Lineare Gleichungssysteme · Erklären & üben

Gauß-Algorithmus

Der Gauß-Algorithmus beseitigt Variablen schrittweise. Aus einer Zeilenstufenform bestimmst du die Werte von unten nach oben. Hier arbeitest du mit drei Variablen über den reellen Zahlen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zeilenstufenform und Rückwärtseinsetzen

Jede Gleichung ist eine Zeile. Du darfst Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren und ein Vielfaches einer anderen Zeile addieren oder abziehen. Die gesamte Zeile einschließlich der rechten Seite wird verändert.

Die erste Zahl ungleich null einer Zeile ist ihr Pivot. Unter einem Pivot erzeugst du Nullen. Beginnt die nächste geeignete Zeile mit null, tausche sie mit einer passenden Zeile. Teile niemals durch null.

In der Zeilenstufenform wandern die Pivots nach rechts. Nullzeilen stehen unten. Danach folgt Rückwärtseinsetzen: zuerst z, dann y, zuletzt x. Eine Probe nutzt alle Ausgangsgleichungen.

In der erweiterten Matrix stehen links die Koeffizienten in der Reihenfolge x, y, z. Hinter dem Trennstrich steht die rechte Seite. Eine fehlende Variable bekommt den Koeffizienten null.

Erweiterte Matrix des ersten Beispiels in Stufenform, Pivots markiert.

So geht es am Beispiel

Löse $\begin{aligned}\mathsf{x+y+z=6}\\\mathsf{2x+3y+z=11}\\\mathsf{x+2y+3z=14}\end{aligned}$ .

$\mathsf{y-z=-1}$ — Zeile II durch II minus 2 mal I ersetzen.

$\mathsf{y+2z=8}$ — Zeile III durch III minus I ersetzen.

$\mathsf{3z=9}$ — neue Zeile III minus neue Zeile II.

$\mathsf{z=3}$ — durch 3 teilen.

$\mathsf{y-(3)=-1}$ — z in die neue zweite Zeile einsetzen.

$\mathsf{y=2}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{3}$ addieren.

$\mathsf{x+(2)+(3)=6}$ — y und z in die erste Zeile einsetzen.

$\mathsf{x+(5)=6}$ — bekannte Zahlen zusammenfassen.

$\mathsf{x=1}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{5}$ abziehen.

$\mathsf{(1)+(2)+(3)=6}$ — Probe in Zeile I.

$\mathsf{2\cdot(1)+3\cdot(2)+(3)=11}$ — Probe in Zeile II.

$\mathsf{(1)+2\cdot(2)+3\cdot(3)=14}$ — Probe in Zeile III.

Erklärung 02

Widerspruch oder freie Variable

Eine Zeile wie $\mathsf{0=5}$ ist widersprüchlich: Das gesamte System hat keine Lösung. Eine Zeile $\mathsf{0=0}$ ist dagegen ohne neue Bedingung.

Gibt es keinen Widerspruch, aber weniger Pivots als Variablen, bleiben freie Variablen. Beschreibe die Lösungsmenge dann mit Parametern. Eine Nullzeile allein ist kein Beweis für Unlösbarkeit.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\begin{aligned}\mathsf{x+y+z=3}\\\mathsf{2x+2y+2z=7}\\\mathsf{y-z=0}\end{aligned}$ .

$\mathsf{0=1}$ — Zeile II minus 2 mal Zeile I.

Diese Aussage ist falsch. Kein Tripel erfüllt alle Ausgangsgleichungen.

So geht es am Beispiel

Löse $\begin{aligned}\mathsf{x+y+z=3}\\\mathsf{y+z=2}\\\mathsf{2y+2z=4}\end{aligned}$ .

$\mathsf{0=0}$ — Zeile III minus 2 mal Zeile II.

Es bleiben zwei unabhängige Gleichungen für drei Variablen.

$\mathsf{z=t}$ — z als freien reellen Parameter wählen.

$\mathsf{y+t=2}$ — in die zweite Zeile einsetzen.

$\mathsf{y=2-t}$ — t abziehen.

$\mathsf{x+(2-t)+t=3}$ — in die erste Zeile einsetzen.

$\mathsf{x+2=3}$ — zusammenfassen.

$\mathsf{x=1}$ — 2 abziehen.

$\mathsf{1+(2-t)+t=3}$ — erste Probe.

$\mathsf{(2-t)+t=2}$ — zweite Probe.

$\mathsf{2(2-t)+2t=4}$ — dritte Probe.

Erklärung 03

Weiterführend: inverse Matrix

Gauß kann auch zur Berechnung einer inversen Matrix verwendet werden. Dazu wird eine quadratische Matrix neben der Einheitsmatrix schrittweise umgeformt; das setzt weitere Matrixbegriffe voraus.

