Kurvendiskussion · Erklären & üben

Ortskurven

Eine Ortskurve beschreibt die Menge der Punkte, die ein ausgewählter Punkt einer Funktionsschar durchläuft. Dazu eliminierst du den Parameter aus seinen Koordinaten und überträgst dessen Einschränkungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Punktkoordinaten sind der Ausgangspunkt

Schreibe den bewegten Punkt als $\mathsf{P_a(x(a)\mid y(a))}$ auf und notiere den erlaubten Parameterbereich. Gesucht sind alle Punkte, die für diese Werte tatsächlich entstehen.

Löse eine Koordinatengleichung nach a auf und setze in die andere ein. Kontrolliere dabei, welche x-Werte erreichbar sind.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte von $\mathsf{f_a(x)=x^2-2ax}$ für $\mathsf{a\in\mathbb R}$ .

\mathsf{f_a^{\prime}(x)=2x-2a}

\mathsf{x_T=a}

\mathsf{f_a^{\prime\prime}(x)=2>0}

\mathsf{y_T=f_a(a)=-a^2}

\mathsf{x=a\Rightarrow a=x}

\mathsf{y=-x^2}

Erklärung 02

Nur der erreichbare Teil zählt

Wird im gleichen Beispiel $\mathsf{a>0}$ verlangt, gilt auch $\mathsf{x>0}$ . Der Ursprung gehört dann nicht zur Ortskurve. Für $\mathsf{a\in[1,3]}$ entsteht nur der Abschnitt mit $\mathsf{1\le x\le3}$ .

Die Gleichung allein beschreibt häufig zu viele Punkte. Gib den Bereich und die enthaltenen oder ausgeschlossenen Randpunkte mit an.

Halbe nach unten geöffnete Parabel, Ursprung als offener Randpunkt.

Erklärung 03

Nichtlineare Koordinaten und Zweige

Bei $\mathsf{P_a(a^2\mid a)}$ ist das Auflösen nach a über eine Quadratwurzel mit Vorzeichen verbunden. Einfacher ist $\mathsf{a=y}$ und damit $\mathsf{x=y^2}$ . Für $\mathsf{a\in\mathbb R}$ ist diese Ortskurve kein Graph einer einzelnen Funktion y von x.

Für $\mathsf{a\ge0}$ bleibt nur $\mathsf{y=\sqrt x}$ mit $\mathsf{x\ge0}$ . Eine Einschränkung darf erst aus dem gegebenen Parameterbereich folgen.

Erklärung 04

Ein vollständiges Eliminationsbeispiel

Nach dem Eliminieren solltest du auch zeigen, dass jeder Punkt im angegebenen Bereich von einem erlaubten Parameter erzeugt wird.

Begrenzter Parabelabschnitt mit geschlossenen Randpunkten und Parameterzuordnung.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind $\mathsf{P_a(2a+1\mid a^2-3)}$ für $\mathsf{a\in[-1,2]}$ .

\mathsf{x=2a+1}

\mathsf{a=\frac{x-1}{2}}

\mathsf{y=\left(\frac{x-1}{2}\right)^2-3}

\mathsf{-1\le a\le2}

\mathsf{-1\le x\le5}

Für jedes $\mathsf{x\in[-1,5]}$ liegt $\mathsf{(x-1)/2}$ im erlaubten Parameterbereich.

Erklärung 05

Division und ausgeschlossene Werte

Für $\mathsf{P_a(a\mid1/a)}$ ist $\mathsf{a\ne0}$ erforderlich. Daraus entsteht $\mathsf{y=1/x}$ mit $\mathsf{x\ne0}$ .

