Weitere Funktionstypen · Erklären & üben

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen werden durch Polynome beschrieben. Grad, führender Koeffizient und vorkommende Potenzen geben erste Hinweise auf ihren Graphen, ersetzen aber nicht jede weitere Untersuchung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Polynomfunktion und Definitionsbereich

Eine ganzrationale Funktion hat die Form aₙx hoch n+…+a₁x+a₀ mit nichtnegativen ganzen Exponenten. Ihr reeller Definitionsbereich ist ganz R.

Der Grad ist der höchste Exponent mit Koeffizient ungleich null. Zuerst werden gleiche Potenzen zusammengefasst. Ein nichtnull konstanter Term hat Grad 0; beim Nullpolynom wird der Grad hier nicht definiert.

1/x und √x sind keine ganzrationalen Funktionen in x.

So geht es am Beispiel

Ordne f(x)=−2x⁴+3x²−1 ein.

Höchster Exponent: 4.

Leitkoeffizient: −2.

Konstantes Glied: −1.

Erklärung 02

Endverhalten aus dem führenden Term

Für ein Polynom positiven Grades bestimmt aₙx hoch n das Verhalten für große positive und negative x. Niedrigere Potenzen werden im Verhältnis dazu unbedeutend.

Gerader Grad: Beide Enden gehen in dieselbe Richtung, bei positivem Leitkoeffizienten nach oben, bei negativem nach unten.

Ungerader Grad: Die Enden gehen in entgegengesetzte Richtungen. Bei positivem Leitkoeffizienten links nach unten und rechts nach oben; bei negativem umgekehrt.

Beschriftete Graphen zeigen den Unterschied zwischen geradem und ungeradem Grad mit passenden Vorzeichen.

So geht es am Beispiel

Untersuche das Endverhalten von f(x)=−x³+4x.

Führender Term ist −x³.

Für x→+∞ geht −x³ gegen −∞.

Für x→−∞ geht −x³ gegen +∞.

Erklärung 03

Symmetrie durch Einsetzen prüfen

f(−x)=f(x) bedeutet y-Achsensymmetrie. Bei einem Polynom sind dafür nur gerade Potenzen einschließlich des konstanten Glieds vorhanden.

f(−x)=−f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung. Dafür sind nur ungerade Potenzen vorhanden; das konstante Glied muss null sein.

Enthält das vereinfachte Polynom gerade und ungerade Anteile, besitzt es im Allgemeinen keine dieser beiden Symmetrien. Andere verschobene Symmetrien werden damit nicht ausgeschlossen.

So geht es am Beispiel

Prüfe f(x)=x³−2x.

$\mathsf{f(-x)=(-x)^3-2(-x)}$ — einsetzen.

$\mathsf{f(-x)=-x^3+2x}$ — vereinfachen.

$\mathsf{f(-x)=-f(x)}$ — vergleichen.

Erklärung 04

Nullstellen und Graphenhinweise

Ein von null verschiedenes Polynom vom Grad n besitzt höchstens n verschiedene reelle Nullstellen. Es muss nicht n reelle Nullstellen haben.

Grad und Endverhalten allein bestimmen nicht alle Extrempunkte oder Nullstellen. Dafür brauchst du weitere Rechnungen.

Alle Polynomfunktionen sind stetig; ihre Graphen haben keine Definitionslücken oder Polstellen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Ganzrationale Funktionen · GrundlagenNenne Grad und Leitkoeffizient von 5x⁵−2x²+1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Höchster Exponent mit Faktor ungleich 0: 5.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der zugehörige Faktor ist 5.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGrad 5, Leitkoeffizient 5.
02
Aufgabe 2Ganzrationale Funktionen · GrundlagenVereinfache 2x³+x²−2x³+4 und nenne den Grad.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=x^2+4}$ — x³-Terme fallen weg.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGrad 2.
03
Aufgabe 3Ganzrationale Funktionen · GrundlagenBeschreibe das Endverhalten von −3x⁶+x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gerader Grad 6, negativer Leitkoeffizient −3.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Enden gehen nach unten.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisLinks und rechts −∞.
04
Aufgabe 4Ganzrationale Funktionen · AnwendenBeschreibe das Endverhalten von 2x⁵−x³.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ungerader Grad 5, positiver Leitkoeffizient 2.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisLinks −∞, rechts +∞.
05
Aufgabe 5Ganzrationale Funktionen · AnwendenPrüfe x⁴−3x²+2 auf y-Achsensymmetrie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=x^4-3x^2+2=f(x)}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisy-Achsensymmetrisch.
06
Aufgabe 6Ganzrationale Funktionen · AnwendenPrüfe x³+1 auf y-Achsen- und Ursprungssymmetrie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=-x^3+1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-f(x)=-x^3-1}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  f(−x) entspricht weder f(x) noch −f(x).
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisKeine dieser beiden Symmetrien.
07
Aufgabe 7Ganzrationale Funktionen · AnwendenBestimme die reellen Nullstellen von x³−4x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x^2-4)=0}$ — ausklammern.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x-2)(x+2)=0}$ — weiter zerlegen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis−2,0,2.
08
Aufgabe 8Ganzrationale Funktionen · VertiefenMuss ein Polynom vierten Grades vier reelle Nullstellen haben? Gib ein Gegenbeispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^4+1\ge1>0}$ für alle reellen x.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein; x⁴+1 hat keine reelle Nullstelle.
09
Aufgabe 9Ganzrationale Funktionen · VertiefenSkizziere x³−x durch die drei gegebenen Nullstellen. Berechne zusätzliche Werte bei x=−0,5 und x=0,5; beachte Symmetrie und Endverhalten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f(-0{,}5)=-0{,}125+0{,}5=0{,}375}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f(0{,}5)=0{,}125-0{,}5=-0{,}375}$ .
Ergebnis
1. Antwort und BegründungUrsprungssymmetrischer Kubikgraph, links −∞ und rechts +∞.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe den reellen Definitionsbereich.
Ich begründe Symmetrie und Monotonie passend zur Familie.
Ich unterscheide Hauptwurzel und Gleichungslösungen.

AT Academy · Version 2026-10-21