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Mit Funktionen rechnen · Erklären & üben

Verkettung von Funktionen

Bei einer Verkettung wird die Ausgabe einer Funktion zur Eingabe einer zweiten. Die Reihenfolge gehört zur Definition und kann das Ergebnis sowie den Definitionsbereich verändern.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zuerst innen, dann außen

Die Schreibweise (f∘g)(x)=f(g(x))\mathsf{(f\circ g)(x)=f(g(x))} bedeutet: zuerst g auf x anwenden, danach f auf das Ergebnis. g ist die innere, f die äußere Funktion.

Es handelt sich nicht um das Produkt f(x)·g(x). In f(g(x)) ersetzt du jedes Vorkommen der Eingabe in f durch den gesamten Term g(x).

So geht es am Beispiel

f(u) = u² und g(x) = x+3. Bestimme f(g(x)).

g(x)=x+3\mathsf{g(x)=x+3} — innen.

f(g(x))=(x+3)2\mathsf{f(g(x))=(x+3)^2} — gesamte Eingabe quadrieren.

f(g(1))=42=16\mathsf{f(g(1))=4^2=16} — Beispielwert.

Ergebnis

(f∘g)(x)=(x+3)2\mathsf{(f\circ g)(x)=(x+3)^2}

Erklärung 02

Die Reihenfolge ist meist nicht vertauschbar

Für dieselben Funktionen ist g(f(x)) = x²+3. Das ist eine andere Funktion als (x+3)². Bereits eine Eingabe mit unterschiedlichen Ergebnissen beweist, dass die Verkettungen verschieden sind.

Zwei beschriftete Rechenketten zeigen für x = 1 die Ergebnisse 16 und 4 bei vertauschter Reihenfolge.

So geht es am Beispiel

Vergleiche die beiden Reihenfolgen bei x = 1.

f(g(1))=f(4)=16\mathsf{f(g(1))=f(4)=16}
g(f(1))=g(1)=4\mathsf{g(f(1))=g(1)=4}

Ergebnis

Die Ergebnisse 16 und 4 sind verschieden. Verkettungen sind im Allgemeinen nicht vertauschbar.

Erklärung 03

Der Definitionsbereich muss beide Schritte erlauben

Zulässig sind genau diejenigen x aus Dg, deren Bild g(x) in Df liegt: Df∘g={x∈Dg∣g(x)∈Df}\mathsf{D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}}.

Eine Wurzel verlangt einen nichtnegativen Radikanden; ein Nenner darf nicht 0 sein; beim natürlichen Logarithmus muss das Argument positiv sein. Prüfe diese Bedingungen nach dem Einsetzen.

Rechenkette der Wurzel von x minus 2 mit ausdrücklicher Bedingung x größer gleich 2.

So geht es am Beispiel

f(u) = √u und g(x) = x−2. Bestimme f∘g und seinen Definitionsbereich.

f(g(x))=x−2\mathsf{f(g(x))=\sqrt{x-2}}
x−2≥0\mathsf{x-2\ge0}
x≥2\mathsf{x\ge2}

Ergebnis

Df∘g=[2;∞)\mathsf{D_{f\circ g}=[2;\infty)}

Erklärung 04

Die umgekehrte Reihenfolge kann andere Grenzen haben

Für g(f(x)) mit f(x) = √x und g(u) = u−2 entsteht √x−2. Hier gilt x ≥ 0, weil die Wurzel bereits im ersten Schritt berechnet wird.

Wenn ein zusammengesetzter Term vereinfacht wird, bleiben Ausschlüsse aus den ursprünglichen Funktionen bestehen. Kürzen darf keine zuvor unzulässige Eingabe nachträglich erlauben.

So geht es am Beispiel

f(u) = 1/u und g(x) = 1/x. Bestimme f(g(x)).

g(x) ist nur für x ≠ 0 definiert und nimmt niemals den Wert 0 an.

f(g(x))=11/x\mathsf{f(g(x))=\frac1{1/x}}

f(g(x))=x\mathsf{f(g(x))=x} — vereinfachen.

D=R∖{0}\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{0\}} — ursprünglichen Ausschluss behalten.

Ergebnis

Der Term ist x, aber die Verkettung bleibt bei 0 undefiniert.

