Funktionsbegriffe · Erklären & üben

Funktionswert

Der Funktionswert ist die Ausgabe zu einer erlaubten Eingabe. Für f(x)=2x+1 bedeutet f(3): Setze überall für x die Zahl 3 ein und rechne den Term aus.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eingabe, Funktionswert und Graphenpunkt

Die Zahl x ist die Eingabe. Der zugehörige Wert f(x), auch y genannt, ist die Ausgabe. Das Zahlenpaar (x|f(x)) liegt auf dem Graphen.

f(3) bedeutet nicht f mal 3. Die Klammer nennt die Stelle, an der der Wert gesucht wird.

So geht es am Beispiel

Bestimme f(3) für f(x)=2x+1.

$\mathsf{f(3)=2\cdot3+1}$ — einsetzen.

$\mathsf{f(3)=6+1}$ — Multiplikation.

$\mathsf{f(3)=7}$ — addieren.

Erklärung 02

Negative Eingaben in Klammern setzen

Ersetze jedes x durch die vollständige Zahl in Klammern. Das ist bei negativen Eingaben besonders wichtig.

Potenzen werden vor Multiplikation und Addition berechnet. (−2)² ist 4, aber −2² ist −4: Ohne Klammern wird nur die 2 quadriert.

So geht es am Beispiel

Bestimme g(−2) für g(x)=x²−3x.

$\mathsf{g(-2)=(-2)^2-3\cdot(-2)}$ — einsetzen.

$\mathsf{g(-2)=4-3\cdot(-2)}$ — Quadrat.

$\mathsf{g(-2)=4-(-6)}$ — multiplizieren.

$\mathsf{g(-2)=10}$ — Minus vor negativer Zahl.

Erklärung 03

Erst den Definitionsbereich beachten

Ein Funktionswert existiert nur bei erlaubter Eingabe. In einem Nenner darf keine null entstehen. Eine reelle Quadratwurzel braucht einen nichtnegativen Radikanden.

Auch der Sachzusammenhang kann Eingaben einschränken: Eine Fahrtzeit ist beispielsweise nicht negativ.

So geht es am Beispiel

Prüfe h(2) für h(x)=1/(x−2).

$\mathsf{2-2=0}$ — Nenner auswerten.

Division durch null ist nicht definiert.

Erklärung 04

Grafisch ablesen und Einheiten verwenden

Gehe auf der x-Achse zur gesuchten Eingabe, von dort senkrecht zum Graphen und anschließend waagerecht zur y-Achse. Lies die Skalen getrennt ab.

Ein genauer Term kann einen exakten Wert liefern. Das Ablesen aus einem gezeichneten Graphen ist oft nur näherungsweise möglich.

Wenn K(s)=2s+3 die Kosten in Euro für eine Strecke s in Kilometern beschreibt, hat K(4) die Einheit Euro; die Eingabe 4 hat die Einheit Kilometer.

Gerade y=x+1 mit Punkt P(1|2), beschrifteten Skalen und Ablesehilfen zur x- und y-Achse.

So geht es am Beispiel

Berechne K(4) im genannten Kostenmodell.

$\mathsf{K(4)=2\cdot4+3}$ — einsetzen.

$\mathsf{K(4)=8+3}$ — multiplizieren.

$\mathsf{K(4)=11}$ — addieren.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Funktionswert · GrundlagenBerechne f(5) für f(x)=3x−2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(5)=3\cdot5-2}$ — einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(5)=15-2}$ — multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(5)=13}$ — subtrahieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis13.
02
Aufgabe 2Funktionswert · GrundlagenBerechne f(−3) für f(x)=2x+4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-3)=2\cdot(-3)+4}$ — Klammern.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-3)=-6+4}$ — multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-3)=-2}$ — addieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis−2.
03
Aufgabe 3Funktionswert · GrundlagenBerechne g(−2) für g(x)=−x²+1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(-2)=-(-2)^2+1}$ — einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(-2)=-4+1}$ — Potenz zuerst.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(-2)=-3}$ — addieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis−3.
04
Aufgabe 4Funktionswert · AnwendenBerechne h(1/2) für h(x)=4x².Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h(1/2)=4\cdot(1/2)^2}$ — einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h(1/2)=4\cdot1/4}$ — quadrieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h(1/2)=1}$ — kürzen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis1.
05
Aufgabe 5Funktionswert · AnwendenPrüfe und berechne r(−1) und r(2) für r(x)=1/(x−2).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r(-1)=1/(-1-2)=-1/3}$ — erlaubter Nenner.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei x=2 ist der Nenner null.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisr(−1)=−1/3; r(2) nicht definiert.
06
Aufgabe 6Funktionswert · AnwendenPrüfe s(1) und s(−1) für s(x)=√(x+1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s(1)=\sqrt2}$ — Radikand 2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s(-1)=\sqrt0=0}$ — Randpunkt erlaubt.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis√2 und 0; Definitionsbereich x≥−1.
07
Aufgabe 7Funktionswert · AnwendenEine Gebühr ist K(t)=5+2t Euro für t Stunden, t≥0. Bestimme K(3) und erkläre das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{K(3)=5+2\cdot3}$ — einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{K(3)=5+6=11}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisFür 3 Stunden beträgt die Gebühr 11 Euro.
08
Aufgabe 8Funktionswert · VertiefenJemand schreibt für f(x)=x²: f(−3)=−9. Erkläre und korrigiere den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-3)=(-3)^2}$ — die ganze Eingabe quadrieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-3)\cdot(-3)=9}$ — zwei negative Faktoren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisf(−3)=9; die Klammern dürfen nicht fehlen.
09
Aufgabe 9Funktionswert · VertiefenLies für x=−2, 0 und 1 die Werte der gegebenen Geraden ab. Markiere A, B und C und schreibe ihre Koordinaten auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f(-2)=-1}$ — A.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f(0)=1}$ — B.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{f(1)=2}$ — C.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungA(−2|−1), B(0|1), C(1|2).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe Vorzeichen und Klammern.
Ich lese die Achsenskalierung und Reihenfolge der Koordinaten.
Ich nenne bei Sachaufgaben die passenden Einheiten.

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