Nicht jede Punktmenge muss als $\mathsf{y=h(x)}$ darstellbar sein: Bei $\mathsf{P_a(2\mid a)}$ mit beliebigem a entsteht die senkrechte Gerade $\mathsf{x=2}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Ortskurven · EinstiegBestimme die Ortskurve von $\mathsf{P_a(a\mid2a+3)}$ für $\mathsf{a\in\mathbb R}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=a}$
  $\mathsf{a=x}$
  $\mathsf{y=2x+3}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{y=2x+3}$ für $\mathsf{x\in\mathbb R}$ .
02
Aufgabe 2Ortskurven · EinstiegBestimme die Ortskurve von $\mathsf{P_a(a\mid-a^2)}$ für $\mathsf{a>0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=x}$
  $\mathsf{y=-x^2}$
  $\mathsf{a>0\Rightarrow x>0}$
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungNur der Parabelteil mit $\mathsf{x>0}$ ; der Ursprung ist ausgeschlossen.
03
Aufgabe 3Ortskurven · StandardEliminiere a aus $\mathsf{P_a(3a\mid a^2+2)}$ für $\mathsf{a\in\mathbb R}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3a}$
  $\mathsf{a=x/3}$
  $\mathsf{y=(x/3)^2+2}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{y=x^2/9+2}$ für alle reellen x.
04
Aufgabe 4Ortskurven · StandardBestimme die Ortskurve von $\mathsf{P_a(a+2\mid a^2)}$ für $\mathsf{a\in[-2,1]}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=x-2}$
  $\mathsf{y=(x-2)^2}$
  $\mathsf{0\le x\le3}$
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungParabelabschnitt $\mathsf{y=(x-2)^2}$ , $\mathsf{x\in[0,3]}$ .
05
Aufgabe 5Ortskurven · StandardBestimme die Ortskurve von $\mathsf{P_a(a^2\mid a)}$ für $\mathsf{a\le0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=a^2\ge0}$
  $\mathsf{a=-\sqrt x}$
  $\mathsf{y=-\sqrt x}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{y=-\sqrt x}$ mit $\mathsf{x\ge0}$ ; der Ursprung gehört dazu.
06
Aufgabe 6Ortskurven · StandardBestimme die Ortskurve von $\mathsf{P_a(a\mid1/a)}$ für $\mathsf{a\in[1,4]}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=x}$
  $\mathsf{y=1/x}$
  $\mathsf{1\le x\le4}$
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungHyperbelabschnitt $\mathsf{y=1/x}$ mit $\mathsf{x\in[1,4]}$ .
07
Aufgabe 7Ortskurven · StandardDie Tiefpunkte einer Schar sind $\mathsf{T_a(2a\mid1-4a^2)}$ . Bestimme ihre Ortskurve für $\mathsf{a\in\mathbb R}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2a}$
  $\mathsf{a=x/2}$
  $\mathsf{y=1-4(x/2)^2}$
  $\mathsf{y=1-x^2}$
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungGanze Parabel $\mathsf{y=1-x^2}$ für $\mathsf{x\in\mathbb R}$ .
08
Aufgabe 8Ortskurven · VertiefungBestimme die Punktmenge von $\mathsf{P_a(2\mid a)}$ für $\mathsf{a\in[-1,3]}$ . Kann sie als Funktion y von x beschrieben werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Alle Punkte haben x = 2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die y-Werte laufen von −1 bis 3.
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungSenkrechte Strecke $\mathsf{x=2}$ , $\mathsf{-1\le y\le3}$ . Keine Funktion y von x, da zu x = 2 mehrere y-Werte gehören.
09
Aufgabe 9Ortskurven · VertiefungFür $\mathsf{P_a(a^2\mid a^4+1)}$ und $\mathsf{a\in\mathbb R}$ wurde $\mathsf{y=x^2+1}$ ohne Einschränkung angegeben. Ergänze den Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=a^2\ge0}$
  $\mathsf{y=(a^2)^2+1=x^2+1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für jedes $\mathsf{x\ge0}$ ist etwa $\mathsf{a=\sqrt x}$ erlaubt.
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungNur $\mathsf{y=x^2+1}$ mit $\mathsf{x\ge0}$ wird durchlaufen.
10
Aufgabe 10Ortskurven · VertiefungBestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte von $\mathsf{f_a(x)=(x-a)^2+2a}$ für $\mathsf{a\in(-1,2]}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{T_a(a\mid2a)}$
  $\mathsf{a=x}$
  $\mathsf{y=2x}$
  $\mathsf{-1<x\le2}$
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungGeradenabschnitt $\mathsf{y=2x}$ mit $\mathsf{x\in(-1,2]}$ ; $\mathsf{(−1\mid−2)}$ ausgeschlossen, $\mathsf{(2\mid4)}$ enthalten.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Parameter und Variable.
Ich behandle Sonderwerte und verbotene Divisionen getrennt.
Ich übertrage den Parameterbereich auf die erreichbare Punktmenge.

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