Erklärung 05

Eine Verkettung zerlegen

Bei h(x) = (2x−1)³ ist eine mögliche innere Funktion g(x) = 2x−1 und die äußere Funktion f(u) = u³. Eine Zerlegung ist nicht unbedingt eindeutig; sie soll die Rechenstruktur sichtbar machen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Verkettung von Funktionen · Einstiegf(u) = 2u und g(x) = x−1. Bestimme f∘g und den Wert bei x = 3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(g(x))=2(x−1)\mathsf{f(g(x))=2(x-1)}
      f(g(x))=2x−2\mathsf{f(g(x))=2x-2}
      f(g(3))=4\mathsf{f(g(3))=4}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis(f∘g)(x)=2x−2,D=R\mathsf{(f\circ g)(x)=2x-2,\quad D=\mathbb R}
  2. Aufgabe 2Verkettung von Funktionen · Einstiegf(u) = u² und g(x) = 2x. Berechne beide Verkettungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(g(x))=(2x)2=4x2\mathsf{f(g(x))=(2x)^2=4x^2}
      g(f(x))=2x2\mathsf{g(f(x))=2x^2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisf∘g=4x2\mathsf{f\circ g=4x^2}, g∘f=2x2\mathsf{g\circ f=2x^2}; beide auf ℝ.
  3. Aufgabe 3Verkettung von Funktionen · Standardf(u) = √u und g(x) = 3−x. Bestimme f∘g samt Definitionsbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(g(x))=3−x\mathsf{f(g(x))=\sqrt{3-x}}
      3−x≥0\mathsf{3-x\ge0}
      x≤3\mathsf{x\le3}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisD=(−∞;3]\mathsf{D=(-\infty;3]}
  4. Aufgabe 4Verkettung von Funktionen · Standardf(u) = 1/u und g(x) = x²−4. Bestimme f∘g samt Definitionsbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(g(x))=1x2−4\mathsf{f(g(x))=\frac1{x^2-4}}
      x2−4e0\mathsf{x^2-4 e0}
      xe−2,xe2\mathsf{x e-2,\quad x e2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisD=R∖{−2;2}\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-2;2\}}
  5. Aufgabe 5Verkettung von Funktionen · Standardf(u) = ln u und g(x) = x+1. Bestimme f∘g und den Definitionsbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(g(x))=ln⁡(x+1)\mathsf{f(g(x))=\ln(x+1)}
      x+1>0\mathsf{x+1>0}
      x>−1\mathsf{x>-1}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisD=(−1;∞)\mathsf{D=(-1;\infty)}
  6. Aufgabe 6Verkettung von Funktionen · StandardZerlege h(x) = (5x+2)⁴ in eine innere und eine äußere Funktion und setze sie zur Probe zusammen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      g(x)=5x+2\mathsf{g(x)=5x+2}
      f(u)=u4\mathsf{f(u)=u^4}
      f(g(x))=(5x+2)4\mathsf{f(g(x))=(5x+2)^4}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisEine mögliche Zerlegung: g(x) = 5x+2 und f(u) = u⁴.
  7. Aufgabe 7Verkettung von Funktionen · StandardFür f(u) = u+1 und g(x) = x² berechnet jemand f(g(2)) als f(2)·g(2) = 12. Korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      g(2)=4\mathsf{g(2)=4}
      f(g(2))=f(4)\mathsf{f(g(2))=f(4)}
      f(4)=5\mathsf{f(4)=5}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisRichtig ist 5. Eine Verkettung ist kein Produkt.
  8. Aufgabe 8Verkettung von Funktionen · Vertiefungf(u) = 1/u und g(x) = 1/(x−2). Bestimme f∘g mit Definitionsbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      g ist nur für x ≠ 2 definiert; g(x) ist dort nie 0.

      f(g(x))=11/(x−2)\mathsf{f(g(x))=\frac1{1/(x-2)}}
      f(g(x))=x−2\mathsf{f(g(x))=x-2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisD=R∖{2}\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{2\}}; der vereinfachte Term darf nicht bei 2 ergänzt werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich wende die innere Funktion zuerst an.
  • Ich setze den ganzen inneren Term ein.
  • Ich prüfe beide Definitionsbedingungen und erhalte ursprüngliche Ausschlüsse.

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