Dieses Thema behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme. Die allgemeine Berechnung inverser Matrizen bleibt ein ausdrücklicher Weiterverweis auf das geplante Matrixthema. Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse.

Erklärung 04

Rang: Pivots zählen

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl ihrer Pivots nach dem Gauß-Verfahren. Zähle dafür die Zeilen ungleich null in einer Zeilenstufenform.

Für die Lösbarkeit von $\mathsf{A\vec{x}=\vec{b}}$ vergleichst du den Rang der Koeffizientenmatrix A mit dem Rang der erweiterten Matrix $\mathsf{(A\mid\vec{b})}$ . Ein zusätzlicher Pivot nur in der rechten Spalte bedeutet einen Widerspruch.

Sind beide Ränge gleich, ist das System lösbar. Gibt es außerdem für jede Variable einen Pivot, ist die Lösung eindeutig. Andernfalls bleibt mindestens eine Variable frei.

Auch bei einer quadratischen Matrix muss der Rang nicht die Anzahl der Zeilen erreichen. Allgemeine Matrixeigenschaften und weiterführende Rangtheorie bleiben dem Matrixthema vorbehalten.

So geht es am Beispiel

Bestimme beide Ränge und entscheide die Lösbarkeit von $\begin{aligned}\mathsf{x+y+z=3}\\\mathsf{y+z=2}\\\mathsf{2y+2z=4}\end{aligned}$ .

$\mathsf{0=0}$ — Zeile III minus 2 mal Zeile II.

$\mathsf{\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\0&1&1&2\\0&0&0&0\end{array}\right)}$ — die erweiterte Matrix ist in Zeilenstufenform.

$\mathsf{\operatorname{\textsf{rang}}(A)=2}$ — zwei Pivots in den Koeffizientenspalten.

$\mathsf{\operatorname{\textsf{rang}}(A\mid\vec b)=2}$ — die rechte Spalte erzeugt keinen weiteren Pivot.

Das System ist lösbar. Bei drei Variablen und zwei Pivots bleibt eine Variable frei; die vollständige Lösungsmenge steht im Beispiel zu freien Variablen.

Erklärung 05

Kern: das homogene System lösen

Der Kern einer Matrix A besteht aus allen Vektoren $\mathsf{\vec{x}}$ mit $\mathsf{A\vec{x}=\vec{0}}$ . Das zugehörige System heißt homogen, weil alle rechten Seiten null sind.

Der Nullvektor gehört immer zum Kern. Weitere Vektoren findest du durch Gauß und Rückwärtseinsetzen. Hier beschränken wir uns auf konkrete kleine Gleichungssysteme.

Der Zusammenhang mit Determinanten und die abstrakte Kern-Bild-Theorie sind weiterführende Matrixthemen. Sie werden hier nicht hergeleitet.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Kern von $\mathsf{A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&2&2\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{x+y+z=0,\quad y+z=0,\quad 2y+2z=0}$ — das homogene System aufstellen.

$\mathsf{0=0}$ — Zeile III minus 2 mal Zeile II.

$\mathsf{z=t}$ — z frei wählen.

$\mathsf{y+t=0}$ — in Zeile II einsetzen.

$\mathsf{y=-t}$ — t abziehen.

$\mathsf{x-t+t=0}$ — in Zeile I einsetzen.

$\mathsf{x=0}$ — zusammenfassen.

$\mathsf{0-t+t=0}$ — erste Probe.

$\mathsf{-t+t=0}$ — zweite Probe.

