Funktionen darstellen · Erklären & üben

Funktionstypen

Funktionstypen erkennst du an der Form des Terms und an typischen Eigenschaften des Graphen. Die Kategorien können sich überschneiden: Eine quadratische Funktion ist zugleich eine ganzrationale Funktion.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Geraden, Parabeln und Polynome

Eine lineare Funktion in der schulischen Form $\mathsf{f(x)=mx+b}$ hat einen geraden Graphen. Bei gleichen x-Schritten entstehen gleiche Änderungen von f. Für $\mathsf{b=0}$ ist die Zuordnung proportional.

Eine quadratische Funktion hat die Form $\mathsf{ax^2+bx+c}$ mit $\mathsf{a\ne0}$ . Ihr Graph ist eine Parabel. Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnungsrichtung.

Eine ganzrationale Funktion ist eine endliche Summe von Termen $\mathsf{a_kx^k}$ mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten. Ihr Grad ist der höchste Exponent mit Koeffizient ungleich 0. Polynome sind auf $\mathsf{\mathbb R}$ definiert.

Vergleich der Geraden x+1 mit der Parabel x² auf beschrifteten Achsen.

So geht es am Beispiel

Ordne $\mathsf{f(x)=3x^2-2x+1}$ ein.

Der höchste Exponent ist 2.

Der Koeffizient von $\mathsf{x^2}$ ist $\mathsf{3\ne0}$ .

Das Vorzeichen 3 ist positiv.

Erklärung 02

Potenzen, Wurzeln und Brüche

Bei einer Potenzfunktion $\mathsf{x^n}$ ist der Exponent fest. Beispiele sind $\mathsf{x^3}$ und $\mathsf{x^{-1}=1/x}$ . Bei negativem ganzzahligem Exponenten ist 0 ausgeschlossen.

Die Quadratwurzelfunktion $\mathsf{\sqrt x}$ ist auf $\mathsf{[0,\infty)}$ definiert. Ihr Graph beginnt im Ursprung. Sie ist zugleich eine Potenzfunktion mit Exponent 1/2 auf diesem Bereich.

Eine gebrochen rationale Funktion ist ein Quotient von Polynomen. Nullstellen des ursprünglichen Nenners sind ausgeschlossen. Der Grundgraph von $\mathsf{1/x}$ besitzt zwei getrennte Äste.

Erklärung 03

Exponentiell und logarithmisch

Bei $\mathsf{f(x)=a^x}$ mit $\mathsf{a>0}$ und $\mathsf{a\ne1}$ steht x im Exponenten. Für $\mathsf{a>1}$ wächst die Funktion; für $\mathsf{0<a<1}$ fällt sie. Alle Werte sind positiv, und $\mathsf{f(0)=1}$ . Gleiche x-Schritte erzeugen denselben Multiplikationsfaktor.

Der natürliche Logarithmus $\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}x}$ ist auf $\mathsf{(0,\infty)}$ definiert, wächst und erfüllt $\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}1=0}$ . Er ist die Umkehrfunktion von $\mathsf{e^x}$ .

Vergleich von Potenz- und Exponentialfunktion, gemeinsame Stelle (2|4).

So geht es am Beispiel

Unterscheide $\mathsf{f(x)=x^2}$ und $\mathsf{g(x)=2^x}$ anhand der Werte bei 0, 1, 2, 3.

f liefert die Werte 0, 1, 4, 9.

g liefert die Werte 1, 2, 4, 8.

Nur bei g verdoppeln sich die Werte bei jedem Schritt um 1.

Erklärung 04

Periodische Funktionen

Sinus und Kosinus wiederholen ihre Werte. Die Grundfunktionen haben im Bogenmaß die Periode $\mathsf{2\pi}$ und Werte zwischen −1 und 1.

Es gilt $\mathsf{\operatorname{\textsf{sin}}0=0}$ und $\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}0=1}$ . Beide sind auf $\mathsf{\mathbb R}$ definiert. Tangens ist ebenfalls trigonometrisch, besitzt aber Definitionslücken.

Erklärung 05

Term, Bereich und Graph gemeinsam betrachten

Ein Ausschnitt eines Graphen kann täuschen. Entscheidend sind Termform und Definitionsbereich. Verschiebungen und Faktoren ändern einzelne Eigenschaften, ohne zwingend den Grundtyp zu ändern.

