Funktionen darstellen · Erklären & üben

Graph einer Funktion

Der Graph einer Funktion besteht aus allen Punkten mit den Koordinaten (Eingabe | zugehörige Ausgabe). Ein sorgfältiges Koordinatensystem macht daraus eine lesbare Darstellung des Zusammenhangs.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was zum Graphen gehört

Für eine reelle Funktion mit Definitionsbereich D lautet die Punktmenge:

\mathsf{G_f=\{(x,f(x)):x\in D\}}

Die erste Koordinate ist x, die zweite ist $\mathsf{f(x)}$ . Zu jedem erlaubten x gehört genau ein Graphenpunkt. Ein sichtbarer Zeichenausschnitt zeigt oft nur einen Teil des vollständigen Graphen.

Erklärung 02

Vom Term zur Wertetabelle

Lege zuerst den Definitionsbereich und einen sinnvollen Ausschnitt fest. Wähle mehrere x-Werte, setze sie vollständig ein und notiere die y-Werte.

Trage die Punkte ein. Nutze bekannte Eigenschaften des Funktionstyps: Eine Gerade braucht einen geraden Verlauf, eine Parabel einen glatten Bogen. Eine Tabelle allein legt den Verlauf zwischen ihren Punkten nicht eindeutig fest.

Parabelabschnitt mit fünf Tabellenpunkten und enthaltenen Randpunkten.

So geht es am Beispiel

Zeichne $\mathsf{f(x)=x^2-1}$ für $\mathsf{D=[-2,2]}$ .

\mathsf{f(-2)=4-1=3}

\mathsf{f(-1)=1-1=0}

\mathsf{f(0)=-1}

\mathsf{f(1)=0}

\mathsf{f(2)=3}

Trage $\mathsf{(-2\mid3),(-1\mid0),(0\mid-1),(1\mid0),(2\mid3)}$ ein.

Verbinde sie als glatten Parabelbogen; beide Randpunkte sind enthalten.

Erklärung 03

Skalierung und Beschriftung

Beschrifte Achsen und Einheiten. Die Abstände müssen innerhalb jeder Achse gleich skaliert sein. x- und y-Achse dürfen verschiedene Maßstäbe haben, wenn sie klar angegeben sind.

Wenn ein Kästchen waagerecht 2 Zeiteinheiten und senkrecht 5 Mengeneinheiten bedeutet, ist ein optischer Winkel kein direkter Steigungswert. Verwende die Zahlen an den Achsen.

Gerade mit Zeitachse in Zweierschritten und Volumenachse in Fünferschritten.

Erklärung 04

Punkte und Eigenschaften ablesen

Für einen Funktionswert gehst du von der x-Achse senkrecht zum Graphen und dann waagerecht zur y-Achse. Abgelesene Werte sind meist Näherungen.

Nullstellen liegen auf der x-Achse, der y-Achsenabschnitt bei x = 0, falls 0 erlaubt ist. Der Definitionsbereich beschreibt die x-Werte des gesamten Graphen, die Bildmenge seine tatsächlich erreichten y-Werte.

Ein offener Randpunkt ist ausgeschlossen, ein ausgefüllter enthalten. Aus dem Ende eines bloßen Bildausschnitts folgt dagegen keine Begrenzung der Funktion.

Erklärung 05

Lücken, einzelne Punkte und zusätzlicher Verlauf

Bei $\mathsf{f(x)=1/x}$ bleibt die Stelle 0 ausgeschlossen. Zeichne die beiden Äste getrennt; verbinde sie nicht über die Lücke hinweg.

Ist D eine endliche Menge, besteht der Graph nur aus einzelnen Punkten. Bei Messwerten ohne Funktionsmodell ist das Verbinden eine zusätzliche Modellannahme.