$\mathsf{-2t+2t=0}$ — dritte Probe.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Gauß-Algorithmus · GrundlagenSchreibe die erweiterte Koeffizientenmatrix zu $\begin{aligned}\mathsf{x+2y-z=4}\\\mathsf{3x+z=7}\\\mathsf{y-z=1}\end{aligned}$ . Verwende die Spaltenreihenfolge x, y, z.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Jede Gleichung liefert eine Zeile. Fehlende Variablen haben Koeffizient null.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&4\\3&0&1&7\\0&1&-1&1\end{array}\right)}$
02
Aufgabe 2Gauß-Algorithmus · GrundlagenGegeben sind Zeile I: $\mathsf{x+y+z=6}$ und Zeile II: $\mathsf{2x+3y+z=11}$ . Ersetze II durch II minus 2 mal I. Notiere die neue zweite Zeile.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+2y+2z=12}$ — Zeile I mit 2 multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y-z=-1}$ — dieses Vielfache von Zeile II abziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{y-z=-1}$
03
Aufgabe 3Gauß-Algorithmus · GrundlagenBestimme x, y und z aus $\begin{aligned}\mathsf{x+y+z=6}\\\mathsf{2y+z=7}\\\mathsf{2z=2}\end{aligned}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x
y
z
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=1}$ — die dritte Zeile durch 2 teilen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2y+(1)=7}$ — z in die zweite Zeile einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2y=6}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{1}$ abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3}$ — durch 2 teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+(3)+(1)=6}$ — in die erste Zeile einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+(4)=6}$ — zusammenfassen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{4}$ abziehen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(2)+(3)+(1)=6}$ — erste Probe.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(3)+(1)=7}$ — zweite Probe.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(1)=2}$ — dritte Probe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x $\mathsf{x=2}$
2. y $\mathsf{y=3}$
3. z $\mathsf{z=1}$
04
Aufgabe 4Gauß-Algorithmus · AnwendenBestimme x, y und z mit dem Gauß-Algorithmus: $\begin{aligned}\mathsf{x+y+z=2}\\\mathsf{2x+3y+z=2}\\\mathsf{x+2y+3z=3}\end{aligned}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x
y
z
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y-z=-2}$ — Zeile II durch II minus 2 mal I ersetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y+2z=1}$ — Zeile III durch III minus I ersetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3z=3}$ — neue Zeile III minus neue Zeile II.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=1}$ — durch 3 teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y-(1)=-2}$ — z in die neue zweite Zeile einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=-1}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{1}$ addieren.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+(-1)+(1)=2}$ — y und z in die erste Zeile einsetzen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+(0)=2}$ — bekannte Zahlen zusammenfassen.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{0}$ abziehen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(2)+(-1)+(1)=2}$ — Probe in Zeile I.
11. Schritt 11 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(2)+3\cdot(-1)+(1)=2}$ — Probe in Zeile II.
12. Schritt 12 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(2)+2\cdot(-1)+3\cdot(1)=3}$ — Probe in Zeile III.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x $\mathsf{x=2}$
2. y $\mathsf{y=-1}$
3. z $\mathsf{z=1}$
05
Aufgabe 5Gauß-Algorithmus · AnwendenBestimme x, y und z aus $\begin{aligned}\mathsf{y+z=5}\\\mathsf{x+y+z=7}\\\mathsf{2y+3z=13}\end{aligned}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x
y
z
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+y+z=7}$ — Zeilen I und II vertauschen, damit der erste Pivot in der x-Spalte steht.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=3}$ — Zeile III durch III minus 2 mal neue Zeile II ersetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y+3=5}$ — z in die neue zweite Zeile einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2}$ — 3 abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+2+3=7}$ — y und z in die neue erste Zeile einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+5=7}$ — zusammenfassen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — 5 abziehen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2+3=5}$ — ursprüngliche Zeile I prüfen.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2+2+3=7}$ — ursprüngliche Zeile II prüfen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot2+3\cdot3=13}$ — ursprüngliche Zeile III prüfen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x $\mathsf{x=2}$
2. y $\mathsf{y=2}$
3. z $\mathsf{z=3}$
06
Aufgabe 6Gauß-Algorithmus · AnwendenBestimme x, y und z aus $\begin{aligned}\mathsf{x+y+z=-1}\\\mathsf{2y+z=2}\\\mathsf{2z=-4}\end{aligned}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x
y
z
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=-2}$ — die dritte Zeile durch 2 teilen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2y+(-2)=2}$ — z in die zweite Zeile einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2y=4}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{-2}$ abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2}$ — durch 2 teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+(2)+(-2)=-1}$ — in die erste Zeile einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+(0)=-1}$ — zusammenfassen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-1}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{0}$ abziehen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-1)+(2)+(-2)=-1}$ — erste Probe.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(2)+(-2)=2}$ — zweite Probe.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(-2)=-4}$ — dritte Probe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x $\mathsf{x=-1}$
2. y $\mathsf{y=2}$
3. z $\mathsf{z=-2}$
07