Bei $\mathsf{f(x)=(x-2)^2+1}$ liegt weiterhin eine quadratische Funktion vor. Sie hat aber nicht die Nullstelle 0 der Grundfunktion $\mathsf{x^2}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Funktionstypen · EinstiegOrdne $\mathsf{f(x)=-2x+5}$ ein und nenne Steigung und y-Achsenabschnitt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Term hat die Form mx+b.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=-2}$ , $\mathsf{b=5}$ .
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisLineare Funktion; fallende Gerade mit y-Achsenabschnitt 5.
02
Aufgabe 2Funktionstypen · EinstiegOrdne $\mathsf{f(x)=-x^2+4x}$ ein. In welche Richtung ist der Graph geöffnet?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der höchste Exponent ist 2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Koeffizient vor $\mathsf{x^2}$ ist −1.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisQuadratische, ganzrationale Funktion; Parabel nach unten geöffnet.
03
Aufgabe 3Funktionstypen · StandardBestimme Typ und Grad von $\mathsf{f(x)=2x^5-x^3+7}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Alle Exponenten sind nichtnegative ganze Zahlen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der höchste Exponent mit nichtverschwindendem Koeffizienten ist 5.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisGanzrationale Funktion fünften Grades.
04
Aufgabe 4Funktionstypen · StandardOrdne $\mathsf{f(x)=x^{-2}}$ ein und gib den maximalen reellen Definitionsbereich an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^{-2}=1/x^2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nenner darf nicht 0 sein.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisPotenzfunktion mit negativem Exponenten, zugleich gebrochen rational; $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{0\}}$ .
05
Aufgabe 5Funktionstypen · StandardVergleiche $\mathsf{f(x)=3^x}$ und $\mathsf{g(x)=(1/3)^x}$ hinsichtlich Wachstum und Wert bei 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei f ist die Basis größer als 1.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei g liegt die Basis zwischen 0 und 1.
  $\mathsf{3^0=(1/3)^0=1}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Ergebnisf wächst, g fällt; beide haben den Wert 1 bei 0.
06
Aufgabe 6Funktionstypen · StandardNenne Typ und Definitionsbereich von $\mathsf{f(x)=\sqrt{x-2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Es handelt sich um eine verschobene Quadratwurzelfunktion.
  $\mathsf{x-2\ge0\Rightarrow x\ge2}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisWurzelfunktion mit $\mathsf{D=[2,\infty)}$ .
07
Aufgabe 7Funktionstypen · StandardNenne Typ, Definitionsbereich und Nullstelle von $\mathsf{f(x)=\operatorname{\textsf{ln}}x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Das Logarithmusargument muss positiv sein.
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}1=0}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisLogarithmusfunktion; $\mathsf{D=(0,\infty)}$ ; Nullstelle 1.
08
Aufgabe 8Funktionstypen · VertiefungWelche Grundfunktion hat Werte zwischen −1 und 1, wiederholt sich nach $\mathsf{2\pi}$ und nimmt bei 0 den Wert 1 an: Sinus oder Kosinus?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{sin}}0=0}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}0=1}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisDie Kosinusfunktion.
09
Aufgabe 9Funktionstypen · VertiefungEine Tabelle enthält bei x = 0, 1, 2, 3 die Werte 2, 6, 18, 54. Welche der Modellformen $\mathsf{mx+b}$ oder $\mathsf{c\cdot a^x}$ passt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Differenzen: 4, 12, 36; nicht konstant.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Quotienten: 3, 3, 3.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Der Startwert ist 2.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisEin passendes Modell ist $\mathsf{f(x)=2\cdot3^x}$ . Die vier Punkte allein bestimmen keine beliebige Funktion eindeutig.
10
Aufgabe 10Funktionstypen · VertiefungWarum kann eine Funktion zugleich quadratisch und ganzrational sein? Nutze $\mathsf{f(x)=x^2+1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Term ist eine Summe von Potenzen mit ganzzahligen nichtnegativen Exponenten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der höchste Exponent ist genau 2.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisQuadratische Funktionen bilden eine Teilklasse der ganzrationalen Funktionen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne Funktionstypen an Termform und Eigenschaften.
Ich trage Tabellenpunkte mit korrekt beschrifteten Achsen ein.
Ich unterscheide den Definitionsbereich vom sichtbaren Zeichenausschnitt.

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