Weitere Funktionstypen · Erklären & üben

Potenzfunktionen

Eine Potenzfunktion besitzt die Form f(x)=a·x hoch r. Welche x-Werte reell zulässig sind und wie der Graph verläuft, hängt wesentlich vom Exponenten ab. Hier betrachten wir den Grundfall a=1 und ausgewählte Faktoren.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Positive ganze Exponenten

Für positive ganze n ist x hoch n auf ganz R definiert. Bei geradem n ist der Graph y-achsensymmetrisch, fällt auf (−∞,0] und steigt auf [0,∞). Sein Wertebereich ist [0,∞).

Bei ungeradem n ist der Graph ursprungssymmetrisch und auf ganz R streng steigend. Sein Wertebereich ist R.

Ein negativer Vorfaktor a spiegelt den Graphen an der x-Achse und kehrt die Monotonierichtungen um.

Beschriftete Graphen der quadratischen und kubischen Potenzfunktion mit passenden Achsenskalierungen.

Erklärung 02

Negative ganze Exponenten

x hoch −n=1/x hoch n ist für positive ganze n nur bei x≠0 definiert. Der Graph besitzt getrennte Äste; die Monotonie muss auf den Intervallen links und rechts von 0 untersucht werden.

1/x ist auf jedem der Intervalle (−∞,0) und (0,∞) streng fallend und ursprungssymmetrisch. Die Aussage „auf dem gesamten Definitionsbereich fallend“ wäre falsch.

1/x² ist links von 0 streng steigend und rechts streng fallend, y-achsensymmetrisch und immer positiv.

Erklärung 03

Gebrochene und reelle Exponenten

Bei rationalen Exponenten p/q in vollständig gekürzter Form entscheidet der Nenner q. Für gerades q benötigt die reelle Wurzel x≥0; bei negativem Exponenten ist 0 zusätzlich ausgeschlossen.

Bei ungeradem q sind auch negative x möglich: x hoch 1/3 ist die reelle Kubikwurzel, etwa (−8) hoch 1/3=−2. Ein negativer Exponent schließt auch hier 0 aus.

Für beliebige reelle, insbesondere irrationale Exponenten definieren wir x hoch r zunächst auf x>0. Auf diesem Bereich steigt x hoch r streng für r>0 und fällt streng für r<0.

Der Fall r=0 ergibt x⁰=1 für x≠0. 0⁰ wird hier nicht verwendet. Eine ausdrücklich definierte konstante Funktion f(x)=1 kann separat auf ganz R festgelegt werden.

Erklärung 04

Wertetabelle und Definitionsbereich zuerst

Prüfe vor dem Einsetzen, ob die Eingabe erlaubt ist. Negative Basen gehören in Klammern. Eine Potenz mit negativem Exponenten ist ein Kehrwert, keine negative Zahl allein aufgrund des Exponenten.

Die Beispiele sind bewusst nach Exponentenfamilien getrennt; Regeln für positive x dürfen nicht ungeprüft auf negative Basen übertragen werden.

So geht es am Beispiel

Berechne (−2)³, (−2)⁴ und (−2) hoch −2.

$\mathsf{(-2)^3=-8}$ — ungerade Potenz.

$\mathsf{(-2)^4=16}$ — gerade Potenz.

$\mathsf{(-2)^{-2}=1/(-2)^2=1/4}$ — Kehrwert.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Potenzfunktionen · GrundlagenNenne Bereich, Wertebereich und Symmetrie von x⁴.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gerader positiver Exponent.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Alle reellen Eingaben erlaubt; Werte nichtnegativ.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisD=R, W=[0,∞), y-achsensymmetrisch.
02
Aufgabe 2Potenzfunktionen · GrundlagenNenne Bereich und Monotonie von x⁵.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Positiver ungerader Exponent.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisD=R; streng steigend auf R.
03
Aufgabe 3Potenzfunktionen · GrundlagenBerechne 2 hoch −3 und (−2) hoch −3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2^{-3}=1/8}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-2)^{-3}=1/(-8)=-1/8}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis1/8 und −1/8.
04
Aufgabe 4Potenzfunktionen · AnwendenNenne Bereich und Monotonieintervalle von 1/x².Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  x=0 ist ausgeschlossen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Links wachsen die Werte bei Annäherung an 0; rechts fallen sie.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisD=R ohne 0; steigend auf (−∞,0), fallend auf (0,∞).
05
Aufgabe 5Potenzfunktionen · AnwendenBestimme den reellen Bereich von x hoch 1/2 und x hoch −1/2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gerader Wurzelexponent braucht x≥0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der negative Exponent schließt 0 zusätzlich aus.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisx≥0 beziehungsweise x>0.
06
Aufgabe 6Potenzfunktionen · AnwendenBerechne (−27) hoch 1/3 und (−8) hoch 2/3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sqrt[3]{-27}=-3}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-8)^{2/3}=(\sqrt[3]{-8})^2=(-2)^2=4}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis−3 und 4.
07
Aufgabe 7Potenzfunktionen · AnwendenBeschreibe −x³: Symmetrie und Monotonie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  x³ ist ursprungssymmetrisch und streng steigend.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Spiegelung an der x-Achse kehrt die Monotonie um.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisUrsprungssymmetrisch, streng fallend auf R.
08
Aufgabe 8Potenzfunktionen · VertiefenWarum ist 1/x nicht auf dem gesamten Definitionsbereich streng fallend, obwohl beide Äste fallen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1<1}$ , aber $\mathsf{f(-1)=-1<1=f(1)}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für streng fallend müsste bei diesen Eingaben der erste Wert größer sein.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNur getrennt auf (−∞,0) und (0,∞) streng fallend.
09
Aufgabe 9Potenzfunktionen · VertiefenErgänze x² und −x² durch die gegebenen Punkte. Beschreibe die Spiegelung und die Monotonie auf beiden Seiten von 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  −x² ist die Spiegelung von x² an der x-Achse.
2. Schritt 2 · Erklärung
  x² fällt links und steigt rechts; −x² steigt links und fällt rechts.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungBeide y-achsensymmetrisch; entgegengesetzte Öffnung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe den reellen Definitionsbereich.
Ich begründe Symmetrie und Monotonie passend zur Familie.
Ich unterscheide Hauptwurzel und Gleichungslösungen.

AT Academy · Version 2026-10-21