Funktionsbegriffe · Erklären & üben

Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem beschreibt die Lage eines Punktes mit zwei Zahlen. Die erste Zahl gehört zur waagerechten x-Achse, die zweite zur senkrechten y-Achse.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Achsen, Ursprung und Skalierung

Der Ursprung O(0|0) ist der Schnittpunkt beider Achsen. Positive x-Werte liegen rechts, negative links; positive y-Werte oben, negative unten.

Gleiche Zahlenabstände müssen auf derselben Achse gleiche Längen haben. Die beiden Achsen dürfen unterschiedliche Maßstäbe besitzen, wenn diese klar beschriftet sind.

Zähle deshalb nicht nur Kästchen, sondern prüfe, welchen Zahlenabstand ein Kästchen darstellt.

Erklärung 02

Punkte lesen und eintragen

Bei P(x|y) gehst du zuerst in x-Richtung und dann in y-Richtung. Die Reihenfolge darf nicht vertauscht werden.

Zum Ablesen projizierst du den Punkt auf beide Achsen. Ein Punkt auf der y-Achse hat x=0; ein Punkt auf der x-Achse hat y=0.

So geht es am Beispiel

Trage P(−2|1) ein.

Vom Ursprung zwei Einheiten nach links.

Von dort eine Einheit nach oben.

Den Punkt mit P beschriften.

Erklärung 03

Die vier Quadranten

Die Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn gezählt, beginnend rechts oben. I: x>0,y>0; II: x<0,y>0; III: x<0,y<0; IV: x>0,y<0.

Punkte auf einer Achse gehören zu keinem Quadranten. Der Ursprung liegt auf beiden Achsen.

Vier Punkte in den vier nummerierten Quadranten mit vollständiger Achsenskalierung.

Erklärung 04

Verschieben und Figuren

Verschiebst du einen Punkt um a nach rechts und b nach oben, wird aus (x|y) der Punkt (x+a|y+b). Verschieben nach links oder unten bedeutet subtrahieren.

Beim Zeichnen einer Figur werden benannte Punkte in der angegebenen Reihenfolge verbunden. Ein einzelner Punkt hat noch keine Seiten oder Fläche.

So geht es am Beispiel

Verschiebe P(−2|1) um 3 nach rechts und 2 nach unten.

$\mathsf{x_{neu}=-2+3=1}$ — waagerecht.

$\mathsf{y_{neu}=1-2=-1}$ — senkrecht.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Koordinatensystem · GrundlagenBeschreibe, wie P(3|−2) eingetragen wird. In welchem Quadranten liegt P?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Drei Einheiten nach rechts.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zwei Einheiten nach unten.
3. Schritt 3 · Erklärung
  x positiv, y negativ.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungP liegt im IV. Quadranten.
02
Aufgabe 2Koordinatensystem · GrundlagenOrdne A(−2|3), B(−1|−1), C(2|2), D(0|−2) zu Quadranten oder Achse zu.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  A: x negativ, y positiv.
2. Schritt 2 · Erklärung
  B: beide negativ.
3. Schritt 3 · Erklärung
  C: beide positiv.
4. Schritt 4 · Erklärung
  D: x=0.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungA: II; B: III; C: I; D: y-Achse.
03
Aufgabe 3Koordinatensystem · GrundlagenGib die fehlende Koordinate an: P(…|4) liegt auf der y-Achse; Q(−3|…) liegt auf der x-Achse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Auf der y-Achse gilt x=0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Auf der x-Achse gilt y=0.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisP(0|4), Q(−3|0).
04
Aufgabe 4Koordinatensystem · AnwendenAuf der x-Achse entspricht ein Rasterabstand 2 Einheiten, auf der y-Achse 5 Einheiten. Ein Punkt liegt drei Abstände rechts und zwei oberhalb des Ursprungs. Bestimme seine Koordinaten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3\cdot2=6}$ — x-Skala.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2\cdot5=10}$ — y-Skala.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(6|10).
05
Aufgabe 5Koordinatensystem · AnwendenVerschiebe A(−1|2) um 4 Einheiten nach rechts und 3 nach unten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-1+4=3}$ — waagerecht.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2-3=-1}$ — senkrecht.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisA′(3|−1).
06
Aufgabe 6Koordinatensystem · AnwendenSind P(1|3) und Q(3|1) derselbe Punkt? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die erste Koordinate bestimmt die waagerechte Lage.
2. Schritt 2 · Erklärung
  P liegt bei x=1, Q bei x=3.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Auch die Höhen sind verschieden.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungNein; die Koordinatenreihenfolge ist wesentlich.
07
Aufgabe 7Koordinatensystem · AnwendenLies A, B und C aus der untenstehenden Zeichnung ab. Achtung: Ein Rasterabstand entspricht 2 Einheiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  A liegt einen Rasterabstand links und einen oberhalb des Ursprungs.
2. Schritt 2 · Erklärung
  B liegt zwei rechts und einen unterhalb.
3. Schritt 3 · Erklärung
  C liegt auf der y-Achse zwei Rasterabstände oberhalb.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungA(−2|2), B(4|−2), C(0|4).
08
Aufgabe 8Koordinatensystem · VertiefenEin Rechteck hat aufeinanderfolgende Eckpunkte A(−2|−1), B(2|−1), C(2|2). Bestimme D und die Seitenlängen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  D hat denselben x-Wert wie A und denselben y-Wert wie C.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=2-(-2)=4}$ — Breite.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=2-(-1)=3}$ — Höhe.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisD(−2|2), Seitenlängen 4 und 3 Einheiten.
09
Aufgabe 9Koordinatensystem · VertiefenTrage den fehlenden Eckpunkt aus Aufgabe 8 ein und verbinde A–B–C–D–A. Beschrifte alle Ecken.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  D(−2|2) eintragen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die vier Punkte in der angegebenen Reihenfolge verbinden.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungRechteck ABCD mit Breite 4 und Höhe 3.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe Vorzeichen und Klammern.
Ich lese die Achsenskalierung und Reihenfolge der Koordinaten.
Ich nenne bei Sachaufgaben die passenden Einheiten.

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