Kurvendiskussion · Erklären & üben

Funktionsscharen

Eine Funktionsschar bündelt Funktionen mit einem gemeinsamen Term. Der Parameter wählt einen Graphen aus; die Variable beschreibt die Stellen auf diesem Graphen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Parameter festhalten, Variable verändern

In $\mathsf{f_a(x)=x^2-2ax}$ ist x die Variable und a der Parameter. Für jeden fest gewählten Wert von a entsteht eine Funktion.

Beispielsweise gilt $\mathsf{f_0(x)=x^2}$ und $\mathsf{f_2(x)=x^2-4x}$ . Beim Ableiten nach x bleibt a konstant.

Drei Parabeln der Schar mit markierten Tiefpunkten für a gleich −1, 0 und 1.

So geht es am Beispiel

Berechne für $\mathsf{f_a(x)=x^2-2ax}$ den Wert $\mathsf{f_2(3)}$ .

\mathsf{f_2(x)=x^2-4x}

\mathsf{f_2(3)=9-12}

\mathsf{f_2(3)=-3}

Erklärung 02

Nullstellen und Sonderwerte

Faktorisieren erhält Sonderfälle sichtbar. Teile niemals durch einen Parameter, bevor du seinen möglichen Wert 0 getrennt untersucht hast.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstellen von $\mathsf{g_a(x)=ax^2-4}$ für alle reellen a.

\mathsf{ax^2=4}

Für $\mathsf{a=0}$ lautet die Gleichung $\mathsf{0=4}$ : keine Lösung.

Für $\mathsf{a\ne0}$ gilt $\mathsf{x^2=4/a}$ .

Für $\mathsf{a>0}$ gilt $\mathsf{x=\pm2/\sqrt a}$ .

Für $\mathsf{a<0}$ ist $\mathsf{4/a<0}$ : keine reellen Lösungen.

Erklärung 03

Ableiten und Extrempunkte

Die Rechenregeln gelten wie gewohnt. Bei der Klassifikation kann der Parameter entscheiden, ob ein Minimum, ein Maximum oder kein isolierter Extrempunkt vorliegt.

Minimum, konstante Funktion und Maximum als drei Parameterfälle.

So geht es am Beispiel

Untersuche die Extrempunkte von $\mathsf{h_a(x)=ax^2+2}$ .

\mathsf{h_a^{\prime}(x)=2ax}

\mathsf{h_a^{\prime\prime}(x)=2a}

Für $\mathsf{a\ne0}$ folgt aus $\mathsf{2ax=0}$ die Stelle $\mathsf{x=0}$ .

\mathsf{h_a(0)=2}

Für $\mathsf{a>0}$ ist die zweite Ableitung positiv; für $\mathsf{a<0}$ negativ.

Für $\mathsf{a=0}$ ist $\mathsf{h_0(x)=2}$ konstant.

Erklärung 04

Definitionsbereich und Stammfunktion

Bei $\mathsf{r_a(x)=1/(x-a)}$ ist $\mathsf{D_a=\mathbb R\setminus\{a\}}$ . Die ausgeschlossene Stelle hängt von a ab. Bei $\mathsf{\sqrt{x-a}}$ gilt $\mathsf{D_a=[a,\infty)}$ .

Auch beim Integrieren nach x bleibt a konstant: Eine Stammfunktion von $\mathsf{ax^2+2}$ ist $\mathsf{F_a(x)=\frac a3x^3+2x}$ . Für jedes feste a darf eine Integrationskonstante ergänzt werden.

Erklärung 05

Bewegte markante Punkte

Für $\mathsf{f_a(x)=x^2-2ax}$ liefert die quadratische Ergänzung $\mathsf{f_a(x)=(x-a)^2-a^2}$ . Der Tiefpunkt ist daher $\mathsf{T_a(a\mid-a^2)}$ .

