x}$
07
Aufgabe 7Funktionsgleichung · StandardEin Verleih verlangt 4 Euro Grundpreis und 3 Euro je angefangener, hier nur ganzzahlig gebuchter Stunde. Gib das Kostenmodell für Buchungen von 1 bis 5 Stunden an und berechne K(3).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der feste Anteil ist 4 Euro, jede gebuchte Stunde erhöht den Preis um 3 Euro.
  $\mathsf{K(h)=3h+4}$
  $\mathsf{D=\{1;2;3;4;5\}}$
  $\mathsf{K(3)=13}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisK(h) = 3h+4 Euro für h in {1; 2; 3; 4; 5}; drei Stunden kosten 13 Euro.
08
Aufgabe 8Funktionsgleichung · VertiefungEine Funktion soll zugleich die Punkte (2 | 1) und (2 | 4) enthalten. Ist das möglich?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Derselben Eingabe 2 würden zwei verschiedene Ausgaben zugeordnet.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Funktion darf jeder Eingabe genau eine Ausgabe zuordnen.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNein; die Angaben widersprechen der Funktionseigenschaft.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lege den Funktionstyp fest.
Ich verwende genügend unabhängige Bedingungen.
Ich prüfe alle gegebenen Werte am Ergebnis.

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