Wenn bereits Ergebnisse einer Kurvendiskussion vorliegen, helfen Nullstellen, Extrempunkte, Symmetrie und gegebenenfalls Asymptoten beim Zeichnen. Eine Wertetabelle ergänzt diese Angaben, ersetzt aber keine Informationen über versteckte Zwischenbereiche.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Graph einer Funktion · EinstiegErstelle für $\mathsf{f(x)=2x-1}$ die Wertetabelle zu x = −1, 0, 1, 2. Nenne die vier Punkte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-1)=-3}$
  $\mathsf{f(0)=-1}$
  $\mathsf{f(1)=1}$
  $\mathsf{f(2)=3}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Ergebnis $\mathsf{(-1\mid-3),(0\mid-1),(1\mid1),(2\mid3)}$ ; sie liegen auf einer Geraden.
02
Aufgabe 2Graph einer Funktion · EinstiegZeichne $\mathsf{f(x)=x^2}$ für $\mathsf{D=[-2,2]}$ auf kariertem Papier. Nutze fünf Punkte und beschreibe den Verlauf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Punkte: $\mathsf{(-2\mid4),(-1\mid1),(0\mid0),(1\mid1),(2\mid4)}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Gleiche Abstände auf beiden Achsen festlegen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Glatten Parabelbogen durch die Punkte zeichnen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Die Endpunkte bei x = −2 und x = 2 sind enthalten.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisNach oben geöffneter Parabelabschnitt mit Tiefpunkt $\mathsf{(0\mid0)}$ und Bildmenge $\mathsf{[0,4]}$ .
03
Aufgabe 3Graph einer Funktion · StandardWelche y-Werte sind beim Graphen aus dem ausgearbeiteten Beispiel $\mathsf{f(x)=x^2-1}$ , $\mathsf{D=[-2,2]}$ , erreichbar?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der kleinste Wert ist $\mathsf{f(0)=-1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der größte Wert ist $\mathsf{f(-2)=f(2)=3}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Der stetige Graph durchläuft alle Werte dazwischen.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisBildmenge $\mathsf{[-1,3]}$ .
04
Aufgabe 4Graph einer Funktion · StandardEin Punkt liegt 3 Kästchen rechts und 2 Kästchen oberhalb des Ursprungs. Waagerecht gilt 2 Sekunden pro Kästchen, senkrecht 5 Liter pro Kästchen. Gib seine Koordinaten an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t=3\cdot2=6\,\mathsf s}$
  $\mathsf{V=2\cdot5=10\,\mathsf L}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Ergebnis $\mathsf{(6\mid10)}$ : nach 6 Sekunden 10 Liter.
05
Aufgabe 5Graph einer Funktion · StandardZeichne die Punkte von $\mathsf{f(x)=x^2}$ für $\mathsf{D=\{-2,0,2\}}$ . Dürfen sie zu einer Parabel verbunden werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-2)=4}$ , $\mathsf{f(0)=0}$ , $\mathsf{f(2)=4}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  D enthält nur drei Eingaben.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisNur $\mathsf{(-2\mid4),(0\mid0),(2\mid4)}$ eintragen; keine Verbindung als vollständiger Funktionsgraph.
06
Aufgabe 6Graph einer Funktion · StandardFür $\mathsf{f(x)=1/x}$ : Berechne die Werte bei −2, −1, 1, 2 und erkläre die Zeichnung bei 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-2)=-1/2}$ , $\mathsf{f(-1)=-1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(1)=1}$ , $\mathsf{f(2)=1/2}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Bei 0 ist die Funktion nicht definiert.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisZwei getrennte Äste; keine Verbindung durch x = 0.
07
Aufgabe 7Graph einer Funktion · StandardFür $\mathsf{f(x)=x+1}$ mit $\mathsf{D=(-1,2]}$ : Beschreibe den Graphen samt Randpunkten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei der linken Grenze wäre der Punkt $\mathsf{(-1\mid0)}$ , er ist ausgeschlossen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei x = 2 gilt $\mathsf{f(2)=3}$ ; der Punkt ist enthalten.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisGeradenstück mit offenem Punkt $\mathsf{(-1\mid0)}$ und geschlossenem Punkt $\mathsf{(2\mid3)}$ .
08
Aufgabe 8Graph einer Funktion · VertiefungEine Zeichnung zeigt $\mathsf{f(x)=x^2}$ nur für −3 bis 3. Darf man daraus ohne weitere Angabe $\mathsf{D=[-3,3]}$ schließen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Term ist für alle reellen x definiert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der sichtbare Ausschnitt kann kleiner als der Definitionsbereich sein.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisNein. Ohne Einschränkung gilt für den Term $\mathsf{D=\mathbb R}$ .
09
Aufgabe 9Graph einer Funktion · VertiefungEin Geradengraph geht durch $\mathsf{(0\mid2)}$ und $\mathsf{(3\mid8)}$ . Bestimme seine Steigung aus den Koordinaten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta y=8-2=6}$
  $\mathsf{\Delta x=3-0=3}$
  $\mathsf{m=6/3=2}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisSteigung 2; unabhängig davon, wie breit oder hoch die Zeichnung dargestellt ist.
10
Aufgabe 10Graph einer Funktion · VertiefungDie Tabelle enthält die Punkte $\mathsf{(0\mid0)}$ und $\mathsf{(1\mid1)}$ . Beweist sie, dass die Funktion $\mathsf{f(x)=x}$ ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Auch $\mathsf{g(x)=x^2}$ besitzt diese beiden Punkte.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zwischen 0 und 1 unterscheiden sich die Graphen.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisNein. Zwei Tabellenwerte bestimmen ohne Vorgabe des Funktionstyps keine eindeutige Funktion.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne Funktionstypen an Termform und Eigenschaften.
Ich trage Tabellenpunkte mit korrekt beschrifteten Achsen ein.
Ich unterscheide den Definitionsbereich vom sichtbaren Zeichenausschnitt.

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