Wenn a variiert, bewegen sich diese Punkte entlang einer Ortskurve. Ihre Bestimmung und ihr tatsächlich erreichter Bereich werden im nächsten Thema behandelt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Funktionsscharen · EinstiegFür $\mathsf{f_a(x)=x^2+ax-1}$ : Gib $\mathsf{f_0}$ , $\mathsf{f_3}$ und $\mathsf{f_3(2)}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f_0(x)=x^2-1}$
  $\mathsf{f_3(x)=x^2+3x-1}$
  $\mathsf{f_3(2)=4+6-1=9}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{f_0(x)=x^2-1}$ , $\mathsf{f_3(x)=x^2+3x-1}$ , $\mathsf{f_3(2)=9}$ .
02
Aufgabe 2Funktionsscharen · EinstiegLeite $\mathsf{f_a(x)=ax^3-2a^2x+5}$ zweimal nach x ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f_a^{\prime}(x)=3ax^2-2a^2}$
  $\mathsf{f_a^{\prime\prime}(x)=6ax}$
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungDer Parameter a wird bei beiden Ableitungen als Konstante behandelt.
03
Aufgabe 3Funktionsscharen · StandardBestimme sämtliche Nullstellen von $\mathsf{f_a(x)=x^2-ax}$ und beschreibe den Fall $\mathsf{a=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x-a)=0}$
  $\mathsf{x=0\quad\textsf{oder}\quad x=a}$
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungFür $\mathsf{a\ne0}$ zwei verschiedene Nullstellen 0 und a; für $\mathsf{a=0}$ die doppelte Nullstelle 0.
04
Aufgabe 4Funktionsscharen · StandardUntersuche die Nullstellen von $\mathsf{g_a(x)=ax-2}$ für alle a.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für $\mathsf{a=0}$ : $\mathsf{-2=0}$ ist unmöglich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für $\mathsf{a\ne0}$ : $\mathsf{ax=2}$ .
  $\mathsf{x=2/a}$
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungFür $\mathsf{a\ne0}$ genau eine Nullstelle $\mathsf{2/a}$ ; für $\mathsf{a=0}$ keine.
05
Aufgabe 5Funktionsscharen · StandardBestimme die Anzahl reeller Nullstellen von $\mathsf{f_a(x)=x^2+a}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=-a}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für $\mathsf{a<0}$ : $\mathsf{x=\pm\sqrt{-a}}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Für $\mathsf{a=0}$ : $\mathsf{x=0}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Für $\mathsf{a>0}$ : keine reelle Lösung.
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungZwei für $\mathsf{a<0}$ , eine doppelte für $\mathsf{a=0}$ , keine für $\mathsf{a>0}$ .
06
Aufgabe 6Funktionsscharen · StandardBestimme den Extrempunkt von $\mathsf{f_a(x)=x^2-4ax+1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f_a^{\prime}(x)=2x-4a}$
  $\mathsf{2x-4a=0\Rightarrow x=2a}$
  $\mathsf{f_a^{\prime\prime}(x)=2>0}$
  $\mathsf{f_a(2a)=4a^2-8a^2+1=1-4a^2}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{T_a(2a\mid1-4a^2)}$ für alle reellen a.
07
Aufgabe 7Funktionsscharen · StandardBestimme den Definitionsbereich von $\mathsf{f_a(x)=1/(x+a)}$ und speziell von $\mathsf{f_{-2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+a\ne0}$
  $\mathsf{x\ne-a}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{D_a=\mathbb R\setminus\{-a\}}$ ; $\mathsf{D_{-2}=\mathbb R\setminus\{2\}}$ .
08
Aufgabe 8Funktionsscharen · VertiefungGib eine Stammfunktion von $\mathsf{f_a(x)=3ax^2-4x+a}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\int3ax^2\,dx=ax^3}$
  $\mathsf{\int-4x\,dx=-2x^2}$
  $\mathsf{\int a\,dx=ax}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{F_a(x)=ax^3-2x^2+ax}$ .
09
Aufgabe 9Funktionsscharen · VertiefungWelche Funktion der Schar $\mathsf{f_a(x)=ax^2+1}$ verläuft durch $\mathsf{P(2\mid9)}$ ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{9=4a+1}$
  $\mathsf{8=4a}$
  $\mathsf{a=2}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{f_2(x)=2x^2+1}$ .
10
Aufgabe 10Funktionsscharen · VertiefungEine Lösung teilt bei $\mathsf{f_a(x)=a(x^2-1)}$ sofort durch a und nennt nur ±1 als Nullstellen. Ergänze den fehlenden Fall.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für $\mathsf{a\ne0}$ : $\mathsf{x^2-1=0}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für $\mathsf{a=0}$ : $\mathsf{f_0(x)=0}$ für jedes x.
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungFür $\mathsf{a\ne0}$ : −1 und 1. Für $\mathsf{a=0}$ ist jede reelle Zahl eine Nullstelle.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Parameter und Variable.
Ich behandle Sonderwerte und verbotene Divisionen getrennt.
Ich übertrage den Parameterbereich auf die erreichbare Punktmenge.

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