Aufgabe 7Gauß-Algorithmus · AnwendenBestimme die Lösungsmenge von $\begin{aligned}\mathsf{x+y+z=4}\\\mathsf{2x+2y+2z=9}\\\mathsf{y-z=0}\end{aligned}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=1}$ — Zeile II minus 2 mal Zeile I.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Widerspruch schließt jede Lösung aus.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\varnothing}$
08
Aufgabe 8Gauß-Algorithmus · VertiefenBestimme die Lösungsmenge von $\begin{aligned}\mathsf{x+y+z=5}\\\mathsf{y+z=3}\\\mathsf{2y+2z=6}\end{aligned}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=0}$ — Zeile III minus 2 mal Zeile II.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=t}$ — z frei wählen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y+t=3}$ — in Zeile II einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3-t}$ — t abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+(3-t)+t=5}$ — in Zeile I einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+3=5}$ — zusammenfassen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — 3 abziehen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2+(3-t)+t=5}$ — erste Probe.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(3-t)+t=3}$ — zweite Probe.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2(3-t)+2t=6}$ — dritte Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{(2,3-t,t)\mid t\in\mathbb R\}}$
09
Aufgabe 9Gauß-Algorithmus · VertiefenGegeben ist $\begin{aligned}\mathsf{x+y+z=4}\\\mathsf{y+z=2}\\\mathsf{2y+2z=a}\end{aligned}$ . Für welche reellen a ist das System lösbar? Gib dann die Lösungsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingung für a
Lösungsmenge im lösbaren Fall
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=a-4}$ — Zeile III minus 2 mal Zeile II.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=4}$ — 4 addieren; nur dann liegt kein Widerspruch vor.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=t}$ — freien Parameter wählen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y+t=2}$ — in die zweite Zeile einsetzen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2-t}$ — t abziehen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+(2-t)+t=4}$ — in die erste Zeile einsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+2=4}$ — zusammenfassen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — 2 abziehen.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2+(2-t)+t=4}$ — erste Probe.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(2-t)+t=2}$ — zweite Probe.
11. Schritt 11 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2(2-t)+2t=4}$ — dritte Probe für a = 4.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bedingung für a $\mathsf{a=4}$ . Für $\mathsf{a\ne4}$ ist das System unlösbar.
2. Lösungsmenge im lösbaren Fall $\mathsf{L=\{(2,2-t,t)\mid t\in\mathbb R\}}$
10
Aufgabe 10Gauß-Algorithmus · VertiefenJemand behauptet: Eine Nullzeile bedeutet immer keine Lösung. Beurteile die Aussage und gib ein System mit drei Variablen und einer Nullzeile an, das Lösungen hat.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung und Grund
Eigenes Gegenbeispiel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Nullzeile 0 = 0 fügt keine Bedingung hinzu. Ein Widerspruch wie 0 = 1 wäre dagegen unlösbar.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{x=1,\quad y=2,\quad 0=0}$ — ein Gegenbeispiel.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{z=t}$ — z bleibt frei.
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{L=\{(1,2,t)\mid t\in\mathbb R\}}$ — alle reellen t sind möglich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Beurteilung und GrundFalsch: 0 = 0 ist wahr und liefert keine neue Bedingung.
2. Eigenes Gegenbeispiel $\mathsf{x=1}$ , $\mathsf{y=2}$ , $\mathsf{0=0}$ mit freiem z.
11
Aufgabe 11Gauß-Algorithmus · VertiefenBestimme den Rang der Koeffizientenmatrix und den Rang der erweiterten Matrix zu $\begin{aligned}\mathsf{x+y+z=3}\\\mathsf{y+z=2}\\\mathsf{2y+2z=5}\end{aligned}$ . Entscheide die Lösbarkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rang der Koeffizientenmatrix
Rang der erweiterten Matrix
Lösbarkeit mit Grund
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=1}$ — Zeile III minus 2 mal Zeile II.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\0&1&1&2\\0&0&0&1\end{array}\right)}$ — Zeilenstufenform.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{rang}}(A)=2}$ — zwei Pivots links vom Trennstrich.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{rang}}(A\mid\vec b)=3}$ — ein zusätzlicher Pivot in der rechten Spalte.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Die letzte Zeile ist widersprüchlich. Das System hat keine Lösung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rang der Koeffizientenmatrix $\mathsf{\operatorname{\textsf{rang}}(A)=2}$
2. Rang der erweiterten Matrix $\mathsf{\operatorname{\textsf{rang}}(A\mid\vec b)=3}$
3. Lösbarkeit mit GrundUnlösbar, denn die letzte Zeile lautet 0 = 1.
12
Aufgabe 12Gauß-Algorithmus · VertiefenBestimme den Kern von $\mathsf{B=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\0&2&2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+2y+z=0,\quad y+z=0,\quad 2y+2z=0}$ — homogenes System.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=0}$ — Zeile III minus 2 mal Zeile II.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=t}$ — z frei wählen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y+t=0}$ — in Zeile II einsetzen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=-t}$ — t abziehen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+2(-t)+t=0}$ — in Zeile I einsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-t=0}$ — zusammenfassen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=t}$ — t addieren.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t+2(-t)+t=0}$ — erste Probe.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-t+t=0}$ — zweite Probe.
11. Schritt 11 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2(-t)+2t=0}$ — dritte Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\operatorname{\textsf{ker}}(B)=\{(t,-t,t)\mid t\in\mathbb R\}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle ein passendes Verfahren und begründe die Wahl.
Ich bestimme alle gesuchten Größen und prüfe die Ausgangsgleichungen.
Ich erkenne Widersprüche und freie Variablen.

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